题目列表(包括答案和解析)

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3、利用振动图像分析简谐振动

[例7]一弹簧振子沿x轴振动,振幅为4 cm. 振子的平衡位置位于x袖上的0点.图甲中的a ,b,c,d为四个不同的振动状态:黑点表示振子的位置,黑点上箭头表示运动的方向.图乙给出的①②③④四条振动图线,

可用于表示振子的振动图象是(  AD  )

A.若规定状态a时t=0,则图象为①

B.若规定状态b时t=0,则图象为②

C.若规定状态c时t=0,则图象为③

D.若规定状态d时t=0,则图象为④

解析:若t=0,质点处于a状态,则此时x=+3 cm运动方向为正方向,只有图①对;若t=0时质点处于b状态,此时x=+2 cm,运动方向为负方向,②图不对;若取处于C状态时t=0,此时x=-2 cm,运动方向为负方向,故图③不正确;取状态d为t=0时,图④刚好符合,故A,D正确.

点评: 对振动图象的理解和掌握要密切联系实际,既能根据实际振动画出振动图象;又能根据振动图象还原成一个具体的振动,达到此种境界,就可熟练地用图象分析解决振动

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2、弹簧振子模型

[例5]如图所示,质量为m的物块A放在木板B上,而B固定在竖直的轻弹簧上。若使 A随 B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离,则充当 A的回复力的是     。当A的速度达到最大时,A对B的压力大小为         

解析:根据题意,只要在最高点A、B仍能相对静止,则它们就会始终不脱离。而在最高点,外界对A所提供的最大回复力为mg,即最大加速度amax=g,故A、B不脱离的条件是a≤g,可见,在振动过程中,是A的重力和B对A的支持力的合力充当回复力。

   因为A在系统的平衡位置时,速度最大,此时A所受重力与B对它的支持力的合力为零,由牛顿第三定律可知,a对B的压力大小等于其重力mg。

拓展:①要使不脱离B,其最大振幅为多少?可仍以最高点为例,设弹簧的劲度系数为k,B的质量为mB,因为mg=mamax,振幅最大时,a才有最大值,,是由kAmax=(m+mB)g,得Amax= m+mB)g/k。

②运动至最低点时A对B的最大压力是多少?

③若让A从离静止的B上方h处自由下落与B相碰一起运动,则在最低点的加速度一定满足a>g,为什么?

[例6]在光滑的水平面上停放着一辆质量为M的小车,质量为m的物体与劲度系数为k的一轻弹簧固定相连.弹簧的另一端与小车左端固定连接,将弹簧压缩x0后用细绳将m 栓住,m静止在小车上的A点,如图所示,m与M 间的动摩擦因数为μ,O 点为弹簧原长位置,将细绳烧断后,m、M开始运动.求:①当m位于O点左侧还是右侧且跟O点多远时,小车的速度最大?并简要说明速度为最大的理由.②判断m与M的最终运动状态是静止、匀速运动还是相对往复的运动?

[解析]①在细线烧断时,小球受水平向左的弹力F与水平向右的摩擦力f作用,开始时F必大于f.m相对小车右移过程中,弹簧弹力减小,而小车所受摩擦力却不变,故小车做加速度减小的加速运动.当F=f时车速达到最大值,此时m必在O点左侧。设此时物体在O点左侧x处,

则kx=μmg。所以,当x=μmg/k时,小车达最大速度.

   ②小车向左运动达最大速度的时刻,物体向右运动也达最大速度,这时物体还会继续向右运动,但它的运动速度将减小,即小车和物体都在做振动.由于摩擦力的存在,小车和物体的振动幅度必定不断减小,设两物体最终有一共同速度v,因两物体组成的系统动量守恒,且初始状态的总动量为零,故v=0,即m与M的最终运动状态是静止的  

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1、简谐运动的特点

[例4](1995年全国)一弹簧振子作简谐振动,周期为T(     )

   A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍

   B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反,则上t一定等于T/2的整数倍

   C.若Δt=T,则在 t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加速度一定相等

   D.若Δt=T/2,则在t时刻和(t十Δt)时刻弹簧的长度一定相等

解析:做简谐运动时,振子由平衡位置到最大位移,再由最大位移回到平衡位置,两次经过同一点时,它们的位移大小相等、方向相同,其时间间隔并不等于周期的整数倍,选项A错误。同理在振子由指向最大位移,到反向最大位移的过程中,速度大小相等、方向相反的位里之间的时间间隔小于T/2,选项B错误。相差T/2的两个时刻,弹黄的长度可能相等,振子从平衡位置开始振动、再回到平衡位置时,弹簧长度相等、也可能不相等、选项D错误。若Δt=T,则根据周期性,该振子所有的物理量应和t时刻都相同,a就一定相等,所以,选项C正确。

   本题也可通过振动图像分析出结果,请你自己尝试一下。  

[例5]如图所示,一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动,O为平衡位置,A,B为最大位移处,当振子由A点从静止开始振动,测得第二次经过平衡位置所用时间为t秒,在O点上方C处有一个小球,现使振子由A点,小球由C点同时从静止释放,它们恰好到O点处相碰,试求小球所在C点的高度H是多少?

