62、如图所示，一个内外半径均可看作R=、光滑绝缘且竖直放置的细圆管，处于水平方向的匀强电场和匀强磁场内，电场与管道平面平行向左，磁场垂直管道平面向里。一个带正电的小球置于细圆管内，其所受电场力是重力的倍，现在最高点P给该小球一水平向左的初速，恰好使小球在细圆管内做完整的圆周运动。

(1)求初速度；

(2)在整个运动过程中，小球的最大速度多大？

(3)如果在最高点P时，小球对轨道的压力是重力的0.6倍，则小球运动到最低点时，它对轨道的压力是其重力的多少倍？

设小球的质量为m。小球受到三个力的作用，重力和电场力的合力为2mg，方向左下与水平方向成，因为洛伦兹力不做功，故小球在合力方向上的M、N两点速度分别最大和最小。小球恰好做完整的圆周运动，说明在N点速度为零。

(1)　 (2分)　 　(1分)

(2)在M点速度最大：　 (3分)

　　 (1分)

(3)小球在最低点时的速度是　 (1分) (1分)

在最高点小球受到轨道的压力如果向下： (1分)

在最低点小球受到轨道的压力以向上为正方向，　 (1分)

　 (1分)

在最高点小球受到轨道的压力如果向上： (1分)

在最低点小球受到轨道的压力以向上为正方向，　 (1分)

　 (1分)

61、如图所示，在汽车的顶部用不可伸长的细线悬挂一个质量m的小球，以大小为v₀的初速度在水平面上向右做匀减速直线运动，经过时间t，汽车的位移大小为s(车仍在运动)．求：

(1)汽车运动的加速度大小；

(2)当小球相对汽车静止时，细线偏移竖直方向的夹角(用反三角函数表示)；

(3)汽车速度减小到零时，若小球距悬挂的最低点高度为h，O＇点在O点的竖直下方．此后汽车保持静止，当小球摆到最低点时细线恰好被拉断．证明拉断细线后，小球在汽车水平底板上的落点与O＇点间的水平距离s与h的平方根成正比．

解：(1)由得　　　　　　　　　　 (2分)

　　　　　　　　　　　　　 　　　(2分)

(2)由受力分析得，小球受到重力与绳子拉力的合力大小　F=mgtanθ (1分)

　　　 根据牛顿第二定律，又　F=ma 　　　　　　　　　　　　　 (1分)

所以　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

(3)设小球被细线拉着摆到最低点时的速度为v，　

由机械能守恒定律得　　　　　　　　　　　　　 (1分)

所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　(1分)

设细线断时小球距离汽车水平底板高度为H，细线断后小球作平抛运动

所以有　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

解得　　　　　　　　　　　 (2分)

60、如图所示，一个圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A 点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高， MN 是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点．将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．

(1)若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何？

(2)欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大高度是多少？

解：(1)小球离开C点做平抛运动，落到M点时水平位移为R，竖直下落高度为R，根据运动学公式可得：

　　　 运动时间　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

从C点射出的速度为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

设小球以v₁经过C点受到管子对它的作用力为N，由向心力公式可得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

由牛顿第三定律知，小球对管子作用力大小为，方向竖直向下．　 (1分)

(2)根据机械能守恒定律，小球下降的高度越高，在C点小球获得的速度越大．要使小球落到垫子上，小球水平方向的运动位移应为R-4R，由于小球每次平抛运动的时间相同，速度越大，水平方向运动的距离越大，故应使小球运动的最大位移为4R，打到N点．

设能够落到N点的水平速度为v₂，根据平抛运动求得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

设小球下降的最大高度为H，根据机械能守恒定律可知，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

59、将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图甲中O点为单摆的固定悬点，现将质量m＝0.05㎏的小摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。∠AOB=∠COB=θ(θ小于10°且是未知量)。；由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻。g取10m／s²，试根据力学规律和题中所给的信息，求：

(1)单摆的振动周期和摆长。

(2)细线对擦边球拉力的最小值F_min。

(1)由图可知　(2分)

　由，得　(3分)

(2)在B点时拉力最大，设为F_max，有：　(3分)

　由A到B过程机械能守恒，有：　(3分)

　在A、C两点拉力最小，有：　(2分)

　解得：　　(2分)

58、一次扑灭森林火灾的行动中，一架专用直升飞机载有足量的水悬停在火场上空320 m高处，机身可绕旋翼的轴原地旋转，机身下出水管可以从水平方向到竖直向下方向旋转90°，水流喷出速度为30 m/s，不计空气阻力，取g=10 m/s².请估算能扑灭地面上火灾的面积．(计算结果保留两位有效数字)

已知h=300 m,v₀=30 m/s，当水流沿水平方向射出时，在水平地面上落点最远，由平抛规律：　　　　　　　　

　　 X=240m--------------1分

由于水管可在竖直方向和水平方向旋转，所以灭火面积是半径为x的圆面积

S=πx²--------------3分

S =3.14×240²m²=1.8×10⁵m².　　--------2分

57、如图甲所示，在一端封闭、长约lm的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡烛做的蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1s上升的距离都是10cm，玻璃管向右匀加速平移，每1s通过的水平位移依次是2.5cm、7.5cm、12.5cm、17.5cm．图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t=0时蜡块位于坐标原点．

(1)请在图乙中画出蜡块4s内的轨迹；

(2)求出玻璃管向右平移的加速度；

(3)求t=2s时蜡块的速度v．

(1)如图　　　　　(3分)

