已知，（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域
（2）若m，n∈（-1，1），求证；
（3）判断f（x）在其定义域上的奇偶性，并予以证明．

已知函数f（x）=ax²+xlnx，（a∈R）
（1）当a=-

1

2

时，判断函数f（x）在定义域内的单调性并给予证明；
（2）在区间（1，2）内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求证：

ln2

23

+

ln3

33

+

ln4

43

+…+

lnn

n3

＜

1

e

（其中n＞1，n∈N^*，e=2.71828…）

已知定义域为R的函数f(x)=

1

2x+1

-

1

2

．
（1）判断其奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，不用证明；
（3）是否存在实数k，对于任意t∈[1，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．