4．已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是　　　　　 (D　　 )

(A)　　　　　　　　 　 (B)　　　　　 　 (C)　　　　　 　 (D)

3.答案：B。导析：由可得，由正弦定理可知，故可得，故或。

3.在中，若，则等于　　 (　　 )

A.　 　　B.　 　　C.　 或　　 D.　 或

2.答案：A。 导析：利用正弦定理可得：

2．在△ABC中，若，则与的大小关系为( 　A)

　)

A. 　　　B. 　　　　C. ≥　　　 D. 、的大小关系不能确定

1.答案：D。导析：利用正弦定理直接可以求得，要注意解的个数问题。

1．已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于(　D　 )

　A．30°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．30°或150°

C．60°　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．60°或120°

1.　　 在问题1.中我们已经知道已知两边及其中一边的对角解三角形时，其余的一边两角不是唯一确定，那如果已知三角形的任意两角与一边，求其它两边和一角的情况怎样呢？这种情况下会有几解呢？

　解析：在三角形ABC中，如果已知A，B和b,那C是唯一确定的，利用正弦定理可以发现a,c只有一解，因此如果已知三角形的任意两角与一边，求其它两边和一角只有一种情况，只有一解。

典例导思:

考查目标一:已知三角形两角及其中一角的对边求解三角形。

典例1.已知：在中，，，，解此三角形。

导拨：在该题中，已知C及c,可以利用正弦定理列出方程进行求解。

解析：由，可得

由，可依次计算出，。

规律总结：已知三角形两角及其中一角的对边求解三角形这种情况只有一种，处理方法主要借助于正弦定理解方程，在求方程的过程中我们要分清角及其角的对边，搞清楚各个量之间的关系。

考查目标二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形。

典例2.已知下列三角形的两边及其一边的对角，判断三角形的情况，有解的作出解答。

(1)a=7,b=9,A=100　　 (2)a=10,b=20,A=75

(3)a=10,c=5,C=60　　 (4)a=2

导拨：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体有几解可以借助于《疑难导析》1中的方法解决。

解析：(1)本题无解。

(2)本题无解。

(3)本题有一个解。

利用正弦定理，可得：

(4)本题有两解。

由正弦定理得：

当

综上所述：

规律总结：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格：

在线拓展：已知：在中，，，，解此三角形。

解析：由

∴当时,　 　　∴

∴当时,　 　　∴。

考察目标三：求三角形面积。

典例3：在的面积。

导拨：已知三角形两边及其一边的对角，由正弦定理来解题。

解析：根据正弦定理有

则C有两解。

(1)当C为锐角时，

(2)当C为钝角时，

所以，的面积为

规律总结：(R为三角形外接圆半径)

公式中需要知道两边及其夹角，在此题目中需要求出A，而对于A有两种情况，因此该三角形的面积有两解。

考查目标四：正弦定理的综合应用。

典例4：如右图，D是直角斜边BC上的一点，AB=AD，记

(1)　　　 证明：sin(2)若AC=，求的值。

导拨：结合已知条件，利用诱导公式找出角及角的三角函数间关系。

解析：(1)证明： sin。

(2)　　　 在三角形ADC中，由正弦定理可得：

sin

在(1)中sin，

解得：sin

规律总结：正弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观关系，是解三角形的重要工具，它经常与三角函数，平面向量知识在三角形中有密切的联系。

分级导练：

基础巩固：

1.已知两边及其中一边的对角解三角形时，其余的一边两角是否唯一确定呢？情况怎样呢？

解析：在中，已知a,b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：

(1)　　　 A为锐角时：

(2)A为直角或钝角时：

由上可见，已知两边及其中一边的对角解三角形时，其余的一边两角不是唯一确定，可以用下表标：

3.利用正弦定理体现了三角形中边角之间的关系，那么能否利用正弦定理与三角形的面积有何关系呢？

解析：①

如右图，，所以

所以

即三角形面积公式为：

(R为三角形外接圆半径)

疑难导析：