3、动态平衡问题：解析法和图象法。

解析法：对研究对象形的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变量与自变量的一般函数关系，然后根据自变量变化情况而确定因变量的变化情况。

图象法：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中作出若干状态下的平衡图，再由边角变化关系确定某些力的大小及方向的变化情况。

[例14]如图所示，在半径为R的光滑半球面正上方距球心h处悬挂一定滑轮，重为G的小球A用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住。人拉动绳子，在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，试分析半球对小球的支持力N和绳子拉力F如何变化。

解析：小球在重力G，球面的支持力N，绳子的拉力F作用下，处于动态平衡。任选一状态，受力如图4所示。不难看出，力三角形ΔFAG’与几何关系三角形ΔBAO相似，从而有：

，　　　

(其中G’与G等大，L为绳子AB的长度)

由于在拉动过程中，R、h不变，绳长L在减小，可见：球面的支持力大小不变，绳子的拉力在减小。

例15图6-2所示，小圆环重G，固定的竖直大环半径为R，轻弹簧原长为L(L﹤R)其倔强系数为K，接触面光滑，求小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ？

提示：可利用正弦定律求解或三角形相似法求解

例34、如图6-3所示，一轻杆两端固结两个小物体A、B，m_A=4m_B

跨过滑轮连接A和B的轻绳长为L，求平衡时OA和OB分别多长？

针对训练

2、多力合成时为了便于计算，往往把这些力先正交分解，根据：∑F_X=0　　 ∑F_Y=0　 求解。

1、物体受三力作用而平衡，且三力成一定的夹角，一般将三力平衡化为二力平衡，对应数学方法：

(1)正弦定理：如图6-1所示，则有F₁/sinα=F₂/sinβ=F₃/sinγ

(2)三角形相似：这种方法应用广泛，具体应用时先画出力的

三角形，再寻找与力的三角形相似的空间三角形，(即具有物理

意义的三角形和具有几何意义的三角形相似)由相似三角形建立

比例关系求解。

6．绳中张力问题的求解

[例13]重G的均匀绳两端悬于水平天花板上的A、B两点。静止时绳两端的切线方向与天花板成α角。求绳的A端所受拉力F₁和绳中点C处的张力F₂。　　　　

解：以AC段绳为研究对象，根据判定定理，虽然AC所受的三个力分别作用在不同的点(如图中的A、C、P点)，但它们必为共点力。设它们延长线的交点为O，用平行四边形定则作图可得：

7 解答平衡问题时常用的数学方法

根据平衡条件解答平衡问题，往往要进行一定的数学运算才能求得结果，在选择数学方法可针对如下几种情况进行：

5．“稳态速度”类问题中的平衡

[例12物体从高空下落时，空气阻力随速度的增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的稳态速度。已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v，且正比于球半径r，即阻力f=krv，k是比例系数。对于常温下的空气，比例系数k=3.4×10^-4Ns/m²。已知水的密度kg/m³，重力加速度为m/s²。求半径r=0.10mm的球形雨滴在无风情况下的稳态速度。

解析：雨滴下落时受两个力作用：重力，方向向下；空气阻力，方向向上。当雨滴达到稳态速度后，加速度为0，二力平衡，用m表示雨滴质量，有mg-krv=0，，求得，v=1.2m/s。

4．整体法与隔离法的应用

对于连结体问题，如果能够运用整体法，我们优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少；不计物体间相互作用的内力，或物体系内的物体的运动状态相同，一般首先考虑整体法，对于大多数动力学问题，单纯采用整体法并不一定能解决，通常采用整体法和隔离法相结合的方法。

隔离法：物体之间总是相互作用的，为了使研究的问题得到简化，常将研究对象从相互作用的物体中隔离出来，而其它物体对研究对象的影响一律以力来表示的研究方法叫隔离法。

整体法：在研究连接体一类的问题时，常把几个相互作用的物体作为一个整体看成一个研究对象的方法叫整体法。

[例9 有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡(如图所示)。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F_N和摩擦力f的变化情况是　　 B　

A．F_N不变，f变大　　　 B．F_N不变，f变小　　

C．F_N变大，f变大　　　 D．F_N变大，f变小

　 例10图7-1所示，两个完全相同重为G的球，两球与水平面间的动摩擦因数都是μ，一根轻绳两端固结在两个球上，在绳的中点施一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两段绳间的夹角为θ。问当F至少多大时，两球将发生滑动？

　 例11图7-3所示，光滑的金属球B放在纵截面为等腰三角形的物体A与竖直墙壁之间，恰好匀速下滑，已知物体A的重力是B的重力的6倍，不计球跟斜面和墙壁之间摩擦，问：物体A与水平面之间的动摩擦因数μ是多少？

3．平衡中的临界、极值问题

当某种物理现象(或物理状态)变为另一种物理现象(或另一物理状态)时的转折状态叫临界状态。可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”。

极限分析法：通过恰当地选取某个物理量推向极端(“极大”、“极小”、“极左”、“极右”)从而把比较隐蔽的临界现象(“各种可能性”)暴露出来，便于解答。

例题分析：

例2、拉力F作用重量为G的物体上，使物体沿水平面匀速前进，如图8-2所示，若物体与地面的动摩擦因数为μ，则拉最小时，力和地面的夹角θ为多大？最小拉力为多少？

(θ=arcCOS1/(1+μ²)^1/2时，Fmin=μG/(1+μ²)^1/2)

例6如图8-3所示，半径为R，重为G的均匀球靠竖直墙放置，左下有厚为h的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面？(F=G[h(2R-h)]^1/2/(R-h))

[例7跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上(如图l-4－3(甲)所示)，已知物体A的质量为m ，物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μ<tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量的取值范围。

(物体B的质量的取值范围是：m(sinθ-μcosθ)≤m_B≤m(sinθ+μcosθ))

[例8 用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。

解：当时，f=0；当时，，方向竖直向下；当时，，方向竖直向上。

2．动态平衡类问题的分析方法

[例4 重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F₁、F₂各如何变化？

(F₁逐渐变小，F₂先变小后变大。当F₂⊥F₁，即挡板与斜面垂直时，F₂最小)

[例5如图7所示整个装置静止时，绳与竖直方向的夹角为30º。AB连线与OB垂直。若使带电小球A的电量加倍，带电小球B重新稳定时绳的拉力多大？

[解析]AOB与FBT′围成的三角形相似，则有：AO/G=OB/T。说明系统处于不同的平衡状态时，拉力T大小不变。由球A电量未加倍时这一特殊状态可以得到：T=Gcos30º。球A电量加倍平衡后，绳的拉力仍是Gcos30º。

1．静平衡问题的分析方法

[例3如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m₁和m₂的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m₁的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°。两小球的质量比为A

A．　　 B．　　 C．　　 D．

3．判定定理

物体在三个互不平行的力的作用下处于平衡，则这三个力必为共点力。(表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形)

[例1如下图所示，木块在水平桌面上，受水平力F₁ =10N，F₂ =3N而静止，当撤去F₁后，木块仍静止，则此时木块受的合力为?A

A．0　 　　　　　　　　B．水平向右，3N　

　C．水平向左，7N　 　　D．水平向右，7N

[例2]氢气球重10 N，空气对它的浮力为16 N，用绳拴住，由于受水平风力作用，绳子与竖直方向成30°角，则绳子的拉力大小是_____，水平风力的大小是____　　 (答案：4N　 2N)