3、公式：W＝FScosα(α为F与s的夹角)．

说明：恒力做功大小只与F、s、α这三个量有关．与物体是否还受其他力、物体运动的速度、加速度等其他因素无关，也与物体运动的路径无关．

2.做功的两个必要因素：力和物体在力的方向上的位移

1、定义： 力和力的作用点通过位移的乘积．

4、实际问题中的功率

[例8]推动节水工程的转动喷水“龙头”。如图所示，龙头距地面h，其喷灌半径可达10h，每分钟喷水质量为m，所用水从地面下H的井中抽取，设水以相同的速率喷出，水泵的效率为η，水泵的功率P至少多大？

解析:水泵对水做功，用来增大水的重力势能和动能．

设水喷出时速度为v，则h=½gt²,10h=vt;解得

每分钟内水泵对水做的功W＝mg(H+h)+½mv²=mg(H+26h)，又W=ηPt,∴

[例9]一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成，未画出)，经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投上后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动(忽略经BC段时的微小滑动)。己知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N，这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P。

[解析]以地面为参考(下同)，设传送带的运动速度为v₀，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为S，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有：S＝½at²……①

　 v₀＝at………②。在这段时间内，传送带运动的路程为：S₀= v₀t……③，由以上可得S₀＝2S……④。用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为：W₁=fS=½mv₀²……⑤；传送带克服小箱对它的摩擦力做功：W₀=Fs₀=2·½mv₀²……⑥

两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量：Q=½mv₀²……⑦

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。

T时间内，电动机输出的功为：W=PT……⑧

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热,即W=½Nmv₀²十Nmgh+NQ……⑨

已知相邻两小箱的距离为L，所以：v₀T＝NL……⑩

联立⑦⑧⑨⑩得。　　　　　

3、汽车起动问题分析

(1)当以恒定功率运动时，做加速度越来越小的变加速直线运动，a=－，当F_牵＝f时，加速度a＝0，此时的速度为最大速度．所以v_m=p/f，以后机车做匀速直线运动。

(2)欲使汽车从静止开始做匀加速直线运动，一开始不能用额定功率，功率必须随着速度增加而增加，使P/v=F恒定；这种运动持续一段时间后．汽车又做加速度越来越小的加速运动，最后达到最大速度v_m，所以求匀加速直线运动的时间不可用t=v_m/a，必须用v=P_额/F　 ，而t=v/a，　　 由此得：t= P_额/Fa

[例7]质量为lkg的机械与平面间摩擦力f=2N，其额定功率为12 W，要使它以a＝lm／s²的加速度做匀加速直线运动，问做这种运动的最长时间为多少？

　　 错解：v_m＝P/f＝6m／s，　　　　 t=v_m/a=6s

　 解析：以上做法错在何处，我们进行如下的分析：要使a＝lm／s²，必须F＝f+ma＝3N

要使F=3N速度最大为v=P/F=4m／s　　 所以做匀加速直线运动的时间为t=v/a=4s

这里可做这样的检验：当速度大于4m／s 时，不妨设为5 m／s ；F=P/v=2．4N，则加速度a=(F－f)/m=0．4 m／s²，显然不是匀加速直线运动了，所以一旦速度大于4m／s 时，由于功率不再增加，加速度则变小，做的是加速度越来越小的加速直线运动，直到加速度为零，之后做匀速运动．答案：4 s

点评(1)此类问题关键是发动机的功率是否达到额定功率，若在额定功率下起动，则一定是交加速运动，因为牵引力随速度的增大而减小．求解时不能用匀变速运动的规律来解．具体变化过程可用如下示意图表示．

(2)特别注意匀加速起动时，牵引力恒定．当功率随速度增至预定功率时的速度(匀加速结束时的速度)，并不是车行的最大速度．此后，车仍要在额定功率下做加速度减小的加速运动．(这阶段类同于额定功率起动)直至a=0时速度达到最大．具体变化过程可用如下示意图

[例]一辆汽车在平直的公路上以速度v₀开始加速行驶，经过一段时间t，前进了距离s，此时恰好达到其最大速度V_m.设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作，汽车所受的阻力恒定为F，则在这段时间里，发动机所做的功为(　　 )

A、　 Fv_mt；B、Pt；C、½mv_m²+Fs－½mv₀²；D、；

解析：汽车在恒定功率作用做变牵引力的加速运动，所以发动机做功为变力做功，根据P=W/t可求得W=Pt，而P=F^/v=Fv_m，所以W= Fv_m t；根据能量守恒：W+½mv₀²=½mv_m²+Fs

所以W=½mv_m²+Fs－½mv₀²；答案：ABC

思考：为何用得到不正确？错在哪里？

[例]质量为m = 4000kg的卡车，额定输出功率为P=60 kW。当它从静止出发沿坡路前进时，每行驶100 m，升高5m，所受阻力大小为车重的0.1倍，取g=10 m/s² .

