首先应特别提醒注意的是，机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统在克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．

(1)用做功来判断：分析物体或物体受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒；

(2)用能量转化来判定：若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系机械能守恒．

(3)对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除非题目的特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能不守恒

说明：1．条件中的重力与弹力做功是指系统内重力弹力做功．对于某个物体系统包括外力和内力，只有重力或弹簧的弹力作功，其他力不做功或者其他力的功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒，也就是说重力做功或弹力做功不能引起机械能与其他形式的能的转化，只能使系统内的动能和势能相互转化．如图5－50所示，光滑水平面上，A与L₁、L₂二弹簧相连，B与弹簧L₂相连，外力向左推B使L₁、L₂ 被压缩，当撤去外力后，A、L₂、B这个系统机械能不守恒，因为L_I对A的弹力是这个系统外的弹力，所以A、L₂、B这个系统机械能不守恒．但对L_I、A、L₂、B这个系统机械能就守恒，因为此时L₁对A的弹力做功属系统内部弹力做功．

　2．只有系统内部重力弹力做功，其它力都不做功，这里其它力合外力不为零，只要不做功，机械能仍守恒，即对于物体系统只有动能与势能的相互转化，而无机械能与其他形式转化(如系统无滑动摩擦和介质阻力，无电磁感应过程等等)，则系统的机械能守恒，如图5－51所示光滑水平面上A与弹簧相连，当弹簧被压缩后撤去外力弹开的过程，B相对A没有发生相对滑动，A、B之间有相互作用的力，但对弹簧A、B物体组成的系统机械能守恒．

3．当除了系统内重力弹力以外的力做了功，但做功的代数和为零，但系统的机械能不一定守恒．如图5-52所示，物体m在速度为v₀时受到外力F作用，经时间t速度变为v_t．(v_t＞v₀)撤去外力，由于摩擦力的作用经时间t^/速度大小又为v₀，这一过程中外力做功代数和为零，但是物体m的机械能不守恒。

[例2]对一个系统，下面说法正确的是(　　 )

A．受到合外力为零时，系统机械能守恒

B．系统受到除重力弹力以外的力做功为零时，系统的机械能守恒

C．只有系统内部的重力弹力做功时，系统的机械能守恒

D．除重力弹力以外的力只要对系统作用，则系统的机械能就不守恒

解析：系统受到合外力为零时，系统动量守恒，但机械能就不一定守恒，C对

[例3]如图所示，在光滑的水平面上放一质量为M＝96．4kg的木箱，用细绳跨过定滑轮O与一质量为m=10kg的重物相连，已知木箱到定滑轮的绳长AO＝8m，OA绳与水平方向成30⁰角，重物距地面高度h=3m，开始时让它们处于静止状态．不计绳的质量及一切摩擦，g取10 m／s²，将重物无初速度释放，当它落地的瞬间木箱的速度多大？

解析：本题中重物m和水箱M动能均来源于重物的重力势能，只是m和M的速率不等．

根据题意，m，M和地球组成的系统机械能守恒，选取水平面为零势能面，有mgh＝½mv+½Mv

从题中可知，O距M之间的距离为　 h^/＝Oasin30⁰＝4 m

当m落地瞬间，OA绳与水平方向夹角为α，则cosα==4/5

　而m的速度v_m等于v_M沿绳的分速度，如图5-55所示，则有　 v_m＝v_Mcosα　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 所以，由式①一③得v_M=m/s　　 答案：m/ s

3．表达形式：E_K1+E_pl=E_k2+E_P2

(1)我们解题时往往选择的是与题目所述条件或所求结果相关的某两个状态或某几个状态建立方程式．此表达式中E_P是相对的．建立方程时必须选择合适的零势能参考面．且每一状态的E_P都应是对同一参考面而言的．

(2)其他表达方式，ΔE_P=一ΔE_K，系统重力势能的增量等于系统动能的减少量．

(3)ΔE_a=一ΔE_b，将系统分为a、b两部分，a部分机械能的增量等于另一部分b的机械能的减少量，

2.机械能守恒的条件

(1)对某一物体，若只有重力(或弹簧弹力)做功，其他力不做功(或其他力做功的代数和为零)，则该物体机械能守恒．

(2)对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变为其他形式的能，则系统机械能守恒．

1、内容：在只有重力(和弹簧的弹力)做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变．

3、动能和势能(重力势能与弹性势能)统称为机械能．

2．重力做功与重力势能的关系：重力做功等于重力势能的减少量W_G=ΔE_P减=E_P初一E_P末，克服重力做功等于重力势能的增加量W_克=ΔE_P增=E_P末-E_P初

　　 特别应注意：重力做功只能使重力势能与动能相互转化，不能引起物体机械能的变化．

1．由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能叫做势能．如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等．

