原理：天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力．

　　 G=mr，由此可得：M=；ρ===(R为行星的半径)

由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T，就可以算出天体的质量M．若知道行星的半径则可得行星的密度

规律方法

1、万有引力定律的基本应用

[例1]如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？

分析 　把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解．

解 　完整的均质球体对球外质点m的引力

这个引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F₁与半径为R/2的小球对质点的引力F₂之和，即F=F₁+F₂．因半径为R/2的小球质量M^/为，

则

所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力

说明　 (1)有部分同学认为，如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求解．这是不正确的．万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间，但计算万有引力的简单公式却只能适用于两个质点或均匀球体，挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了，不能直接使用这个公式计算引力．

(2)如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理可得剩余部分对球外质点m的引力

上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量(7M/8)集中于球心时对质点的引力一样．

[例2]某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a＝½g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N时，求此时卫星距地球表面有多远？(地球半径R＝6.4×10³km,g取10m/s²)

解析：设此时火箭上升到离地球表面的高度为h，火箭上物体受到的支持力为N,物体受到的重力为mg^/，据牛顿第二定律．N－mg^/=ma……①

在h高处mg^/＝……②　　 在地球表面处mg=……③

把②③代入①得　　　　 ∴=1.92×10⁴　 km.

说明:在本问题中，牢记基本思路,一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万有引力．

[例3]有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T₀。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T。求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。

解析：根据单摆周期公式：其中l是单摆长度，g₀和g分别是两地点的重力加速度。根据万有引力公式得其中G是引力常数，M是地球质量。

由以上各式解得

[例4]登月火箭关闭发动机在离月球表面112 km的空中沿圆形轨道运动，周期是120.5 min,月球的半径是1740 km,根据这组数据计算月球的质量和平均密度．

解析：设月球半径为R，月球质量为M，月球密度为ρ，登月火箭轨道离月球表面为h，运动周期为T，火箭质量为m，由GMm/r²=m4π²r/T²得M=4π²r³/(GT²)，ρ=M/V，其中V=4π²R³/3，则F_向=mω²r=m4π²(R+h)/T²，F_引=GMm/(R+h)²，火箭沿轨道运行时有F_引=F_向，即GMm/(R+h)²= m4π²(R+h)/T²

故M=4π²(R+h)³/(GT²)²=7.2×10²²kg,ρ=3M/4πR³=3.26×10³kg/m³

[例5]已知火星上大气压是地球的1/200．火星直径约为球直径的一半，地球平均密度ρ_地=5.5×10³kg/m³，火星平均密度ρ_火=4×10³kg/m³．试求火星上大气质量与地球大气质量之比．

分析 　包围天体的大气被吸向天体的力．就是作用在整个天体表面(把它看成平面时)的大气压力．利用万有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比，即可算出它们的大气质量之比．

解　 设火星和地球上的大气质量、重力加速度分别为m_火、g_火、m_地、g_地，火星和地球上的大气压分别为据万有引力公式，火星和地球上的重力加速度分别为

综合上述三式得

[例6]一个宇航员在半径为R的星球上以初速度v₀竖直上抛一物体，经ts后物体落回宇航员手中．为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面，抛出时的速度至少为多少？

解析：物体抛出后，受恒定的星球引力作用，做匀减速运动，遵循着在地面上竖直上抛时的同样规律．设星球对物体产生的“重力加速度”为g_x，则由竖直上抛运动的公式得为使物体抛出后不再落回星球表面，应使它所受到的星球引力正好等于物体所需的向心力，即成为卫星发射了出去。_，这个速度即是这个星球上发射卫星的第一宇宙速度。

[例7]在“勇气”号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。

假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v₀，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道半径为r，周期为T。火星可视为半径为r₀的均匀球体。

分析：第一次落到火星表面弹起在竖直方向相当于竖直上抛，在最高点由于只有水平速度故将做平抛运动，第二次落到火星表面时速度应按平抛处理。无论是竖直上抛还是平抛的计算，均要知道火星表面的重力加速度g^/。利用火星的一个卫星的相关数据可以求出g^/。

解：设火星的一个卫星质量为m，任一物体的质量为m^/，在火星表面的重力加速度为g^/，火星的质量为M。

任一物体在火星表面有:……①　　　 火星的卫星应满足：……②

第一次落到火星表面弹起在竖直方向满足：v₁²＝2g^/h……③

第二次落到火星表面时速度应按平抛处理：……④

由以上4式可解得

设天体表面重力加速度为g,天体半径为R，由mg=得g=,由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为

　 重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m₂g＝G, g=GM/r²常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即g_h=GM/(r+h)²，比较得g_h=()²·g

　 在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F_向和m₂g刚好在一条直线上，则有

　　 F＝F_向+m₂g，

所以m₂g=F一F_向＝G－m₂Rω_自²

因地球目转角速度很小G» m₂Rω_自²,所以m₂g= G

假设地球自转加快，即ω_自变大，由m₂g＝G－m₂Rω_自²知物体的重力将变小，当G=m₂Rω_自²时，m₂g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω_自＝，比现在地球自转角速度要大得多.

(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．

(2)公式：F＝G,其中，称为为有引力恒量。

(3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r是两球心间的距离．

注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．

(1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．

(2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．

(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．

10.在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为υ₀，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r₀的均匀球体。

解：在火星表面，在万有引力等于重力得G^M_r^m₀₂^′ = m′g′　　　　　 ①　　　　　

火星的一个卫星，绕火星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力G^M_r^m₂ = m( ^2π　)²r　 　　② 探测器着陆时，竖直方向为自由落体运动υ₁² =2 g′h　　 　　　　　　　　　　　　　③　 　　　　　

探测器第二次落到火星表面时速度的大小υ = √υ₁² +υ₀²　　　　　 ④ 由①　②　 ③　 ④得υ =_√^8π2₂^h　_r02 ^r3 +υ₀²

9.神舟载人飞船在绕地球飞行进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度km的圆形轨道。已知地球半径km，地面处的重力加速度。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式(用h、R、g表示)，然后计算周期T的数值(保留两位有效数字)

　设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，圆轨道的半径为r，由万有引力和牛顿第二定律，有

地面附近

由已知条件

解以上各式得

代入数值，得

8.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R₁，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r₁，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用M、m、R、R₁、r、r₁和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)。

[解析]：如下图所示：

设O和分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A是地月连心线与地月球表面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道的交点．过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点．卫星在圆弧上运动时发出的信号被遮挡．

设探月卫星的质量为m₀，万有引力常量为G，根据万有引力定律有：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　　 (4分)

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　　 (4分)

②式中，T₁表示探月卫星绕月球转动的周期．

由以上两式可得：　　　　　　　　　　　 ③

设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，

应有：　　　　　　　　　④　　 (5分)

上式中，．

由几何关系得：　　　　　　 ⑤　　 (2分)

　　　　　　　　　　　⑥　　　 (2分)

由③④⑤⑥得：

　　　　⑦　　 (3分)

7.现有两颗绕地球匀速圆周运动的人造地球卫星A和B，它们的轨道半径分别为r_A和r_B。如果r_A＜r_B，则A

A．卫星A的运动周期比卫星B的运动周期大

B．卫星A的线速度比卫星B的线速度大

C．卫星A的角速度比卫星B的角速度大

D．卫星A的加速度比卫星B的加速度大

6. 我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取得重要进展。设地球、月球的质量分别为m₁、m₂，半径分别为R₁、R₂，人造地球卫星的第一宇宙速度为v，对应的环绕周期为T，则环绕月球表面附近圆轨道飞行的探测器的速度和周期分别为A

A．，　 　　B．，

C．，　 　　D． ，