试求：(1)卡车能否保持牵引力为8000 N不变在坡路上行驶？

(2)卡车在坡路上行驶时能达到的最大速度为多大？这时牵引力为多大？

(3)如果卡车用4000 N牵引力以12m/s的初速度上坡，到达坡顶时，速度为4 m/s,那么卡车在这一段路程中的最大功率为多少？平均功率是多少？

分析:汽车能否保持牵引力为8000 N上坡要考虑两点：第一，牵引力是否大于阻力？第二，汽车若一直加速，其功率是否将超过额定功率，依P=Fv解。本题考查了汽车牵引力恒定时功率的计算。不少同学在得到F > f + mgsinθ后，立即做出结论：汽车可以保持牵引力8000 N不变上坡；而没有考虑到汽车由于加速，速度不断增大，其功率不断增大，如果坡路足够长，这种运动方式是不允许的。

解：分析汽车上坡过程中受力情况如图所示：牵引力F,重力mg＝4×10⁴N，f＝kmg＝4×10³ N，支持力N，依题意sinθ＝5/100。

(1)汽车上坡时，若F＝8000N,而f+mgsinθ＝4×10³+4×10⁴×1/20＝6×10³ N,即F> f +mgsinθ,汽车将加速上坡，速度不断增大，其输出功率P=Fv也不断增大，长时间后，将超出其额定输出功率，所以，汽车不能保持牵引力为8000N不变上坡。

　(2)汽车上坡时，速度越来越大，必须不断减小牵引力以保证输出功率不超过额定输出功率，当牵引力F= f + mgsinθ=6×10³ N时，汽车加速度为零，速度增大到最大，设为v_m，则P＝Fv＝(f+mgsinθ)·v_m；

F= f + mgsinθ=6×10³ N

(3)若牵引力F=4000N，汽车上坡时，速度不断减小，所以最初的功率即为最大，P=Fv=4000×12=48×10³w。整个过程中平均功率为=32×10³W

2、两种功率

[例4]长为L的细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，开始时，细线被拉直，并处于水平位置，球处在0点等高的A位置，如图所示，现将球由静止释放，它由A运动到最低点B的过程中，重力的瞬时功率变化的情况是( )

A.一直在增大　　 B.一直在减小　　 C.先增大后减小　　 D.先减小后增大

解析:小球在A位置时速度为零，重力的瞬时功率为零，到达B位置时，速度达到最大，方向水平向左，与重力夹角为90⁰，P_B＝0，由于两个极端位置瞬时功率均为0，故可判断C正确．

点评:物体在恒力作用下的变速运动或在变力作用下的运动，力做功的瞬时功率一般都随时间变化，因此，在求某力在某时的瞬时功率或讨论某力做功的瞬时功率随时间的变化时，都应根据公式P=Ftcosα来进行分析和计算．

　　 [例5](1994年上海高考题)跳绳是一种健身运动。设某运动员的质量是50kg，他一分钟跳绳180次。假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的2/5，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是＿。(g取10m/s²)

　解析：把运动员每次跳跃转换成质点做竖直上抛运动模型。每次跳跃总时间

T＝60/180＝1/3s．　　 每次腾空的时间t=(l一)=0．02s。

每次腾空高度　 h=½g(t/2)²=½×10×(0．02/2)²＝0．05m。

每次腾空上升时克服重力做的功　 W=mgh=50×10×0．05＝25J。

　　 把每次跳跃总时间T内的触地过程、下落过程舍弃，简化成在T内就是单一竖直上升克服重力做功的过程，故可解出 P＝W/T＝25／(1/3)=75 W。

点评：综上所述不难发现，灵活地转换物理模型是一种重要的物理思想方法。学会这种方法，就会使我们在解决物理问题时变得从容自如，巧解速解物理问题，从而提高学习的效率。

[例6]随着生活水平的提高，伴随着心血管病也比以前增加了．为了提高生活质量，延长人的寿命，掌握心血管健康活动的常识就显得十分重要，心脏在人的一生之中之所以能够　 不停地跳动而不疲倦，其原因之一在于它的活　 动具有节律性，图中是心脏每跳动一次，心房和心室的舒张、收缩情况：