(1)物体由于受到重力作用而具有重力势能，表达式为 E_P=一mgh．式中h是物体到零重力势能面的高度．

(2)重力势能是物体与地球系统共有的．只有在零势能参考面确定之后，物体的重力势能才有确定的值，若物体在零势能参考面上方高 h处其重力势能为 E_P=一mgh，若物体在零势能参考面下方低h处其重力势能为 E_P=一mgh，“一”不表示方向，表示比零势能参考面的势能小，显然零势能参考面选择的不同，同一物体在同一位置的重力势能的多少也就不同，所以重力势能是相对的．通常在不明确指出的情况下，都是以地面为零势面的．但应特别注意的是，当物体的位置改变时，其重力势能的变化量与零势面如何选取无关．在实际问题中我们更会关心的是重力势能的变化量．

[例1]如图所示，桌面高地面高H，小球自离桌面高h处由静止落下，不计空气阻力，则小球触地的瞬间机械能为(设桌面为零势面)(　　　 )

　　 A．mgh； B．mgH；C．mg(H+h)； D．mg(H－h)

解析：这一过程机械能守恒，以桌面为零势面，E_初=mgh，所以着地时也为mgh，有的学生对此接受不了，可以这样想，E_初=mgh ，末为 E_末=½mv²－mgH，而½mv²=mg(H+h)由此两式可得：E_末=mgh　　 答案：A

(3)弹性势能，发生弹性形变的物体而具有的势能．高中阶段不要求具体利用公式计算弹性势能，但往往要根据功能关系利用其他形式能量的变化来求得弹性势能的变化或某位置的弹性势能．

2、机械能守恒定律的灵活运用

[例7]如图所示，一对杂技演员(都视为质点)乘秋千(秋千绳处于水平位置)从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自已刚好能回到高处A 。求男演员落地点C 与O 点的水平距离s。已知男演员质量m₁，和女演员质量m₂之比=2,秋千的质量不计，秋千的摆长为R , C 点比O 点低5R。

解：设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度为v₀，由机械能守恒定律

(m₁+m₂)gR=½ (m₁+m₂)v₀²

设刚分离时男演员速度的大小为v₁,方向与v₀相同；女演员速度的大小为v₂，方向与v₀相反，由动量守恒，

(m₁+m₂)v₀=m₁v₁－m₂v₂

分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C点所需的

时间为t ，根据题给条件，由运动学规律4R=gt²　　 s=v₁t

根据题给条件，女演员刚好回到A点，由机械能守恒定律,m₂gR=m₂v₂²

已知m₁/m₂=2,由以上各式可得　 s=8R

[例8]如图5 -4 -5所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球．支架悬挂在0点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是

　　 A. A球到达最低点时速度为零

　　 B. A球机械能减少量等于B球机械能增加量

　　 C. B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度

　　 D.当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度

解析:因A处小球质量大，所处的位置高，图中三角形框架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动．摆动过程中只有小球受的重力做功，故系统的机械能守恒，选项B正确，D选项也正确.A球到达最低点时，若设支架边长是L. A球下落的高度便是L/2，有2mg·(L/2)的重力势能转化为支架的动能，因而此时A球速度不为零，选项A错．当A球到达最低点时有向左运动的速度，还要继续左摆，B球仍要继续上升，因此B球能达到的最高位置比A球的最高位置要高，C选项也正确．

　　 (1)根据题意选取研究对象(物体或系统)．

　　 (2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．

　　 (3)恰当地选取零势面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能．

　　 (4)根据机械能守恒定律的不同表达式列式方程，若选用了增(减)量表达式，(3)就应成为确定过程中，动能、势能在过程中的增减量或各部分机械能在过程中的增减量来列方程进行求解．

[例1]如图5一66所示一质量为m的小球，在B点从静止开始沿半球形容器内壁无摩擦地滑下，B点与容器底部A点的高度差为h，容器质量为M，内壁半径为R．求：

(1)当容器固定在水平桌面上，小球滑至底部A时，容器内壁对小球的作用力大小．

(2)当容器放置在光滑的水平桌面上，小球滑至底部A时，小球相对容器的速度大小．

　　 解析：(1)m下滑只有重力做功，机械能守恒mgh=½mv²

　　 达底端A，根据牛顿第二定律T－mg=mv²/R所以T=mg+2mgh/R=mg(1+2h/R)

(2若容器在光滑水平桌面上，选m和M为研究对象，系统机械能守恒，水平方向上动量守恒

　　 mgh=½mv²+½Mu₁²，0=mv十Mu₁　　 所以u₁=－mv/M

　 代入得mgh＝½mv²，所以v=，小球相对容器的速度大小为v^/＝v-u₁＝v十mv/M

　　 所以v^/=

　　 答案：(1)mg(1+2h/R)，(2)

规律方法　

1、机械能守恒定律与圆周运动结合

物体在绳、杆、轨道约束的情况下在竖直平面内做圆周运动，往往伴随着动能，势能的相互转化，若机械能守恒，即可根据机械能守恒去求解物体在运动中经过某位里时的速度，再结合圆周运动、牛顿定律可求解相关的运动学、动力学的量．

[例2]如图1所示．一根长L的细绳，固定在O点，绳另一端系一条质量为m的小球．起初将小球拉至水平于A点．求(1)小球从A点由静止释放后到达最低点C时的速度．(2)小球摆到最低点时细绳的拉力。

解：(1)由机械能守恒有：mgl=½mv_C²;

