1. 静止在水平地面上的物体，在恒力F的作用下发生位移s，在地面光滑和不光滑两种情况中(　　 )

A. 无摩擦时，力F对物体做的功多　　 B. 有摩擦时，力F对物体做的功多

C. 无摩擦时，物体获得的动能大　　　　　　 D. 不论有无摩擦物体获得的动能一样大

3. 是指力的作用点的位移与力的方向之间的夹角，确定时应慎重。

例3：如图3(a)所示，某人用100N的恒力通过滑轮把放在粗糙水平面上物体拉动了1m，用力方向始终与水平面的夹角为60°，那么此人做的功是多少？

错解：由，物体前进1m，绳子拉动2m，即，已知，因而。

图3(a)

正解与分析：上面计算中除对力的作用点的位移确定有误外，对于的确定也是错误的。正确的关系如图3(b)所示，设力F的作用点在绳子的A点，当物体沿水平方向移动s₀时，A点沿着方向位移也为s₀，力的作用点的位移沿着的方向移动s。

图3(b)

而由图中几何关系得，为力的作用点的位移方向与力的方向之间的夹角。

所以，为力的作用点的位移，所以

当然上题也可以由定滑轮省力不省功原理来计算，即：

上面几例是对功的公式的探讨和剖析，可见记住一个公式很容易，要理解它并非易事，用好它更不是轻而易举的事情，教学中应加强对学生这方面能力的培养。

[模拟试题]

(答题时间：40分钟)

2. 位移是指力的作用点的位移

功的计算中的位移，是指相应的力的作用点的位移。一般情况下，它与运动物体的位移相同，但也有不同的情况，计算功时要特别注意这一区别。

例2：如图2所示，人通过一动滑轮提升一重物，人向上的拉力是700N，重物的质量为50kg，求把重物提升1m的过程中人和重力分别做的功。(g=10m/s²)

图2

错解：由知①对于人的拉力来说，

所以

② 对于重力

正解与分析：显然上述计算中的结论是错误的。根源就是把物体的位移当作力的作用点的位移，其实在物体提升1m时，人要用700N的力把绳子向上拉2m，因而正确的结果是

力的作用点的位移和物体的位移相同的情况是常见的，但二者有差别也是常出现的，计算功时不可以掉以轻心。

对功的公式的探讨

功是物理学中十分活跃的一个物理量，它的计算是物理学中最基本的问题之一。在力学、电学、热学、光学、原子物理学中均出现，单就力学范围来讲，它的计算也是个不容忽视的问题。下面几例，仅就力学部分依据公式计算功时应注意的问题进行探讨。

1. 位移是相对的，随参照物的不同而不同。

运动是相对的，位移也是相对的。在确定功的计算式中的位移时，需要选用参照物，这样位移才能确定，计算才有着落。

例1：如图1(a)所示，小物块A位于光滑的斜面B上，斜面位于光滑的地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中斜面对小物块的作用力(　　 )

A. 垂直于接触面，做功为零　　　　　　 B. 垂直于接触面，做功不为零

C. 不垂直于接触面，做功为零　　　　 D. 不垂直于接触面，做功不为零

图1(a)

错解：大部分学生认为答案是A。他们的根据是“支持力的方向垂直于支持面，指向被支持的物体”，物体沿斜面下滑时，位移方向沿斜面向下，与支持力方向夹角为90°(等于把斜面选为参照物)，从而由功的计算公式可判定。

正解与分析：根据支持力的特点，“其方向垂直于支持面，指向被支持的物体”，这一点毫无疑问。支持力做功与否要由来决定，这里，，关键是是否为90°。上述错解不符合题目“从地面上看”的要求，故选支持力做功为零是不符合题意的。从地面上看时，由题设条件“光滑斜面”及“光滑水平面”的情境，小物块A下滑时，斜面体会反冲。这样以地面为参照物时，物体的位移就是如图1(b)中的s段，而不是沿斜面方向，由于位移方向与支持力方向夹角大于90°，故支持力做负功。

上述错解的根源在于对位移的相对性注意不够，一般来说，在功的计算中都是取匀速运动的物体或静止的物体作为参照物来确定物体的位移，即所谓惯性参照系。

图1(b)

(二)动能定理使用三误区

误区一：不理解动能是标量，认为不同方向的动能值相同，而意义不同。

例1：一物体质量为2kg，以4m/s的速度在光滑水平面上向左滑行。从某时刻起作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度方向变为水平向右，大小为4m/s，在这段时间内，水平力做功为(　　 )

