12．(2010·重庆理综，24)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳

一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在坚直

平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞

行水平距离d后落地，如图4－2－28所示．已知握绳的手离地

面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g.忽略手的　　　 图4－2－28

运动半径和空气阻力．

(1)求绳断时球的速度大小v₁和球落地时的速度大小v₂.

(2)问绳能承受的最大拉力多大？

(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水

平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

解析：(1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，竖直方向d－d＝gt²，水平方

向d＝v₁t

联立解得v₁＝

由机械能守恒定律，有mv＝mv+mg

解得v₂＝

(2)设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小．

球做圆周运动的半径为R＝d

由圆周运动向心力公式，在其圆周运动的最低点，

有F_T－mg＝

联立解得F_T＝mg

(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v₃，绳承受的最大拉力不变，有F_T－mg＝m

得v₃＝

绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t₁，有d－l＝gt　x

＝v₃t₁，解得x＝4

当l＝时，x有极大值 x_m＝d

答案：(1)v₁＝　v₂＝ 　(2)mg　(3)l＝　x_m＝d

11.如图4－2－27所示，半径为r＝20 cm的两圆柱体A和B，靠电动机带动

按相同方向均以角速度ω＝8 rad/s转动，两圆柱体的转动轴互相平行且在

同一平面内，转动方向已在图中标出，质量均匀的木棒水平放置其上，重 图4－2－27

心在刚开始运动时恰在B的正上方，棒和圆柱间动摩擦因数μ＝0.16，两圆柱体中心间

的距离x＝1.6 m，棒长l>2 m，重力加速度取10 m/s²，求从棒开始运动到重心恰在A正

上方需多长时间？

解析：棒开始与A、B两轮有相对滑动，棒受向左摩擦力作用，做匀加速运动，末速度

v＝ωr＝8×0.2 m/s＝1.6 m/s，加速度a＝μg＝1.6 m/s²，时间t₁＝＝1 s，此时间内棒运

动位移x₁＝at＝0.8 m．此后棒与A、B无相对运动，棒以v＝ωr做匀速运动，再运动

x₂＝x－x₁＝0.8 m，重心到A正上方时间t₂＝＝0.5 s，故所求时间t＝t₁+t₂＝1.5 s.

答案：1.5 s

10．如图4－2－26所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为

L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg

的小球，沿斜面做圆周运动，若要小球能通过最高点A，则小球在最　　 图4－2－26

低点B的最小速度是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．2 m/s　 B．2 m/s

C．2 m/s　 D．2 m/s

答案：C

9．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的

外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff_甲和Ff_乙．以下说法正确的是　　　 (　)

A．Ff_甲小于Ff_乙

B．Ff_甲等于Ff_乙

C．Ff_甲大于Ff_乙

D．Ff_甲和Ff_乙大小均与汽车速率无关

解析：本题重点考查的是匀速圆周运动中向心力的知识．根据题中的条件可知，两车在

水平面做匀速圆周运动，则地面对车的摩擦力来提供其做圆周运动的向心力，则F_向＝

F_f，又有向心力的表达式F_向＝，因为两车的质量相同，两车运行的速率相同，因此

轨道半径大的车的向心力小，即摩擦力小，A正确．

答案：A

8.如图4－2－25所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转

动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的

质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小

孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运

动情况是　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中　　　　　　　　　　　　　　 图4－2－25

B．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中

C．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中

D．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中

解析：在松手前，甲、乙两小孩做圆周运动的向心力均由静摩擦力及拉力的合力提供的，

且静摩擦力均达到了最大值．因为这两个小孩在同一个圆盘上转动，故角速度ω相同，

设此时手中的拉力为F_T，则对甲：Ff_m－F_T＝mω²R_甲．对乙：F_T+Ff_m＝mω²R_乙，当松手

时，F_T＝0，乙所受的最大静摩擦力小于所需要的向心力，故乙做离心运动，然后落入水

中．甲所受的静摩擦力变小，直至与它所需要的向心力相等，故甲仍随圆盘一起做匀速

圆周运动，选项D正确．

答案：D

7.如图4－2－24所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，P、Q为对应的轨道

最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能过轨道

最高点P，则下列说法中正确的是　　　　　　　　　　　　 (　)

A．轨道对小球做正功，小球的线速度v_P>v_Q

B．轨道对小球不做功，小球的角速度ω_P<ω_Q 图4－2－24

C．小球的向心加速度a_P>a_Q

D．轨道对小球的压力F_P>F_Q

解析：本题考查圆周运动和机械能守恒，中档题．轨道光滑，小球在运动的过程中只受重

力和支持力，支持力时刻与运动方向垂直所以不做功，A错；那么在整个过程中只有重力

做功满足机械能守恒，根据机械能守恒有v_P<v_Q，在P、Q两点对应的轨道半径r_P>r_Q，根

据ω＝，a＝，得小球在P点的角速度小于在Q点的角速度，B正确；在P点的向心

加速度小于在Q点的向心加速度，C错；小球在P和Q两点的向心力由重力和支持力提

供，即mg+F_N＝ma_向，可得P点对小球的支持力小于Q点对小球的支持力，D错．

答案：B

6．全国铁路大面积提速后，京哈、京沪、京广、胶济等提速干线的部分区段时速可达300

公里，我们从济南到青岛乘“和谐号”列车就可以体验时速300公里的追风感觉．火车

转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损．为解决火车

高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．适当减小内外轨的高度差

B．适当增加内外轨的高度差

C．适当减小弯道半径

D．适当增大弯道半径

解析：设火车轨道平面的倾角为α时，火车转弯时内、外轨均不受损，根据牛顿第二定

律有mgtan α＝m，解得v＝，所以为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，

可行的措施是适当增加内外轨的高度差(即适当增大角α)和适当增大弯道半径r.

答案：BD

5．质量为m的石块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，

如果摩擦力的作用使得石块的速度大小不变，如图4－2－23所示，那

么　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　(　) 　图4－2－23

A．因为速率不变，所以石块的加速度为零

B．石块下滑过程中受的合外力越来越大

C．石块下滑过程中受的摩擦力大小不变

D．石块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心

解析：由于石块做匀速圆周运动，只存在向心加速度，大小不变，方向始终指向球心，

D对，A错．由F_合＝F_向＝ma_向知合外力大小不变，B错，又因石块在运动方向(切线方

向)上合力为零，才能保证速率不变，在该方向重力的分力不断减小，所以摩擦力不断减

小，C错．

答案：D

4．在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，

下列说法中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．l、ω不变，m越大线越易被拉断

B．m、ω不变，l越小线越易被拉断

C．m、l不变，ω越大线越易被拉断

D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变

解析：由向心力表达式F_线＝F_向＝mlω²可知，F_线上拉力越大，线越易断，故选项A、C

正确，B错误；若m不变，l减半角速度ω加倍时，线的拉力加倍，故D错误．

答案：AC

3．如图4－2－22是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为

r₁的大齿轮，Ⅱ是半径为r₂的小齿轮，Ⅲ是半径为r₃的后轮，

假设脚踏板的转速为n，则自行车前进的速度为　　　 (　) 　　　图4－2－22

A.　 B.　 C.　 D.　

解析：前进速度即为Ⅲ轮的线速度，由同一个轮上的角速度相等，同一皮带传动的两轮

边缘的线速度相等可得：ω₁r₁＝ω₂r₂，ω₃＝ω₂，再有ω₁＝2πn，v＝ω₃r₃，所以v＝.

答案：C