1．将一球竖直上抛，若该球所受的空气阻力大小不变，则其力大小不变，则其上升和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是( C )

A．>，>　　　　　 B．<，<

C．<，=　　　　　　 D．=，=

例1、如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度v_m。

解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。

⑴过程中A的重力势能减少， A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍。

，解得　

⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角。2mgž2Lcosα=3mgžL(1+sinα)，此式可化简为4cosα-3sinα=3，解得sin(53°-α)=sin37°，α=16°

⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W_G。设OA从开始转过θ角时B球速度最大，

=2mgž2Lsinθ-3mgžL(1-cosθ)

=mgL(4sinθ+3cosθ-3)≤2mgžL，解得

例2、如图所示，半径为的光滑半圆上有两个小球，质量分别为，由细线挂着，今由静止开始无初速度自由释放，求小球升至最高点时两球的速度？

解析：球沿半圆弧运动，绳长不变，两球通过的路程相等，上升的高度为；球下降的高度为；对于系统，由机械能守恒定律得： ；

例3、如图所示，均匀铁链长为，平放在距离地面高为的光滑水平面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？

解：选取地面为零势能面：　 得：

例4、如图所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？(管的内部横截面很小，摩擦忽略不计)

解析：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，则，得。

点评：需要注意的是研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。

例5、如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，(R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR).已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v₀，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？

解析：当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为v，游乐车的质量为m，则据机械能守恒定律得：

要游乐车能通过圆形轨道，则必有v>0，所以有　　　

例6、小球在外力作用下，由静止开始从A点出发做匀加速直线运动，到B点时消除外力。然后，小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处，如图所示，试求小球在AB段运动的加速度为多大？　

解析：要题的物理过程可分三段：从A到孤匀加速直线运动过程；从B沿圆环运动到C的圆周运动，且注意恰能维持在圆环上做圆周运动，在最高点满足重力全部用来提供向心力；从C回到A的平抛运动。

根据题意，在C点时，满足①

从B到C过程，由机械能守恒定律得②

由①、②式得　　　 从C回到A过程，满足③　　

水平位移s=vt，④　　 由③、④式可得s=2R

从A到B过程，满足⑤　 　　∴

例7、如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道。若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平CD段的长度。

解析：(1)小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为，通过甲环最高点速度为v′，根据小球对最高点压力为零，由圆周运动公式有①

取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律②

由①、②两式消去v′，可得

同理可得小球滑过D点时的速度，设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用动能定理，

将、代入，可得

3、　 动能定理有时可改写成守恒定律

2、 动能定理没有条件，机械能守恒定理有条件限制

1、 动能定理适用于任何物体(质点)，机械能守恒定律适用于系统

5、动能定理与机械能守恒的联系

4、解题步骤

⑴确定研究对象和研究过程。⑵判断机械能是否守恒。⑶选定一种表达式，列式求解。

3、机械能守恒定律的各种表达形式

⑴初状态 = 末状态　　　　 ⑵ 增加量 = 减少量

用⑴时，需要规定重力势能的参考平面。用⑵时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE_增=ΔE_减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。

2、对机械能守恒定律的理解：

①“守恒”是时时刻刻都相等。　　 ② “守恒”是“进出相等”　 ③要分清“谁”、“什么时候”守恒　　　 ④、是否守恒与系统的选择有关　　 ⑤、⑴机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。

1、 条件

⑴在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。(和只受到重力不同)

⑵只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能相互转化，机械能的总量保持不变。

(3) 其它力的总功为零,机械能守恒(举例：木块压缩弹簧)