A. 0　　　 B. 8J　　　 C. 16J　　　 D. 32J

错解：

选D

诊断及正解：错在认为动能有方向，向左的16J动能与向右的16J动能不同。实际上动能是标量，没有方向，且是恒正的一个量，由动能定理得：

正确答案：A

误区二：不理解动能定理的实质，在运用中，位移和速度不相对同一参照系。

例2：子弹以某速度击中静止在光滑水平面上的木块，当子弹进入木块深度为x时，木块相对水平面移动距离，求木块获得的动能和子弹损失的动能之比。

错解：设子弹在木块中运动时，受到木块摩擦阻力大小为，则由动能定理：

对子弹：

即

对木块：

所以

诊断及正解：错在使用动能定理时，乱用参考系，没有统一确定。以地面为参考系，木块的位移为，子弹的位移为

故

子弹损失的动能大于木块获得的动能，这表明子弹损失的动能中一大部分已转化为克服阻力做功而产生的热，使子弹和木块构成的系统内能增加。

误区三：不理解什么力做功对应什么能量的变化，误认为每一个力的功与所有能量的变化相对应。

例3：某人从离地面10m高处的平台上抛出一个质量为1kg的球，球落地速度为15m/s，不计空气阻力，求人对球所做的功，g取10m/s²。

错解：人对球做功

诊断及正解：错在未弄清人对球做功会导致什么能量发生变化，误认为小球落地时的动能等于人对球所做的功，忽视了球自抛出到落地过程中重力对球做的功。

根据机械能守恒定律，求抛出时的初动能。人对球做功的过程只在球抛出的瞬间，由动能定理：

故

[模拟试题]

(答题时间：60分钟)

1. 一质量为2kg的滑块，以4m/s的速度在水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m/s，在这段时间里水平力做功为(　　 )

A. 0　　　 B. 8J　　　 C. 16J　　　 D. 32J

2. 质量为m的物体以加速度a作匀加速直线运动，在第n秒的动能增量为，在第秒内动能增加为，则－，等于(　　 )

A. 0　　　 B. ma　　　 C. 　　　　D. 条件不足，不能求解

3. 一个物体以初速度v竖直向上抛出，它落回原处时的速度为，设运动过程中阻力大小保持不变，则重力与阻力之比为(　　 )

A. 　　　　B. 　　　C. 　　　　D.

4. 物体A和B质量相等，A置于光滑的水平面上，B置于粗糙水平面上，开始时都处于静止状态，在相同的水平力F作用下移动相同的位移，则(　　 )

A. 力F对A做功较多，A的动能较大

B. 力F对B做功较多，B的动能较大

C. 力F对A和B做功相同，A和B的动能相同

D. 力F对A和B做功相同，但A的动能较大

5. 人在高h米的地方，斜向上抛出一质量为m的物体，物体最高点的速度为，落地速度为，人对这个物体做的功为(不计空气阻力)(　　 )

A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

6. 人从地面上，以一定的初速度将一个质量为m的物体竖直向上抛出，上升的最大高度为h，空中受的空气阻力大小恒力为f，则人在此过程中对球所做的功为(　　 )

A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

7. 一个质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m，这时物体的速度是2m/s，则下列说法中错误的是(g取)(　　 )

A. 手对物体做功12J　　　　 　 B. 合外力对物体做功2J

C. 合外力对物体做功10J　　　　　 D. 物体克服重力做功10J

8. 如图所示，质量为m的物块与转台之间的动摩擦因数为，物体与转轴相距R，物块随转台由静止开始运动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时，转台已开始做匀速运动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功为(　　 )

A. 　　　　B. 　　　C. 　　　D.

9. 一个物体静止在不光滑的水平面上，已知，，现用水平外力，拉其运动5m后立即撤去水平外力F，求其还能滑　　 m(g取)

10. 如图所示，质量为m的物体A，从弧形面的底端以初速往上滑行，达到某一高度后，又循原路返回，且继续沿水平面滑行至P点而停止，则整个过程摩擦力对物体所做的功　　　 。

11. 子弹的初速度为时，打穿一块木块后速度变为0，设木板对子弹的阻力是恒定的，那么当子弹射入木板的深度等于木板厚度一半时子弹的速度是　　 。

12. 一个物体从高为h的斜面顶端以初速度下滑到斜面底端时的速度恰好为0，则使该物体由这个斜面底端至少以初速　　 上滑，才能到达斜面顶端。

13. 一块木块以初速度沿平行斜面方向冲上一段长，倾角为的斜面，见图所示木块与斜面间的动摩擦因数，求木块冲出斜面后落地时的速率(空气阻力不计，)。

14. 一个质量为m的小球拴在绳一端，另一端受大小为F₁拉力作用，在水平面上作半径为R₁的匀速圆周运动，如图所示，今将力的大小变为F₂，使小球在半径为R₂的轨道上运动，求此过程中拉力对小球所做的功。