解析:由已知振子从A点开始运动,第一次经过O点的时间是1/4周期,第二次经过O点是3/4周期,设其周期T,所以有:t=3T/4,T=4t/3;

振子第一次到O点的时间为;振子第二次到点的时间为;振子第三次到O点的时间为……第n次到O点的时间为(n=0.1,2,3……)

C处小球欲与振子相碰,它和振子运动的时间应该是相等的;小球做自由落体运动,所以有

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4.应用:①可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x;

②判定各时刻的回复力、速度、加速度方向;

③判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能、等物理量的变化情况

注意:①振动图象不是质点的运动轨迹.

②计时点一旦确定,形状不变,仅随时间向后延伸。

③简谐运动图像的具体形状跟计时起点及正方向的规定有关。

规律方法

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3.特点:简谐运动的图象是正弦(或余弦)曲线.

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2.坐标系:以横轴表示时间,纵轴表示位移,用平滑曲线连接各时刻对应的位移末端即得

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1.物理意义:表示振动物体(或质点)的位移随时间变化的规律.

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振动体位置
位移X
回复力F
加速度a
速度v
势能
动能
方向
大小
方向
大小
方向
大小
方向
大小
平衡位置O
 
0
 
0
 
0
 
最大
最小
最大
最大位移处A
指向A
最大
指向O
最大
指向O
0→最大
 
0
最大
最小
平衡位置O→最大位移处A
指向A
0→最大
指向O
0→最大
指向O
最大
O→A
最大→0
最小→最大
最大→最小
最大位移处A→平衡位置O
指向A
最大→0
指向O
最大→0
指向O
最大→0
A→O
0→最大
最大→最小
最小→最大

说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化(正弦或余弦函数),变化周期为T,振子的动能、势能也做周期性变化,周期为 T/2。

①凡离开平衡位置的过程,v、Ek均减小,x、F、a、EP均增大;凡向平衡位置移动时,v、Ek均增大, x、F、a、EP均减小.

②振子运动至平衡位置时,x、F、a为零,EP最小,v、Ek最大;当在最大位移时,x、F、a、EP最大,v、Ek最为零;

③在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同.

[例3]如图所示,一弹簧振子在振动过程中,经a、b两点的速度相同,若它从a到b历时0.2s,从b再回到a的最短时间为0.4s,则该振子的振动频率为(   )。

   (A)1Hz;(B)1.25Hz  (C)2Hz;(D) 2.5Hz

  解析:振子经a、b两点速度相同,根据弹簧振子的运动特点,不难判断a、b两点对平衡位置(O点)一定是对称的,振子由b经O到a所用的时间也是0.2s,由于“从b再回到a的最短时间是0.4s,”说明振子运动到b后是第一次回到a点,且Ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处,则振子从b→c→b历时0.2s,同理,振子从a→d→a,也历时0.2s,故该振子的周期T=0.8s,根据周期和频率互为倒数的关系,不难确定该振子的振动频率为1.25Hz。   综上所述,本题应选择(B)。

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4、在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力;在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

[例2]如图所示,在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m(M≥m)的D、B两物体.箱子放在水平地面上,平衡后剪断D、B间的连线,此后D将做简谐运动.当D运动到最高点时,木箱对地压力为(     )

   A、Mg; B.(M-m)g; C、(M+m)g ;  D、(M+2m)g

[解析]当剪断D、B间的连线后,物体D与弹簧一起可当作弹簧振子,它们将作简谐运动,其平衡位置就是当弹力与D的重力相平衡时的位置.初始运动时D的速度为零,故剪断D、B连线瞬间D相对以后的平衡位置的距离就是它的振幅,弹簧在没有剪断D、B连线时的伸长量为x1=2 mg/k,在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x2=mg/k,故振子振动过程中的振幅为  A=x2-x1= mg/k

D物在运动过程中,能上升到的最大高度是离其平衡位移为A的高度,由于D振动过程中的平衡位置在弹簧自由长度以下mg/k处,刚好弹簧的自由长度处就是物D运动的最高点,说明了当D运动到最高点时,D对弹簧无作用力,故木箱对地的压力为木箱的重力Mg.

点评:一般说来,弹簧振子在振动过程中的振幅的求法均是先找出其平衡位置,然后找出当振子速度为零时的位置,这两个位置间的距离就是振幅.本题侧重在弹簧振子运动的对称性.解答本题还可以通过求D物运动过程中的最大加速度,它在最高点具有向下的最大加速度,说明了这个系统有部分失重,从而确定木箱对地面的压力

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3、可以证明,竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动,周期公式也是。这个结论可以直接使用。

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