3、利用振动图像分析简谐振动

[例7]一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4 cm. 振子的平衡位置位于x袖上的0点.图甲中的a ,b,c,d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上箭头表示运动的方向．图乙给出的①②③④四条振动图线，

可用于表示振子的振动图象是(　 AD　 )

A.若规定状态a时t＝0，则图象为①

B.若规定状态b时t＝0，则图象为②

C.若规定状态c时t＝0，则图象为③

D.若规定状态d时t＝0，则图象为④

解析:若t＝0，质点处于a状态，则此时x＝+3 cm运动方向为正方向，只有图①对；若t＝0时质点处于b状态，此时x＝+2 cm，运动方向为负方向，②图不对；若取处于C状态时t=0，此时x=－2 cm，运动方向为负方向，故图③不正确；取状态d为t=0时,图④刚好符合，故A,D正确．

点评: 对振动图象的理解和掌握要密切联系实际，既能根据实际振动画出振动图象；又能根据振动图象还原成一个具体的振动，达到此种境界，就可熟练地用图象分析解决振动

2、弹簧振子模型

[例5]如图所示，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直的轻弹簧上。若使 A随 B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当 A的回复力的是　　　　 。当A的速度达到最大时，A对B的压力大小为　　　　　　　　　 。

解析：根据题意，只要在最高点A、B仍能相对静止，则它们就会始终不脱离。而在最高点，外界对A所提供的最大回复力为mg，即最大加速度a_max=g，故A、B不脱离的条件是a≤g，可见，在振动过程中，是A的重力和B对A的支持力的合力充当回复力。

　　 因为A在系统的平衡位置时，速度最大，此时A所受重力与B对它的支持力的合力为零，由牛顿第三定律可知，a对B的压力大小等于其重力mg。

拓展：①要使不脱离B,其最大振幅为多少?可仍以最高点为例，设弹簧的劲度系数为k，B的质量为m_B，因为mg=ma_max，振幅最大时，a才有最大值，，是由kA_max=(m+m_B)g，得A_max= m+m_B)g/k。

②运动至最低点时A对B的最大压力是多少?

③若让A从离静止的B上方h处自由下落与B相碰一起运动,则在最低点的加速度一定满足a>g,为什么?

[例6]在光滑的水平面上停放着一辆质量为M的小车，质量为m的物体与劲度系数为k的一轻弹簧固定相连．弹簧的另一端与小车左端固定连接，将弹簧压缩x₀后用细绳将m 栓住，m静止在小车上的A点，如图所示，m与M 间的动摩擦因数为μ，O 点为弹簧原长位置，将细绳烧断后，m、M开始运动．求：①当m位于O点左侧还是右侧且跟O点多远时，小车的速度最大？并简要说明速度为最大的理由．②判断m与M的最终运动状态是静止、匀速运动还是相对往复的运动？

[解析]①在细线烧断时，小球受水平向左的弹力F与水平向右的摩擦力f作用，开始时F必大于f．m相对小车右移过程中，弹簧弹力减小，而小车所受摩擦力却不变，故小车做加速度减小的加速运动．当F=f时车速达到最大值，此时m必在O点左侧。设此时物体在O点左侧x处，

则kx=μmg。所以，当x＝μmg／k时，小车达最大速度．

　　 ②小车向左运动达最大速度的时刻，物体向右运动也达最大速度，这时物体还会继续向右运动，但它的运动速度将减小，即小车和物体都在做振动．由于摩擦力的存在，小车和物体的振动幅度必定不断减小，设两物体最终有一共同速度v，因两物体组成的系统动量守恒，且初始状态的总动量为零，故v=0，即m与M的最终运动状态是静止的　　

1、简谐运动的特点

[例4](1995年全国)一弹簧振子作简谐振动，周期为T(　　　　 )

　　 A．若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍

　　 B．若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则上t一定等于T/2的整数倍

　　 C．若Δt=T，则在 t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加速度一定相等

　　 D．若Δt＝T/2，则在t时刻和(t十Δt)时刻弹簧的长度一定相等

解析:做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经过同一点时，它们的位移大小相等、方向相同，其时间间隔并不等于周期的整数倍，选项A错误。同理在振子由指向最大位移，到反向最大位移的过程中，速度大小相等、方向相反的位里之间的时间间隔小于T/2，选项B错误。相差T/2的两个时刻，弹黄的长度可能相等，振子从平衡位置开始振动、再回到平衡位置时，弹簧长度相等、也可能不相等、选项D错误。若Δt＝T，则根据周期性，该振子所有的物理量应和t时刻都相同，a就一定相等，所以，选项C正确。

