4、 动能定理的综合应用

动能定理和动量定理、动量守恒定律的综合应用是力学问题的难点，也是高考考查的重点，解决这类问题关键是分清哪一过程中动量守恒，哪一过程中应用动能定理、动量定理

[例12]某地强风的风速约为v=20m/s,设空气密度ρ=1.3kg/m³_,如果把通过横截面积=20m²风的动能全部转化为电能,则利用上述已知量计算电功率的公式应为P=_________,大小约为_____W(取一位有效数字)

E_k=　　　　　 P=

[例13]两个人要将质量M＝1000 kg的小车沿一小型铁轨推上长L＝5 m,高h＝1 m的斜坡顶端．已知车在任何情况下所受的摩擦阻力恒为车重的0.12倍，两人能发挥的最大推力各为800 N.水平轨道足够长，在不允许使用别的工具的情况下，两人能否将车刚好推到坡顶？如果能应如何办？(要求写出分析和计算过程)(g取10 m/s ²)

解析:小车在轨道上运动时所受摩擦力f

　　 f＝μMg＝0.12×1000×10N=1200 N

　　 两人的最大推力F＝2×800 N＝1600 N

F＞f,人可在水平轨道上推动小车加速运动，但小车在斜坡上时f+Mgsinθ＝1200 N+10000·1/5N＝3200 N＞F=1600 N

　　 可见两人不可能将小车直接由静止沿坡底推至坡顶．

　　 若两人先让小车在水平轨道上加速运动，再冲上斜坡减速运动，小车在水平轨道上运动最小距离为s

　　 (F一f)s十FL一fL一Mgh=0

　 答案:能将车刚好推到坡顶，先在水平面上推20 m，再推上斜坡．

3、应用动能定理要注意的问题

注意1．由于动能的大小与参照物的选择有关，而动能定理是从牛顿运动定律和运动学规律的基础上推导出来，因此应用动能定理解题时，动能的大小应选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体作参照物来确定．

[例6]如图所示质量为1kg的小物块以5m/s的初速度滑上一块原来静止在水平面上的木板，木板质量为4kg，木板与水平面间动摩擦因数是0.02，经过2S以后，木块从木板另一端以1m/s相对于地的速度滑出，g取10m／s，求这一过程中木板的位移．

解析：设木块与木板间摩擦力大小为f₁，木板与地面间摩擦力大小为f₂．

对木块：一f₁t=mv_t一mv₀，得f₁=2 N

对木板：(f_l－f₂)t＝Mv,f₂＝μ(m+ M)g

得v＝0．5m/s　 对木板：(f_l－f₂)s=½Mv²，得 S=0·5 m　　 答案：0．5 m

注意2．用动能定理求变力做功，在某些问题中由于力F的大小的变化或方向变化，所以不能直接由W=Fscosα求出变力做功的值．此时可由其做功的结果--动能的变化来求变为F所做的功．

[例7]质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为()

　　 A.mgR/4　 　B. mgR/3　　 C. mgR/2　　 D.mgR

解析:小球在圆周运动最低点时,设速度为v₁,则7mg－mg=mv₁₂/R……①

设小球恰能过最高点的速度为v₂,则mg=mv₂²/R……②

设设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W,由动能定理得:－mg2R－W=½mv₂²－½mv₁²……③

由以上三式解得W=mgR/2.　 答案：C

　 说明：该题中空气阻力一般是变化的，又不知其大小关系，故只能根据动能定理求功，而应用动能定理时初、末两个状态的动能又要根据圆周运动求得不能直接套用，这往往是该类题目的特点．

注意3．区别动量、动能两个物理概念．动量、动能都是描述物体某一时刻运动状态的状态量，动量是矢量，动能是标量．动量的改变必须经过一个冲量的过程，动能的改变必须经过一个做功的过程．动量是矢量，它的改变包括大小和方向的改变或者其中之一的改变．而动能是标量，它的改变仅是数量的变化．动量的数量与动能的数量可以通过P²=2mE_K联系在一起，对于同一物体来说，动能E_K变化了，动量P必然变化了，但动量变化了动能不一定变化．例如动量仅仅是方向改变了，这样动能就不改变．对于不同的物体，还应考虑质量的多少．

[例8]动量大小相等的两个物体，其质量之比为2：3，则其动能之比为( B )

