6.2007年10月24日，我国第一颗月球探测卫星嫦娥一号在西昌卫星发射中心成功发射.嫦娥一号卫星奔月路线的模拟图如图所示，卫星由地面发射，经过多次变轨后沿地月转移轨道奔向月球，卫星被月球俘获后，实施近月制动，最终在离月球表面200 km的环月圆轨道上运行.已知地球与月球的质量分别为M和m，地球与月球的半径分别为R和r，地球的卫星的第一宇宙速度为v.下列说法正确的是(　)

A.卫星在轨道1上运行的周期大于在轨道2上运行的周期

B.卫星在轨道2上的机械能大于在轨道3上的机械能

C.卫星在离月球表面高度为h的环月圆轨道上运行的速率为v

D.卫星在环月圆轨道上的机械能一定大于在轨道3上的机械能

解析：人造卫星在越高的轨道上运动，其周期和机械能就越大，故选项A、B错误；设卫星在距月球表面h处的线速度为v₁，有G＝m₀，又由GM＝R²g及第一宇宙速度v＝可得v₁＝v·，选项C正确；卫星由轨道3到达被月球俘获的轨道机械能要增加，但被俘获后还要进行减速制动才能降到200 km高的环月圆轨道，故机械能不一定大于在3轨道时的机械能(应是小于)，选项D错误.

答案：C

5.欧盟和我国合作的“伽利略”全球卫星定位系统的空间部分由平均分布在三个轨道平面上的30颗轨道卫星构成，每个轨道平面上有10颗卫星，从而实现高精度的导航定位.现假设“伽利略”系统中每颗卫星均围绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，一个轨道平面上某时刻10颗卫星所在位置如图所示.相邻卫星之间的距离相等，卫星1和卫星3分别位于轨道上的A、B两位置，卫星均按顺时针运行.地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，不计卫星间的相互作用力.则下列判断正确的是(　)

A.这10颗卫星的加速度大小相等，且均为 g

B.要使卫星1追上并靠近卫星2通过向后喷气即可实现

C.卫星1由位置A运动到B所需要的时间为

D.卫星1由位置A运动到B的过程中万有引力做的功为零

解析：①由G＝和g＝可得：

加速度a＝＝＝，故选项A正确.

②卫星向后喷气将做离心运动至更高轨道，故选项B错误.

③t_AB＝＝，故选项C正确.

④万有引力与轨道垂直即万有引力不做功，故选项D正确.

答案：ACD

4.已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍.不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出(　)

A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8

B.地球表面的重力加速度与月球表面的重力加速度之比约为9∶4

C.靠近地球表面沿圆形轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆形轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9

D.靠近地球表面沿圆形轨道运行的航天器的线速度与靠近月球表面沿圆形轨道运行的航天器的线速度之比约为81∶4

解析：依据ρ＝

得：＝＝，故选项A错；

依据g＝得：＝＝，故选项B错；

依据T＝()得：＝，所以选项C正确；

依据v＝()得：＝()＝9∶2，所以选项D错.

答案：C

3.一飞船在某行星表面附近沿圆形轨道绕该行星飞行，假设行星是质量分布均匀的球体.要确定该行星的密度，只需要测量(　)

A.飞船的轨道半径　　 B.飞船的运行速度

C.飞船的运行周期　 D.行星的质量

解析：因为F_向＝m()²r＝G

其中M＝πr³·ρ

可得：ρ＝.

答案：C

2.一行星的半径是地球半径的2倍，密度与地球的密度相等.在此行星上以一定的初速度竖直上抛一物体，上升的高度为h，则在地球上以同样大的初速度竖直上抛同一物体，上升的高度应为(空气阻力不计)(　)

A.h　　B.2h　　C.4h　　D.8h

解析：由g＝πGρR和h＝可知，选项B正确.

答案：B

1.对于万有引力定律的表达式F＝G，下列说法正确的是(　)

A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的

B.当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大

C.m₁与m₂受到的引力总是大小相等的，而与m₁和m₂是否相等无关

D.m₁与m₂受到的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力

答案：AC

6.2006年8月15日的国际天文学联合会(IAU)上定义了行星的新标准，冥王星被排除在行星之外而降为“矮行星”.另外，根据新标准，从理论上可分析出：如果地球和月亮还能继续存在几十亿年，月亮有可能成为行星.由于两者之间潮汐力的作用，月亮与地球的距离每年增加约3.75 cm，地球和月亮的共同质心(地球和月亮作为独立双星系统相互环绕的中心)转移到地球之外，到那时月亮就可能成为行星了.已知地球质量M＝5.97×10²⁴ kg，地球半径R＝6.37×10⁶ m，月球的质量m＝7.36×10²² kg，月地中心距离L＝3.84×10⁸ m，按上述理论估算月亮还需经多少年才可能成为行星？(结果保留两位有效数字)

解析：设当月地距离为L′时，月地的共同质心距地球中心距离r₁＝6.37×10⁶ m，即恰好移到地球之外，由向心力公式及万有引力定律得：

G＝Mωr₁

G＝mω(L′－r₁)

对于双星系统有：ω₁＝ω₂

解得：L′＝5.23×10⁸ m

由题意知到那时还需经过的时间为：

t＝年＝3.7×10⁹年.

答案：3.7×10⁹年

金典练习十　万有引力定律及其应用

选择题部分共10小题，每小题6分.在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确.

5.一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星的轨道离地面的高度为2R(R为地球半径)，已知地球表面重力加速度为g，则该卫星的运行周期是多大？若卫星的运动方向与地球自转方向相同，地球自转角速度为ω₀，某一时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则至少经过多长时间它再次通过该建筑物的正上方？

解析：设地球的质量为M，人造卫星的质量为m，引力提供向心力，有：

G＝mr()²

其中r＝h+R＝3R

又G＝mg

联立解得：T＝6π

设经过时间t，卫星再次通过该建筑物正上方，则有：

ω₀t+2π＝·t

解得：t＝.

答案：6π　

4.用m表示地球通讯卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球的半径，g表示地球表面的重力加速度，ω表示地球的自转角速度，则通讯卫星所受万有引力的大小是(　)

A.0　　　　B.

C.mω²(R+h)　 D.

解析：①由万有引力定律F＝G

又因为g＝

可得：F＝

②由万有引力等于向心力，有：F＝mω²(R+h).

答案：BC

3.我国和欧盟合作的建国以来最大的国际科技合作计划--伽利略计划将进入全面实施阶段，正式启动伽利略卫星导航定位系统计划.据悉，伽利略卫星定位系统将由30颗轨道卫星组成，卫星的轨道高度为2.4×10⁴ km，分布在三个轨道上，每个轨道上部署9颗工作卫星和1颗在轨备用卫星，当某颗工作卫星出现故障时可及时顶替工作.若某颗替补卫星处于略低于工作卫星的轨道上，则这颗卫星的周期和速度与工作卫星相比较，以下说法中正确的是(　)

A.替补卫星的周期大于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度

B.替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度

C.替补卫星的周期大于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度

D.替补卫星的周期小于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度

解析：由G＝m＝mr可知，

与工作卫星相比，替补卫星的周期略小，速度略大.

答案：B