2、“人船模型”的变形

变形1：质量为M的气球下挂着长为L的绳梯，一质量为m的人站在绳梯的下端，人和气球静止在空中，现人从绳梯的下端往上爬到顶端时，人和气球相对于地面移动的距离？

分析：由于开始人和气球组成的系统静止在空中，

竖直方向系统所受外力之和为零，即系统竖直方

向系统总动量守恒。得：

mx=My

x+y=L

这与“人船模型”的结果一样。

变形2：如图所示，质量为M的圆弧轨道静止于光滑水平面上，轨道半径为R，今把质量为m的小球自轨道左测最高处静止释放，小球滑至最低点时，求小球和轨道相对于地面各自滑行的距离？

分析：设小球和轨道相对于地面各自滑行的距离为x和y，将小球和轨道看成系统，该系统在水平方向总动量守恒，由动量守恒定律得：

mx=My

x+y=L

这又是一个“人船模型”。

m2

m1

L

3、“人船模型”的应用

M

①“等效思想”

　 如图所示，长为L质量为M的小船停在静水中，船头船尾分别站立质量为m₁、m₂(m₁>m₂)的两个人，那么，当两个人互换位置后，船在水平方向移动了多少？

y

x

分析：将两人和船看成系统，系统水平方向总动量守恒。本题可以理解为是人先后移动，但本题又可等效成质量为的人在质量为的船上走，这样就又变成标准的“人船模型”。

解答：人和船在水平方向移动的距离为x和y，由动量守恒定律可得：

这样就可将原本很复杂的问题变得简化。

②“人船模型”和机械能守恒的结合

m

如图所示，质量为M的物体静止于光滑水平面上，其上有一个半径为R的光滑半圆形轨道，现把质量为m的小球自轨道左测最高点静止释放，试计算： 1．摆球运动到最低点时，小球与轨道的速度是多少? 2．轨道的振幅是多大?　

分析：设小球球到达最低点时，小球与轨道的速度分别为v₁和v₂，根据系统在水平方向动量守恒，得：

又由系统机械能守恒得：

解得：，

当小球滑到右侧最高点时，轨道左移的距离最大，即振幅A。 由“人船模型”得：

解得：，

即振幅A为：

1、“人船模型”

m

　　 质量为M的船停在静止的水面上，船长为L，一质量为m的人，由船头走到船尾，若不计水的阻力，则整个过程人和船相对于水面移动的距离？

y

x

分析：“人船模型”是由人和船两个物体构成的系统；该系统在人和船相互作用下各自运动，运动过程中该系统所受到的合外力为零；即人和船组成的系统在运动过程中总动量守恒。

解答：设人在运动过程中，人和船相对于水面的速度分别为和u，则由动量守恒定律得：

mv=Mu

由于人在走动过程中任意时刻人和船的速度和u均满足上述关系，所以运动过程中，人和船平均速度大小也应满足相似的关系，即

m=M

而，，所以上式可以转化为：

mx=My

又有，x+y=L,得：　　　　　　　

以上就是典型的“人船模型”，说明人和船相对于水面的位移只与人和船的质量有关，与运动情况无关。该模型适用的条件：一个原来处于静止状态的系统，且在系统发生相对运动的过程中，至少有一个方向(如水平方向或者竖直方向)动量守恒。

7．一木块置于光滑水平地面上，一子弹以初速v₀射入静止的木块，子弹的质量为m，打入木块的深度为d，木块向前移动S后以速度v与子弹一起匀速运动，此过程中转化为内能的能量为

　 A．　　 B.　　 C.　　 D.

