4、动能定理与牛顿运动定律的比较

用牛顿运动定律解题涉及到的有关物理量比较多，如F、a、m、v、s、t等．对运动过程的细节变化也要掌握得比较充分，才可列式求解。而运用动能定理解题涉及到的物理量只有F、s、m、v．它对运动过程的细节及其变化也不要求了解，只需考虑始末两状态的动能和外力做的功，它还可把不同运动过程合并成一个全过程来处理，使解题过程简便．当然，如果题目中要求了解加速度a、运动时间t等细节，那就需要从动力学、运动学的角度去分析，不能直接求解了。

例 如图所示，小滑块从斜面顶点4由静止滑至水平部分C点而停止．已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s．求小滑块与接触面间的动摩擦因数(设滑块与各部分的动摩擦因数相同)．

解 滑块从A点滑到C点，只有重力和摩擦力做功，设滑块质量为m，动摩擦因数为μ，斜面倾角为α，斜面底边长s₁，水平部分长s₂，由动能定理得：

得μ=h/s

由此题可见，用动能定理求解，回避了加速度a，不必考虑细节，解题过程简单很多．

3、结合运动分解，运用动能定理

例 如图所示，某人通过过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为θ。问在这个过程中，人对重物做了多少功?

解 人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是作匀变速运动，故无法用W=Fscosθ求对重物作的功，需从动能定理的角度来分析求解．

当绳下端由A点移到B点时，重物上升的高度为：

重力做功的数值为：

当绳在B点实际水平速度为v时，v可以分解为沿绳斜向下的分速度v₁和绕定滑轮逆时针转动的分速度v₂，其中沿绳斜向下的分速度v₁和5重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出：v₁=vcosθ

以重物为研究对象，根据动能定理得：

2、结合隔离法，运用动能定理

例 质量为M的列车，沿平直轨道匀速前进，质量为m的末节车厢中途脱钩，当司机发觉时，机车已行驶L距离，于是他立即关闭油门，撤去牵引力。设车运动的阻力与重力成正比，机车的牵引力为定值，当列车的两部分都停止运动时，它们的距离是多少?

　解 此题牵涉机车和车厢这两个研究对象，它们又分别经历着不同的变速运动过程．如果从动力学、运动学角度去分析求解将非常麻烦．我们运用隔离法针对每一个研究对象运动的全过程分析其受力，画出其运动的示意图如图所示，并分别列出它们动能定理的表达式：

未脱钩时，整列车匀速前进，有：F=KMg　　 (1)

脱钩后，两车分别作加速、减速运动

对机车：FL-K(M-m)gs₁=0-(M-m)v₀²/2　 (2)

对车厢：-Kmgs₂=0-mv₀²/2　　　　　　　　 (3)

将(1)代入(2)后再将等式两边分别与(3)相除，化简，得：

Δs=s₁-s₂=ML/(M-m)

1、灵活选取适当过程，运用动能定理

例 量过为4kg的铅球，从离沙坑1.8m的高处自由落下.铅球落进沙坑后陷入0.2m深而停止运动，求沙坑对铅球的平均阻力(g取10m／²).

解 铅球在前一段作自由落体运动，后一段作匀减速运动．对前一段可用机械能守恒求解，后一段可用动能定理求解．但如果我们把开始下落到最终停止看成一个过程，运用动能定理列式，将很快得到结果：

由W=ΔE_k　 可得：mg(h+s)-fs=0-0=0

f=(h+s)mg/s=(1.8+0.2)×4×10／0.2=400N

此题我们用动能定理列式时，把两段过程处理成一个过程，求解就便捷得多了．

2、交通工具起动时的牵引力及功率

汽车等交通工具的起动方式有两种：一是以恒定功率起动，二是汽车以恒定的牵引力起动，具体分析如下：

(1)输出功率不变时的运动

由于牵引力F＝P／v，随着速度v的增大，牵引力F减小，则加速度a=(F-f)/m减小，但因a与v同向，汽车的速度v不断增大，F减小，a减小，直至a=0时，汽车作匀速运动，此时速度为最大值v_m＝P/F=P/f，在此之前，由牛顿第二定律得：(P/v)-f=ma，可知任一速度值均有与之相对应的一个确定的加速度值．由于汽车做变加速运动，所以不能用匀变速直线运动的公式求解，也不能对全过程应用牛顿第二定律，但动能定理是适用的，力和加速度瞬时对应关系也成立，因此解题时通常是对某一过程列动能定理方程，对某一瞬时列牛顿第二定律方程．

例 辆机车的质量为750T，沿平直轨道由静止开始运动．它以额定功率在5分钟内驶过2.5km，并达到10m／s的最大速度．求：(1)机车发动机的额定功率P和机车与轨道间的摩擦因数μ分别是多少?(2)当机车速度为5m／s时的加速度多大(g取10m／s²)