(2) 在最低点，由向心力公式有T－mg=mv²/l;T=3mg;

[例3]在上例中，将小球自水平向下移，使细绳与水平方向成θ=30⁰角，如图2所示．求小球从A点由静止释放后到达最低点C时细绳的拉力．

解：

[例4]如图，长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，另一端固定在O点，在O点的正下方某处P点有一钉子，把线拉成水平，由静止释放小球，使线碰到钉子后恰能在竖直面内做圆周运动，求P点的位置？

解析： 设绳碰到钉子后恰能绕P点做圆周运动的半径为r，运动到最高点的速率为V，由机械能守恒定律得：

在最高点，由向心力公式有：,,

[例5]如图5-69所示，长为l不可伸长的细绳一端系于O点，一端系一质量为m的物体，物体自与水平夹角30⁰(绳拉直)由静止释放，问物体到达O点正下方处的动能是多少？

　　 错解：由机械能守恒定律：mg1·5l=½mv²，　　 所以最低点动能为1．5mgl

　　 分析：小球运动过程是：先由A点自由下落至B．自B点做圆周运动，就在B处绳使其速度改变的瞬间小球的动能减少，下面我们通过运算来说明这个问题．

正确解法： v_B=，其方向竖直向下，将该速度分解如图5一70所示　　

v₂＝vcos30⁰=cos30⁰　

　　 由B至C的过程中机械能守恒　 ½mv十mg0.5l=½mv

　 由此得½mv=5mgl/4

答案：5mgl/4

　　 点评：通过例5、例6两题，人们会有这种想法：为什么例 5中在速度改变瞬间(B点)有能量损失，而例 6中就没有能量损失，这其中原因是什么呢？仔细考虑可知：例6中绳的作用力与速度垂直，所以只改变了速度的方向而没有改变速度的大小，而例5中虽然速度大小发生了变化(v₂＜v_B)．由动量定理可知，沿半径方向绳的拉力T产生的冲量使沿绳方向的动量发生了变化，即TΔt＝mv₁，因此该情况就有能量损失，也就不可用机械能守恒定律．

　[例6]如图所示，在一根长为L的轻杆上的B点和末端C各固定一个质量为m的小球，杆可以在竖直面上绕定点A转动，BC=L/3,现将杆拉到水平位置从静止释放，求末端小球C摆到最低点时速度的大小和这一过程中BC端对C球所做的功。(杆的质量和摩擦不计)

解析：B、C两球系统在下摆的过程中只有重力做功，系统机械能守恒。

;　 由于B、C角速度相同，

解得：

对于C球,由动能定理得解得杆BC段对C球做功

2、镇流器是一个带铁芯的线圈，起动时产生高电压点燃日光灯，目光灯发光以后，线圈中的自感电动势阻碍电流变化，起着降压限流作用，保证日光灯正常工作．

[例10]在图中， L是自感系数足够大的线圈，其直流电阻可以忽略不计，D₁和D₂是两个相同的灯泡，若将电键K闭合，待灯泡亮度稳定后再断开电键K，则(AC)

A．电键K闭合时，灯泡D₁和D₂同时亮，然后D₁会变暗直到不亮，D₂更亮

B．电键K闭合时，灯泡D₁很亮，D₂逐渐变亮，最后一样亮亮亮

C．电键K断开时，灯泡D₂随之熄灭。而D₁会更下才熄灭

D．电键K断开时，灯泡D₁随之熄灭，而D₂会更下才熄灭

解析：电键K闭合时，L会产生ε_自从而阻碍电流增大，D₁和D₂同时亮，随着电流趋于稳定，L中的ε_自逐渐减小，最后L会把D₁短路，D₁不亮，而D₂两端电压会增大而更亮．当K断开时，D₂中因无电流会随之熄灭，而L中会产生ε_自，与D₁构成闭合回路，D₁会亮一下．再者L中的电流是在I=的基础上减小的．会使D₁中的电流在K断开的瞬间与K闭合时相比要大，因而D₁会更亮．

[例11]如图所示是演示自感现象的电路图．L是一个电阻很小的带铁芯的自感线圈，A是一个标有“6V，4w”的小灯泡，电源电动势为6V，内阻为3Ω，在实验中(ABD　 )

　　 A．S闭合的瞬间灯泡A中有电流通过，其方向是从a→b

　　 B．S闭合后，灯泡A不能正常工作

　　 C．S由闭合而断开瞬间，灯A中无电流

　　 D．S由闭合而断开瞬间，灯A中有电流通过，其方向为从b→a

　解析：S闭合瞬间，L的阻抗很大，对灯泡A来讲在S闭合瞬间L可视为断路．由于如图电源左正右负，所以此刻灯泡中电流由a到b，选项A正确；S闭合后电路达到稳定状态时，L的阻抗为零，又L上纯电阻极小，所以灯泡A不能正常发光，故选项B正确．S断开前L上的电流由左向右，S断开瞬间，灯泡A上原有电流即刻消失，但L和A组成闭合回路，L上的电流仍从左向右，所以回路中电流方向是逆时针的，灯泡A上电流从b到a，故选项D正确，选项C错误．