6．一质量为m、两端有挡板的小车静止在光滑水平面上，两挡板间距离为1.1m，在小车正中放一质量为m、长度为0.1m的物块，物块与小车间动摩擦因数μ=0.15。如图示。现给物块一个水平向右的瞬时冲量，使物块获得v₀ =6m/s的水平初速度。物块与挡板碰撞时间极短且无能量损失。求：

⑴小车获得的最终速度；

⑵物块相对小车滑行的路程；

⑶物块与两挡板最多碰撞了多少次；

⑷物块最终停在小车上的位置。

5．如图所示，在光滑水平面上有一辆质量为M=4.00㎏的平板小车，车上放一质量为m=1.96㎏的木块，木块到平板小车左端的距离L=1.5m，车与木块一起以v=0.4m/s的速度

向右行驶，一颗质量为m₀=0.04㎏的子弹以速度v₀从右方射入木块并留

在木块内，已知子弹与木块作用时间很短，木块与小车平板间动摩擦因数

μ=0.2，取g=10m/s²。问：若要让木块不从小车上滑出，子弹初速度应

满足什么条件？

4．在光滑水平面上静止放置一长木板B，B的质量为M=2㎏同，B右端距竖直墙5m，现有一小物块 A，质

量为m=1㎏，以v₀=6m/s的速度从B左端水平地滑上B。如图

所示。A、B间动摩擦因数为μ=0.4，B与墙壁碰撞时间极短，且

碰撞时无能量损失。取g=10m/s²。求：要使物块A最终不脱离B

木板，木板B的最短长度是多少？

3．一平直木板C静止在光滑水平面上，今有两小物块A和B分别以2v₀和v₀的初速度沿同一直线从长木板C两端相向水平地滑上长木板。如图示。设物块A、B与长木板

C间的动摩擦因数为μ，A、B、C三者质量相等。

⑴若A、B两物块不发生碰撞，则由开始滑上C到A、B都静止在

C上为止，B通过的总路程多大？经历的时间多长？

⑵为使A、B两物块不发生碰撞，长木板C至少多长？

2．如图示，一质量为M长为l的长方形木块B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M，现以地面为参照物，给A和B以大小相等、方向相反的初速度

(如图)，使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离

B板。以地面为参照系。

⑴若已知A和B的初速度大小为v₀，求它们最后速度的大小和方向；

⑵若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到最远处(从地面上看)到出发点的距离。

1．在光滑水平面上并排放两个相同的木板，长度均为L=1.00m，一质量

与木板相同的金属块，以v₀=2.00m/s的初速度向右滑上木板A，金属

块与木板间动摩擦因数为μ=0.1，g取10m/s²。求两木板的最后速度。

例4. 用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物体C静止在前方，如图3所示，B与C碰撞后二者粘在一起运动。求：在以后的运动中，

图3

(1)当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大？

(2)弹性势能的最大值是多大？

(3)A的速度有可能向左吗？为什么？

解析：(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，有

解得：

(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为，则

设物块A速度为vA时弹簧的弹性势能最大为EP，根据能量守恒

(3)由系统动量守恒得

设A的速度方向向左，，则

则作用后A、B、C动能之和

实际上系统的机械能

根据能量守恒定律，是不可能的。故A不可能向左运动。

［模型要点］

系统动量守恒，如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。能量守恒，动能与势能相互转化。

弹簧两端均有物体：弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相等，弹簧具有最大的弹性势能。

当弹簧恢复原长时，相互关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。

［模型演练］

(2006年江苏省前黄高级中学检测题)如图4所示，在光滑水平长直轨道上，A、B两小球之间有一处于原长的轻质弹簧，弹簧右端与B球连接，左端与A球接触但不粘连，已知，开始时A、B均静止。在A球的左边有一质量为的小球C以初速度向右运动，与A球碰撞后粘连在一起，成为一个复合球D，碰撞时间极短，接着逐渐压缩弹簧并使B球运动，经过一段时间后，D球与弹簧分离(弹簧始终处于弹性限度内)。

图4

(1)上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多少？

(2)当弹簧恢复原长时B球速度是多大？

(3)若开始时在B球右侧某位置固定一块挡板(图中未画出)，在D球与弹簧分离前使B球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设B球与挡板碰撞时间极短，碰后B球速度大小不变，但方向相反，试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围。

答案：(1)设C与A相碰后速度为v1，三个球共同速度为v2时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒，能量守恒有：

(2)设弹簧恢复原长时，D球速度为，B球速度为

则有

(3)设B球与挡板相碰前瞬间D、B两球速度

与挡板碰后弹性势能最大，D、B两球速度相等，设为

当时，最大

时，最小，

所以