解 图所示，设机车在A处起动，因功率不变，故随着速度的增大，牵引力减小，加速度减小，机车做变加速运动．当牵引力减小到F=f的B处时，速度达到最大值v_m，以后机车做匀速运动．

(1)由动能定理得：Pt-μmgs=mv_m²/2　　　 ①

在B处：F=f=μmg，故有P=Fv=μmgv_m　　 ②

将②式代人①式、并代入数据可得：

μ=0.01

再将μ值代入②式得：

P=7.5×10⁵J

(2)设此时牵引力为F’,则

F’=P/v’=7.5×10⁵／5=1.5×10⁵N

再由F’-f=ma得

a=(F’-f)/m=0.1m／s²

例 出功率保持10kw的起重机起吊500kg的重物，当货物升高到2m时速度达到最大值，此最大速度是多少?此过程用了多长时间?(g取10m／s²)

解 重机以恒定的功率吊起重物的过程是加速度不断减小、速度不断增大的过程.当货物的速度达到最大时，起重机的牵引力与货物的重力相平衡，即：

F=mg=5×10³N，v_m＝P／F=2m／s．

求解这一段运动时间不能用匀变速运动的公式，我们可以货物为研究对象运用动能定理求解：

Pt-W_G=mv²/2,　 t=(mv²/2+mgh)/P=1.1s

(2)牵引力不变时的运动

汽车以恒定的牵引力起动，则汽车开始一段时间作匀加速运动，由v=at及P=Fv=Fat可知，随时间的延长汽车的功率越来越大，直到达到其最大功率时，输出功率不能再增大，但此时由于牵引力仍大于阻力，汽车仍加速，则因受最大功率的制约，牵引力必须减小，汽车做加速度越来越小的匀加速运动，直至a=0时做匀速运动，故此种情形下，汽车前一阶段做匀加速运动，后一阶段做变加速运动。在汽车做匀加速运动阶段中, 我们既可以运用功的公式、动能定理来求解，也可以运用牛顿运动定律来求解．对变加速运动阶段,则必须用第(1)点的方法求解.

例 车的质量为m，它在运动中受到的阻力f恒定不变。汽车发动机的额定功率为P，求：(1)汽车在作匀加速运动时的长大速度是多少?(2)汽车从静止出发作加速度为a的匀加速运动的时间不应超过多少?

解 车受到的阻力一定，且又做的是匀加速运动，所以它受到的牵引力也是一定的．

F-f=ma

随着速度的增加,汽车的输出功率也在不断增大．当输出功率达到额定功率时，这时汽车行驶的速度不允许再增加了．此时有：

v_m=P/F=P/(ma+f)

再根据运动学公式，可求出这段过程所需时间：

t=v_m/a=P/[(ma+f)a]

1、重力的功率

(1)自由落体过程中重力的功率

(2)平抛运动中重力的功率

(3)沿斜面滑行的物体的重力的功率

例 质量为m的物体，由静止开始沿倾角为θ的光滑斜面下滑，求前3s内、第3s内、第3s末重力做功的功率。

解

3、变力做功

大小或方向变化的力所做的功，一般不能用功的公式W=Fscosα去求解．需变换思维方式，独辟蹊径求解。

(1)用功率定义式求解

将功率的定义式P=W/t变形，得W=Pt。在求解交通工具牵引力做功问题时经常用到此公式。

例 质量为m的汽车在平直公路上以初速度v₀开始匀加速行驶，经时间t前进距离s后，速度达最大值v_m，设在这段过程中发动机的功率恒为P，汽车所受阻力恒为f，则在这段时间内发动机所做的功为：

A、Pt　　　　　 B、fv_Mt

C、fs+mv_m²/2　　 D、mv_m²/2-mv₀²/2+fs

(答案：ABD)

(2)用动能定理求解变力做功

求解某个变力所做的功，可以利用动能定理，通过动能改变量和其余力做功情况来确定。

例 如图所示，把一小球系在轻绳的一端，轻绳的另一端穿过光滑木板的小孔，且受到竖直向下的拉力作用．当拉力为F时，小球做匀速圆周运动的轨道半径为R．当拉力逐渐增至4F时，小球匀速圆周运动的轨道半径为R／2．在此过程中，拉力对小球做了多少功?

解 此题中的F是一个大小变化的力，故我们不能直接用功的公式求解拉力的功．

根据F=mv²／R，我们可分别求得前、后两个状态小球的动能，这两状态动能之差就是拉力所做的功．

由F=mv₁²／R　 4F=mv₂²／0.5R

得W_F=mv₂²／2-mv₁²／2=FR/2

例 如图，用F＝20N的恒力拉跨过定滑轮的细绳的一端，使质量为10kg的物体从A点由静止沿水平面运动．当它运动到B点时，速度为3m／s．设OC＝4m，BC＝3m，AC＝9.6m，求物体克服摩擦力做的功．

解 作出物体在运动过程中的受力图。其中绳的拉力T大小不变，但方向时刻改变．N随T方向的变化而变化(此力不做功)．f随正压力N的变化而变化．因此对物体来说，存在着两个变力做功的问题．但绳拉力T做的功，在数值上应等于向下恒力F做的功．F的大小已知，F移动的距离应为OA、OB两段绳长之差．

由动能定理 W_F+W_f=ΔE_k　 得：

W_f＝-63(J)

即物体克服摩擦力做了63J耳的功．

(3)用图象法求解变力做功

如果能知道变力F随位移s变化的关系，我们可以先作出F-s关系图象，并利用这个图象求变力所做的功．

[例]如图，密度为ρ，边长为a的正立方体木块漂浮在水面上(水的密度为ρ₀)．现用力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，此过程浮力做了多少功?

