3．5 rad/s.

当直杆和球的角速度ω>3.5 rad/s时，b绳才有张力．

答案：见解析

11．如图8所示，把一个质量m＝1 kg的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上A、B两个固定点相连接，绳a、b长都是1 m，AB长度是1.6 m，直杆和球旋转的角速度等于多少时，b绳上才有张力？

解析：已知a、b绳长均为1 m，即

Am＝Bm＝1 m，AO＝AB＝0.8 m

在△AOm中，cosθ＝＝＝0.8，

图9

sinθ＝0.6，θ＝37°

小球做圆周运动的轨道半径

r＝Om＝Am·sinθ＝1×0.6 m＝0.6 m.

b绳被拉直但无张力时，小球所受的重力mg与a绳拉力FT_a的合力F为向心力，其受力分析如图9所示，由图可知小球的向心力为

F＝mgtanθ

根据牛顿第二定律得

F＝mgtanθ＝mr·ω²

解得直杆和球的角速度为

ω＝＝ rad/s＝

10．小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发12.5 min到达正对岸，求：

(1)水流的速度；

(2)船在静水中的速度；

(3)河的宽度；

(4)船头与河岸间的夹角α.

解析：船头垂直对岸方向航行时，如图7(1)所示．

因为x＝v₂t₁，所以水的流速

v₂＝＝ m/s＝0.2 m/s

而且有d＝v₁t₁.①

船头保持与上游河岸成α角航行时，如图7(2)所示

图7

v₂＝v₁cosα②

d＝v₁t₂sinα③

由①③式得：sinα＝＝＝0.8，

所以α＝53°

由②得：v₁＝＝ m/s

由①得：d＝v₁t₁＝200 m.

答案：(1)0.2 m/s　(2) m/s

(3)200 m　(4)53°

图8

图6

9．飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看作一段圆弧，如图6所示，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径为r＝180 m的圆周运动，如果飞行员质量m＝70 kg，飞机经过最低点P时的速度v＝360 km/h，则这时飞行员对座椅的压力是多少？(g＝10 m/s²)

解析：飞机经过最低点时对飞行员受力分析得：F_N－mg＝m

∴F_N＝mg+m＝4589 N

由牛顿第三定律得飞行员对座椅的压力为4589 N.

答案：4589 N

8．(2011·西南师大附中模拟)如图5所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是(　)

A．小球通过最高点时的最小速度v_min＝

B．小球通过最高点时的最小速度v_min＝0

C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力

D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

解析：小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力F_N与球重力在背离圆心方向的分力F_mg的合力提供向心力，即：F_N－F_mg＝m，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，D错误．

答案：BC

7．如图4所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球，当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L₁；当汽车以同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L₂，下列答案中正确的是(　)

A．L₁＝L₂　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．L₁>L₂

C．L₁<L₂　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．前三种情况均有可能

答案：B

图5

6．如图3所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是(　)

A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动

B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动

C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动

D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc运动

解析：若拉力突然消失，则小球沿着P点处的切线运动，A正确．若拉力突然变小，则小球做离心运动，但由于力与速度有一定的夹角，故小球做曲线运动，B、D错误．若拉力突然变大，则小球做近心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，C错误．

答案：A

图4

5．由上海飞往洛杉矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，如果保持飞行速度的大小和距离海面的高度不变，则以下说法正确的是(　)

A．飞机做的是匀速直线运动

B．飞机上的乘客对座椅压力略大于地球对乘客的引力

C．飞机上的乘客对座椅压力略小于地球对乘客的引力

D．飞机上的乘客对座椅的压力为零

解析：因地球为球形，飞机飞行中实际在绕地心做圆周运动，其加速度--向心加速度总是向下指向地心，乘客随飞机运动亦有指向地心向下的加速度，处于失重状态，故乘客对座椅的压力小于其重力．

答案：C

图3

4．如图2所示，具有圆锥形状的回转器(陀螺)，半径为R，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度ω快速旋转，同时以速度v向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v至少应等于(　)

A．ωR　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．ωH

C．R　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．R

答案：D

3．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的高一些．路面与水平面间的夹角为θ，设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于(　)

A．arcsin　　　　　　　　　 B．arctan

C.arcsin　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．arccot

解析：汽车在水平面内做圆周运动，如果路面是水平的，汽车做圆周运动的向心力只能由静摩擦力提供；如果外侧路面高于内侧路面一个适当的高度，也就是路面向内侧倾斜一个适当的角度θ，地面对车支持力的水平分量恰好提供车所需要的向心力时，车轮与路面的横向摩擦力正好等于零．在此临界情况下对车受力分析，明确汽车所受合外力的方向：水平指向圆心．然后由牛顿第二定律列方程求解．

答案：B

图2