(2)Δx=at²　　　　　(2分)

a=　　　(2分)

(3)v_y=　　　(1分)

v_x=at=0.1m/s　　　　　　(1分)

v=　　(2分)

56、一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)．在圆管中有两个直径略小于细管内径相同的小球(可视为质点)．A球的质量为m₁，B球的质量为m₂．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v₀．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，重力加速度用g表示．

(1)若此时B球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足何种关系？

(2)若此时两球作用于圆管的合力为零，题中各物理量满足何种关系？

(3)若m₁=m₂=m ，试证明此时A、B两小球作用于圆管的合力大小为6mg，方向竖直向下．

设B球经过最高点时速度为v

(1)B球的重力提供向心力

m₂g=m₂　　　　　　　　　　　　　 (1分)

根据机械能守恒

　　　　　　　　　　　　 (1分)

得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

(2)因为A球对管的压力向下，所以B球对管的压力向上　　　(1分)

设A球受管的支持力为F_A，A球受管的压力为F_B，根据牛顿第三定律，依题意

F_A=F_B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

根据牛顿第二定律

　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

又 　　　　　　　　　

联立各式得

　　　　　　　　　　　　 (1分)

(3)A球受管的支持力为F_A，方向竖直向上；设B球受管的弹力为F_B，取竖直向上为F_B的正方向，根据牛顿第二定律

　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　 (1分)

又 　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

两球受圆管的合力F_合=F_A+B_B，方向竖直向上　 　　　　　　　　 (1分)

联立以上各式得F_合=6mg，方向竖直向上　　　　　　　 　　　　　　　　 (1分)

根据牛顿第三定律，A、B两小球对轨道作用力的合力大小为6mg，方向竖直向下．(1分)

55、如图甲所示，在一端封闭、长约lm的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡烛做的蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1s上升的距离都是10cm，玻璃管向右匀加速平移，每1s通过的水平位移依次是2.5cm、7.5cm、12.5cm、17.5cm．图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t=0时蜡块位于坐标原点．

(1)请在图乙中画出蜡块4s内的轨迹；

(2)求出玻璃管向右平移的加速度；

(3)求t=2s时蜡块的速度v．

(1)如图　　　　　(3分)

(2)Δx=at²　　　　　(2分)

a=　　　(2分)

(3)v_y=　　　(1分)

v_x=at=0.1m/s　　　　　　(1分)

v=　　(2分)

53、质量为m的小球由长为L的细线系住，细线的另一端固定在 A点，AB是过A的竖直线，且AB=L，E为AB的中点，过E作水平线 EF，在EF上某一位置钉一小钉D，如图所示．现将小球悬线拉至水平，然后由静止释放，不计线与钉碰撞时的机械能损失．

(1)若钉子在E点位置，则小球经过B点前后瞬间，绳子拉力分别为多少？

(2)若小球恰能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，求钉子D的位置离E点的距离x．

(3)保持小钉D的位置不变，让小球从图示的P点静止释放，当小球运动到最低点时，若细线刚好达到最大张力而断开，最后小球运动的轨迹经过B点．试求细线能承受的最大张力T．

解:(1)mgl=mv² T₁-mg=m

T₂-mg=m　　　 ∴T₁=3mg　　 T₂=5mg

(2)小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，在最高点时有速度v₁，此时做圆周运动的半径为r，则mg(-r)= mv₁²　　 ①

　 且mg=m 　②

　 由几何关系:X²=(L-r)²-()²　　 ③

　 由以上三式可得：r= L/3　　 ④　　　 x=L 　　⑤

(3)小球做圆周运动到达最低点时，速度设为v₂ 则

T-mg=m 　　⑥　　 以后小球做平抛运动过B点，在水平方向有x=v₂t 　　⑦

在竖直方向有：L/2-r=gt² 　　⑧　　 由④⑤⑥⑦⑧式可得T=mg

　 54、如图所示，位于竖直平面内有1/4圆弧的光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，圆弧轨道上端A点距地面高度为H。当把质量为m的钢球从A点静止释放，最后落在了水平地面的C点处。若本地的重力加速度为g，且不计空气阻力。试计算：

　 (1)钢球运动到B点的瞬间受到的支持力多大？

　 (2)钢球落地点C距B点的水平距离s为多少？

解析：(1)钢球由A到B过程由机械能守恒定律

对钢球在B点由牛顿第二定律

解①②得支持力为 N=3mg

(2)钢球离开B点后做平抛运动有

联立上述各式，解得

52、如图所示，半径R=2m的四分之一粗糙圆弧轨道AB置于竖直平面内，轨道的B端切线水平，且距水平地面高度为h=1．25m，现将一质量m=0．2kg的小滑块从A点由静止释放，滑块沿圆弧轨道运动至B点以v=5m/s的速度水平飞出(g取10m／s2)．求：

　 (1)小滑块沿圆弧轨道运动过程中所受摩擦力做的功；

　 (2)小滑块经过B点时对圆轨道的压力大小；

　 (3)小滑块着地时的速度大小和方向．

(1) 滑块在圆弧轨道受重力、支持力和摩擦力作用，由动能定理

mgR-Wf=mv²

Wf=1.5J

(2)F_N-mg=m

∴F_N=4.5N

(3)小球离开圆弧后做平抛运动

H=gt²

∴t=0.5s

落地时竖直分速度vy=gt=5m/s

∴落地时速度大小v=5m/s

方向与水平方向夹角为45度