解 未用力按木块时，木块处于二力平衡状态

F_浮=mg　 即ρ₀ga²(a-h)=ρga³

并可求得：h=a(ρ₀-ρ)/ρ₀(h为木块在水面上的高度)

在用力按木块到木块上表面刚浸没，木块受的浮力逐渐增大，上表面刚浸没时，浮力达到最大值：F’_浮=ρ₀ga³

以开始位量为向下位移x的起点，浮力可表示为：

F_浮=ρga³+ρ₀ga²x

根据这一关系式，我们可作出F_浮-x图象(如图右所示)．在此图象中，梯形OhBA所包围的“面积”即为浮力在此过程所做的功。

W=(ρ₀ga³+ρga³)h/2=ga³h(ρ₀+ρ)/2

这里的“面积”为什么就是变力所做的功?大家可结合匀变速运动的速度图象中的“面积”表示位移来加以理解．即使F-x关系是二次函数的关系，它的图象是一条曲线，这个“面积”仍是变力在相应过程中所做的功．

2、判断做功正负的方法

(1)从力与位移或速度方向的关系进行判断。

如：“子弹打木块”问题，摩擦力对子弹做负功，对木块做正功。

例 如图所示，质量为M的木块静止在光滑水平面上，质量为m的子弹以水平速度射中与木块一起以速度v运动，已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离为L，子弹进入木块的深度为d，若木块对子弹的阻力F恒定，那么下列关系式中正确的是(　　 )、、

A、　　　　　　　　 B、

C、　 D、

(2)从能量的增减进行判断

例 如图示，在质量不计、长度为L的直杆一端和中点分别固定一个质量都是m的小球A和B，试判断当杆从水平位置无摩擦地转到竖直位置的过程中，杆对A、B球做功的正负。

解 A、B两球组成的系统的机械能守恒，由机械能守恒定律：

由于两球在同一杆上，角速度相等，故

解之得：，

与A、B球自由下落时的速度比较，，

可见，，故杆对A球做正功，对B球做负功。

1、恒力做功

求解恒力功的方法一般是用功的定义式W=Fscosα，需要特别注意：

(1)位移s的含义：是力直接作用的物体对地的位移。当力在物体上的作用位置不变时，s就是力作用的那个质点的位移；当力在物体上的作用位置不断改变时，s应是物体的位移。如：一个不能视为质点的物体受到滑动摩擦力作用时，摩擦力的作用点时时变化，此时s就不是摩擦力作用点的位移，而是物体的位移。

例 如图示，质量为m、初速为v₀的小木块，在桌面上滑动。动摩擦因数为μ，求木块停止滑动前摩擦力对木块和桌面所做的功。

解 对木块：W₁=-fs=-μmg·v₀²/(2gμ)=-mv₀²/2

对桌面：W₂=0

例 如图示，质量为m、初速为v₀的小木块，在一块质量为M的木板上滑动，板放在光滑水平桌面上，求木块和板相对静止前，摩擦力对木块和木板所做的功。

解 据动量守恒mv₀=(m+M)v得　　　

W₁=-fs₂=-μmg·M(M+2m)v₀²/(M+m)²2gμ=-Mm(M+2m)v₀²/2(M+m)²

W₂=fs₁=Mm²v₀²/2(M+m)²gμ

(2)一对相互作用力所做功之和不一定为零

如：人竖直向上跳起，地面对人的作用力对人做正功，人对地而不做功(地球位移视为零)，总功为正；

一对静摩擦力，位移值一定相同，总功必为零；

一对滑动摩擦力，做功时必然发热，系统内能增加，总功必为负。转化为内能值为　　　　

14、应用机械能守恒定律解题的一般步骤：

(1)认真审题，确定研究对象；

(2)对研究对象进行受力分析和运动过程、状态的分析，弄清整个过程中各力做功的情况，确认是否符合机械能守恒的条件；

(3)确定一个过程、两个状态(始末)，选取零势能参考平面，确定始末状态的动能、势能值或这个过程中ΔE_p和ΔE_k的值；

(4)利用机械能守恒定律列方程，必要时还要根据其它力学知识列出联立方程；

(5)统一单位求解．

解题的关键是准确找出始、末状态的动能和势能的值，尤其是势能值的确定．