　(1)从图分析，心脏在人的一生中不停地跳动，为什么不会疲倦？

　(2)如果有人心率为75次／min，则每搏的输出量为70ml，每分钟输出量为　　　　 ，一般情况下，长跑运动员与正常人相比，心率较慢，但　　　　　 较多，所以能满足运动时的供血．

　(3)如果有人的心率为 75次／min，则心脏每跳动一次所需的时间是　　　　 ，心房、心室共同处于　　　　　　 期，所占的时间约为　　　　　　　　

　 (4)若某人的心脏每分钟跳动75次，心脏收缩压为135mmHg(lmmHg＝133．322Pa)收缩一次输出血量平均为70ml，那么心脏收缩时的平均功率有多大？

　解析：(1)从图中可以看出，如果心率是75次／min，其中心房只工作(收缩)了0．1s，休息(舒张)了0．7s，心室工作了0．3s，休息了0．5s，可见心脏每跳动一次，心房、心室的舒张期比收缩期长，心脏有充分休息的时间，因此人的一生，心脏不停地跳动而不知疲倦．

　　 (2)5250ml(每搏输出量是指心脏跳动一次，心脏收缩时向动脉输出的血量，每收缩一次输出70ml，每分输出量为70×75=5250ml)

　　 经常参加体育锻炼的人，心肌发达，搏动有力，每搏输出量比一般人要大．

　　 (3)0．8s　 舒张0．4s(心脏每分钟跳动的次数叫心率)

　　 (4)心脏收缩一次做功：W=P·ΔV

　　 ∵P=135mmHg＝1．8×10⁴Pa　　　 ΔV＝70ml＝7×10^－5m3

　　 ∴W＝1．8×10⁴Pa×7×10^－5m3＝1．26J ∴每分钟，心脏做功W^/=75×1．26=94．5J

　　 ∴心脏收缩时平均功率为=94．5/60=1．6W

规律方法

1、功率的计算方法

[例1]如图所示，质量为lkg的物体与平面间摩擦系数μ=0．l(g取10m／s²)，在2 N水平拉力作用下由静止开始运动了2s，求这段时间内拉力、摩擦力、重力、支持力的平均功率及2s末的即时功率各为多少？

　 解析：a==1m／s²．s＝½at²＝2m．　　 v＝at＝2m/s

　　 外力 F做功功率．平均值为：p₁＝W/t=Fs/t=2W　　 2s末即时功率为：P₁^/=Fv＝4 W

　　 摩擦力做功功率．平均值：P₂=fs/t=1W　　 2 s末即时功率为：P₂^/=fv= 2 W

　　 重力与支持力N由P=Fvcosθ知：功率都为0．

答案：外力F平均功率和即时功率分别为2W、4W；摩擦力平均功率和即时功率分别为1W、2W；重力和支持力功率都为0．

　　 点评：(1)明确是什么力做功功率；　　 (2)清楚是平均功率还是即时功率．

[例2]如图所示，质量为m的物体沿高为h的光滑斜面滑下到达底端时重力的即时功率为多少？

错解：由机械能守恒定律可知到达底端速度v=，所以此时功率P＝mgv=mg：提示：这里没有注意到mg与v的夹角，应当为P= mgsinθ

点评：做题时注意力跟速度的夹角．

[例3]一个小孩站在船头，按应当为图5-15两种情况用同样大小力拉绳，经过相同的时间t(船未碰撞)，小孩所做的功W₁、W₂及在时间t内小孩拉绳的功率 P₁、P₂的关系为(　 )

A．W₁＞W₂，P₁= P₂　　 B．W₁＝W₂，P₁＝P₂　　

C．W₁＜W₂，P₁＜P₂　　 D．W₁＜W₂，P₁= P₂

提示：两种情况中拉力对人做的功一样，第二种情况拉力除对人做功外，又对另一只小船也做了功，所以W₂＞W₁．由于所用时间一样，所以P₂＞P₁．　　

答案：C

　　 点评：应弄清哪一个力对哪一个物体做功，其功率是什么

4．我们处理问题时必须清楚是哪一个力的功率，如一个机械的功率为P，这里指的是牵引力的功率，不可认为是机械所受合外力的功率．

3．P＝Fv应用时，F、v必须同向，否则应分解F或v，使二者同向．这里的P=Fv实际上是Fvcosθ、θ为F、v夹角．

2．P＝Fv当v为平均值时为平均功率，当v为即时值时为即时功率．