　　 A．2：3；　 B．3：2；　 C．4：9；　 D．9：4

解析：由E_k=可知，动量大小相等的物体，其动能与它们的质量成反比，因此动能的比应为3：2．

[例9]在水平面上沿一条直线放两个完全相同的小物体A和B，它们相距s，在B右侧距B2s处有一深坑，如图所示，现对A施以瞬间冲量，使物体A沿A、B连线以速度v₀开始向B运动．为使A与B能发生碰撞，且碰撞之后又不会落入右侧深坑中，物体A、B与水平面间的动摩擦因数应满足什么条件？设A,B碰撞时间很短，A、B碰撞后不再分离．

解析:A与B相碰，则

A和B碰前速度v₁，,

A与B碰后共同速度v₂.mv₁=2mv₂,

AB不落入坑中,　 解得

综上，μ应满足条件

[例10]如图所示，两个完全相同的质量为m的木板A、B置于水平地面上它们的间距s =2.88m．质量为2m 、大小可忽略的物块C置于A板的左端． C与A之间的动摩擦因数为μ₁=0.22， A、B与水平地面的动摩擦因数为μ₂=0.10， 最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力． 开始时， 三个物体处于静止状态．现给C施加一个水平向右，大小为的恒力F， 假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起．要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少?

[分析]：这题重点是分析运动过程，我们必须看到A、B碰撞前A、C是相对静止的，A、B碰撞后A、B速度相同，且作加速运动，而C的速度比A、B大，作减速运动，最终A、B、C达到相同的速度，此过程中当C恰好从A的左端运动到B的右端的时候，两块木板的总长度最短。

[解答]：设l为A或B板的长度，A、C之间的滑动摩擦力大小为f₁，A与水平面的滑动摩擦力大小为f₂

　 ∵μ₁=0.22。　 μ₂=0.10

∴……①　　 且…②

一开始A和C保持相对静止,在F的作用下向右加速运动.有 …③

A、B两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量。由动量守恒定律得mv₁=(m+m)v₂ …④

碰撞结束后到三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为s₁.

选三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则 …⑤　

设A、B系统与水乎地面之间的滑动摩擦力大小为f₃。对A、B系统，由动能定理

　… ⑥　　 …⑦

对C物体，由动能定理……… ⑧

由以上各式，再代人数据可得l=0.3(m)

注意4．动量定理与动能定理的区别，两个定理分别描述了力对物体作用效应，动量定理描述了为对物体作用的时间积累效应，使物体的动量发生变化，且动量定理是矢量武；而动能定理描述了力对物体作用的空间积累效应，使物体的动能发生变化，动能定理是标量式。所以两个定理分别从不同角度描述了为对物体作用的过程中，使物体状态发生变化规律，在应用两个定理解决物理问题晚要根据题目要求，选择相应的定理求解。

[例11]如图所示，在光滑的水平面内有两个滑块A和B，其质量m_A＝6kg，m_B=3kg，它们之间用一根轻细绳相连．开始时绳子完全松弛，两滑块靠在一起，现用了3N的水平恒力拉A，使A先起动，当绳被瞬间绷直后，再拖动B一起运动，在A块前进了0．75 m时，两滑块共同前进的速度v=2/3m／s，求连接两滑块的绳长．

解析：本题的关键在于“绳子瞬间绷直”时其张力可看成远大于外力F，所以可认为A、B组成的系统动量守恒．此过程相当于完全非弹性碰撞，系统的机械能有损失．

根据题意，设绳长为L，以绳子绷直前的滑块A为对象，由动能定理得FL=½m_Av₁²①

绳绷直的瞬间，可以认为T＞＞F，因此系统的动量守恒，m_Av₁＝(m_A十m_B)v₂②

对于绳绷直后，A、B组成的系统(看成一个整体)的共同运动过程，由动能定理

F(0．75－L)＝½(m_A十m_B )v₁²－½(m_A十m_B)v₂²……③

由式①一③解得L＝0．25m　　 答案：0．25 m

2、应用动能定理的优越性

(1)由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这一过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制．

(2)一般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解简捷．可是，有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解．可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是一种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识．

(3)用动能定理可求变力所做的功．在某些问题中，由于力F的大小、方向的变化，不能直接用W=Fscosα求出变力做功的值，但可由动能定理求解．

[例4]如图所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F时，转动半径为R，当拉力逐渐减小到F/4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R，则外力对物体所做的功的大小是:

解析:设当绳的拉力为F时，小球做匀速圆周运动的线速度为v₁，则有F=mv₁²/R……①

当绳的拉力减为F/4时，小球做匀速圆周运动的线速度为v₂,则有F/4=mv₂²/2R……②

在绳的拉力由F减为F/4的过程中，绳的拉力所做的功为W=½mv₂²－½mv₁²=－¼FR

所以，绳的拉力所做的功的大小为FR/4,A选项正确．

说明:用动能定理求变力功是非常有效且普遍适用的方法．

[例5]质量为m的飞机以水平v₀飞离跑道后逐渐上升,若飞机在此过程中水平速度保持不变,同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供,不含重力).今测得当飞机在水平方向的位移为L时,它的上升高度为h,求(1)飞机受到的升力大小?(2)从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能?

