已知函数在上单调递减，在（1，3）上单调递增在 上单调递减，且函数图象在处的切线与直线垂直．

       （Ⅰ）求实数、、的值；（Ⅱ）设函数=0有三个不相等的实数根，求的取值范围．

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

(b-1)x2+c（b，c为常数）．
（1）若f（x）在x=1和x=3处取得最值，求b，c的值；
（2）若f（x）在x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）上单调递增，且在上单调递减，又满足x₂-x₁＞1，求证：b²＞2（b+2c）；
（3）在（2）的条件下，若t＜x₁，比较t²+bt+c和x₁的大小，并加以证明．

已知函数f(x)=

x

a

+

a-1

x

（a≠0且a≠1）．
（Ⅰ）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
（Ⅱ）已知当x＞0时，函数在(0，

6

)上单调递减，在(

6

，+∞)上单调递增，求a的值并写出函数F(x)=

3

f(x)的解析式；
（Ⅲ）记（Ⅱ）中的函数F(x)=

3

f(x)的图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=ax³+

1

2

sinθx²-2x+c的图象经过点(1，

37

6

)，且在区间（-2，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
（1）证明sinθ=1；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若对于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤

45

2

恒成立，试问：这样的m是否存在，若存在，请求出m的范围；若不存在，说明理由．