已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F₁（-3，0），一条渐近线的方程是

5

x-2y=0．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

81

2

，求k的取值范围．

已知椭圆4x²+3y²=3，抛物线的开口向上，且其顶点在椭圆C的中心，焦点为椭圆的一个焦点F．点P为抛物线上的一点，PC垂直于直线y=-

1

2

，垂足为C，已知直线AB垂直PF分别交x、y轴于A、B．
（Ⅰ）求使△PCF为等边三角形的点P坐标．
（Ⅱ）是否存在点P，使P平分线段AB，若存在求出点P，若不存在说明理由．

在直角坐标坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足．
（1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程．
（2）过点Q（一2，0）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点（-

4

17

，0），且以言

a

=(0，1)为方向向量的直线上一动点，满足

ON

=

OA

+

OB

（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线Z的方程；若不存在，说明理由．

已知双曲线S的两个焦点F₁、F₂在x轴上，它的两条渐近线分别为l₁、l₂，y=

3

3

x是其中的一条渐近线的方程，两条直线X=±

3

2

是双曲线S的准线．
（I）设A、B分别为l₁、l₂上的动点，且2|

AB

|=5

F1F2

，求线段AB的中点M的轨迹方程：
（II）已知O是原点，经过点N（0，1）是否存在直线l，使l与双曲线S交于P，E且△POE是以PE为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

已知

i

、

j

分别是x、y轴正方向的单位向量，点P（x，y）为曲线C上任意一点，

a

=(x-1)

i

+y

j

，

b

=(x+1)

i

+y

j

且满足

b

•

i

=|

a

|．
（1）求曲线C的方程．
（2）是否存在直线l，使得l与C交于不同两点M、N，且线段MN恰被直线x=

1

2

平分？若存在求出l的倾斜角α的范围，若不存在说明理由．