解析(1)飞机水平速度不变,L= v₀t,竖直方向的加速度恒定,h=½at²,消去t即得

由牛顿第二定律得:F=mg+ma=

(2)升力做功W=Fh=

在h处,v_t=at=,　　　　

　　 恒力作用下的匀变速直线运动，凡不涉及加速度和时间的问题，利用动能定理求解一般比用牛顿定律及运动学公式求解要简单的多．用动能定理还能解决一些在中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问题、曲线运动等问题．

[例1]如图所示，质量为m的物体与转台之间的摩擦系数为μ，物体与转轴间距离为R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物体开始在转台上滑动，此时转台已开始匀速转动，这过程中摩擦力对物体做功为多少？

　　 解析：物体开始滑动时，物体与转台间已达到最大静摩擦力，这里认为就是滑动摩擦力μmg．

根据牛顿第二定律μmg=mv²/R……①　　　　　 由动能定理得：W=½mv² ……②

由①②得：W=½μmgR，所以在这一过程摩擦力做功为½μmgR

点评：(1)一些变力做功，不能用 W＝ FScosθ求，应当善于用动能定理．

(2)应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无须深究物体的运动状态过程中变化的细节，只须考虑整个过程的功量及过程始末的动能．若过程包含了几个运动性质不同的分过程．即可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待求出总功．计算时要把各力的功连同符号(正负)一同代入公式．

[例2]一质量为m的物体．从h高处由静止落下，然后陷入泥土中深度为Δh后静止，求阻力做功为多少？

　　 提示：整个过程动能增量为零，　　 则根据动能定理mg(h+Δh)－W_f＝0

　　 所以W_f＝mg(h+Δh)　　 答案：mg(h+Δh)

规律方法　

1、动能定理应用的基本步骤

应用动能定理涉及一个过程，两个状态．所谓一个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功；两个状态是指初末两个状态的动能．

动能定理应用的基本步骤是：

①选取研究对象，明确并分析运动过程．

②分析受力及各力做功的情况，受哪些力？每个力是否做功？在哪段位移过程中做功？正功？负功？做多少功？求出代数和．

③明确过程始末状态的动能E_k1及E_K2

④列方程 W=E_K2一E_k1，必要时注意分析题目的潜在条件，补充方程进行求解．

[例3]总质量为M的列车沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶了L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，设阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？

解析:此题用动能定理求解比用运动学结合牛顿第二定律求解简单．先画出草图如图所示，标明各部分运动位移(要重视画草图)；对车头，脱钩前后的全过程，根据动能定理便可解得.FL－μ(M－m)gS₁=－½(M－m)v₀²

对末节车厢，根据动能定理有一μmgs₂＝－½mv₀² 而ΔS=S₁一S₂由于原来列车匀速运动，所以F=μMg．以上方程联立解得ΔS=ML/ (M一m)．

说明:对有关两个或两个以上的有相互作用、有相对运动的物体的动力学问题,应用动能定理求解会很方便．最基本方法是对每个物体分别应用动能定理列方程，再寻找两物体在受力、运动上的联系，列出方程解方程组．

设物体的质量为m，在恒力F作用下，通过位移为S，其速度由v₀变为v_t，

　则：根据牛顿第二定律F=ma……①　　 根据运动学公式2as=v_t²一v₀²……②

由①②得：FS=½mv_t²－½mv₀²

7．对动能定理中的位移与速度必须相对同一参照物．

6．动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的．但它也适用于变为及物体作曲线运动的情况．即动能定理对恒力、变力做功都适用；直线运动与曲线运动也均适用．

5．力的独立作用原理使我们有了牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律的分量表达式．但动能定理是标量式．功和动能都是标量，不能利用矢量法则分解．故动能定理无分量式．在处理一些问题时，可在某一方向应用动能定理．

4．各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求力做功，然后求代数和．

3、动能定理适用单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能(比如内能)的转化．在动能定理中．总功指各外力对物体做功的代数和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力等．