15. 质量为的火车，在恒定的额定功率下由静止出发，运动中受到一个恒定不变的阻力作用，经过，行程后，达到最大速度，求列车的额定功率和它受到的阻力。

(一)动能定理应用例析

动能定理的内容是：合力所做的功等于物体动能的变化，数学表达式为：，动能定理应用广泛，解题简洁、实用，下面举例说明。

1. 求解物体运动的速度

如果物体在力的作用下，作用力、物体的位移和物体的初速度已知时，可用动能定理求解作用后物体的速度。

例1：质量为M、厚度为d的方木块，静置在光滑的水平面上，如图1所示，一子弹以初速度水平射穿木块，子弹的质量为m，木块对子弹的阻力为且始终不变，在子弹射穿木块的过程中，木块发生的位移为L。求子弹射穿木块后，子弹和木块的速度各为多少？

图1

解析：子弹受力如图2所示，由题知子弹的初速度为，位移为，阻力为。

子弹射穿木块的过程由动能定理得

解得

图2

木块受力如图3所示，由题知木块的初速度为0，发生的位移，为动力，子弹射穿木块的过程由动能定理得

解得

图3

2. 求解物体受的力

如果物体在几个力(其中有一个未知力)的作用下，物体的位移和其动能的变化量已知时，可用动能定理求此未知力。

例2：物体质量为10kg，在平行于斜面的拉力F作用下沿斜面向上运动，斜面与物体间的动摩擦因数为，当物体运动到斜面中点时，去掉拉力F，物体刚好能运动到斜面顶端停下，斜面倾角为30°，求拉力F多大？()

解析：木块受力如图4所示，设斜面的长度为s。

木块受到的摩擦力

木块从开始运动到静止由动能定理得

解得

图4

3. 求解物体的位移

物体在已知力的作用下，其动能的变化量已知时，可用动能定理求解物体发生的位移。

例3：总质量为M的列车，沿水平直线匀速前进，其末节车厢质量为m。中途脱钩，司机发现后关闭油门时，机车已行驶L的距离。设运动过程中阻力与质量成正比，机车关闭油门前牵引力是恒定的，则两部分都停止运动时，它们之间的距离是多少？

解析：脱钩后，机车、末节车厢受力如图5所示。

图5

由题知机车受到的摩擦力，末节车厢受到的摩擦力(k为比例常数)。列车匀速前进时，由平衡条件得牵引力。

设列车匀速前进时的速度为v，脱钩后至停下机车运动的位移为，由动能定理得

即

所以

设脱钩后至停下来末节车厢的位移为，由动能定理得

即 所以

则它们之间的距离

4. 求解变力所做的功

如果物体所受的外力中有变力，有恒力，且恒力的功容易计算，物体动能的变化量也容易求解，可由动能定理求出变力的功。

例4：质量为4t的汽车，以恒定功率沿平直公路行驶，在一段时间内前进了100m，其速度从36km/h增加到54km/h。若车受到的阻力恒定，且阻力因数为0.02，求这段时间内汽车所做的功。()

解析：以汽车为研究对象，在水平方向受牵引力F和阻力的作用。因为汽车的功率恒定，汽车的速度小时牵引力大，速度大时牵引力小，所以，此过程牵引力为变力，汽车的运动也是变速运动。此题用动能定理求解非常方便。

由动能定理，可得 又

其中，

解得

动能定理内涵丰富，解决问题简洁、实用，是其他物理规律和定理无法比拟的，应熟练掌握。

21．为了安全，公路上行驶的汽车间应保持必要的距离。某市规定，车辆在市区内行驶的速度不得超过40km/h。有一辆车发现前面25m处发生交通事故紧急刹车，紧急刹车产生的最大加速度为5m/s²，反应时间为t=0.5s。经测量，路面刹车痕迹为s=14.4m。该汽车是否违章驾驶？是否会有安全问题？

20．一雨滴从屋檐由静止自由下落，通过高度为h＝1.8m的窗户的时间为t＝0.2s，求屋檐窗台的高度H(取＝10m/s²)

19．一辆汽车以72 km／h行驶，现因故紧急刹车并最终停止运动，已知汽车刹车过程加速度的大小为5 m／s²，则从开始刹车经过5 s，汽车通过的距离是多少?

18、某同学用滴水法测重力加速度，他在自来水龙头下放一个容器，调节水龙头的开关，使水一滴一滴地下落，当调节到使第一滴水碰到容器底部的瞬间，第二滴水正好从水龙头的管口开始下落时，停止调节，并开始测量。问：

　 (1)他在测量过程中需要用到的测量仪器有哪些？

　 (2)他要测量哪些物理量？

　 (3)请你帮助他写出简要的实验步骤。

　 (4)写出重力加速度g的表达式