　　 本题也可通过振动图像分析出结果，请你自己尝试一下。　　

[例5]如图所示，一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动，O为平衡位置，A,B为最大位移处，当振子由A点从静止开始振动，测得第二次经过平衡位置所用时间为t秒，在O点上方C处有一个小球，现使振子由A点，小球由C点同时从静止释放，它们恰好到O点处相碰，试求小球所在C点的高度H是多少？

解析:由已知振子从A点开始运动，第一次经过O点的时间是1/4周期，第二次经过O点是3/4周期，设其周期T，所以有：t=3T/4,T=4t/3;

振子第一次到O点的时间为；振子第二次到点的时间为；振子第三次到O点的时间为……第n次到O点的时间为(n＝0．1,2,3……)

C处小球欲与振子相碰，它和振子运动的时间应该是相等的；小球做自由落体运动，所以有

4.应用：①可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x；

②判定各时刻的回复力、速度、加速度方向；

③判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能、等物理量的变化情况

注意：①振动图象不是质点的运动轨迹．

②计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸。

③简谐运动图像的具体形状跟计时起点及正方向的规定有关。

规律方法

3.特点：简谐运动的图象是正弦(或余弦)曲线．

2.坐标系：以横轴表示时间，纵轴表示位移，用平滑曲线连接各时刻对应的位移末端即得

1.物理意义：表示振动物体(或质点)的位移随时间变化的规律．

说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化(正弦或余弦函数)，变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为 T／2。

①凡离开平衡位置的过程，v、E_k均减小，x、F、a、E_P均增大；凡向平衡位置移动时，v、E_k均增大, x、F、a、E_P均减小.

②振子运动至平衡位置时，x、F、a为零，E_P最小，v、E_k最大；当在最大位移时，x、F、a、E_P最大，v、E_k最为零；

③在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、E_k、E_P的大小均相同．

[例3]如图所示，一弹簧振子在振动过程中，经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0．2s，从b再回到a的最短时间为0．4s，则该振子的振动频率为(　　 )。

　　 (A)1Hz；(B)1.25Hz　 (C)2Hz；(D) 2．5Hz

　 解析：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置(O点)一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是0．2s，由于“从b再回到a的最短时间是0．4s，”说明振子运动到b后是第一次回到a点，且Ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b→c→b历时0．2s，同理，振子从a→d→a，也历时0．2s，故该振子的周期T＝0．8s，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1．25Hz。　　 综上所述，本题应选择(B)。

4、在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

[例2]如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m(M≥m)的D、B两物体．箱子放在水平地面上，平衡后剪断D、B间的连线，此后D将做简谐运动．当D运动到最高点时，木箱对地压力为(　　　　 )

　　 A、Mg； B．(M－m)g； C、(M+m)g ；　 D、(M+2m)g

[解析]当剪断D、B间的连线后，物体D与弹簧一起可当作弹簧振子，它们将作简谐运动，其平衡位置就是当弹力与D的重力相平衡时的位置．初始运动时D的速度为零，故剪断D、B连线瞬间D相对以后的平衡位置的距离就是它的振幅，弹簧在没有剪断D、B连线时的伸长量为x₁＝2 mg／k，在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x₂＝mg／k，故振子振动过程中的振幅为　 A＝x₂－x₁= mg／k

D物在运动过程中，能上升到的最大高度是离其平衡位移为A的高度，由于D振动过程中的平衡位置在弹簧自由长度以下mg／k处，刚好弹簧的自由长度处就是物D运动的最高点，说明了当D运动到最高点时，D对弹簧无作用力，故木箱对地的压力为木箱的重力Mg．

点评：一般说来，弹簧振子在振动过程中的振幅的求法均是先找出其平衡位置，然后找出当振子速度为零时的位置，这两个位置间的距离就是振幅．本题侧重在弹簧振子运动的对称性．解答本题还可以通过求D物运动过程中的最大加速度，它在最高点具有向下的最大加速度，说明了这个系统有部分失重，从而确定木箱对地面的压力

3、可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。