5. 如图所示，在光滑水平面上放一小球以某速度运动到A点，遇到一段半径为R的圆弧曲面AB，然后落到水平地面的C点，假如小球没有跟圆弧曲线上的任何点接触，则BC的最小距离为(　　 )

A. 0　　　 B. R　　　 C. R　　 D. (－1)R　　　　　

4. 冰面上的溜冰运动员所受最大静摩擦力为运动员重力的K倍，在水平面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为(　　 )

A. v=K　 　　　 B. v≤　 　

C. v≤　 　 D. v≤

3. 一个内壁光滑的圆锥形筒固定在水平面上，如图所示。有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，A球运动的半径大于B球运动的半径，则(　　 )　　　　　　

A. A球的角速度必小于B球的角速度　　　

B. A球的线速度必小于B球的线速度

C. A球运动的周期必大于B球的运动的周期

D. A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力

2. 以相同的材料做成的A、B、C三物体放在匀速转动的平台上，若都相对于平台静止，且，，则(　　 )

A. C的向心加速度最大

B. A受到的摩擦力最大

C. 转速增大时，C比B先滑动

D. 转速增大时，B比A先滑动　　　　　　　　　　　　　　　　

1. 甲、乙两个物体均做匀速圆周运动，甲的质量和轨道半径均为乙的一半，当甲转过

60°时，乙在这段时间里正好转过45°，则甲乙两个物体的向心力之比为 (　　 )

A. 　　　B. 　　C. 　　 D.

4. 应用匀速圆周运动规律求解问题的步骤和方法。

(1)确定研究对象

(2)找到运动过程中的状态变化，即从什么位置开始做圆周运动，要求的状态是否为圆周运动。

(3)对研究对象分析受力，尤其注意确定向心力方向。

(4)建坐标系原点在圆心，指向圆心为正方向，坐标轴随物体运动而运动。(转动的坐标系)

(5)由牛顿第二定律列方程。注意未知量个数，列方程个数。

注意：作用力，反作用力关系。

(6)解方程，进行必要的讨论。

[典型例题分析]

[例1] 匀速行进中的小车下面悬挂一个重物，若绳长为，行进速度为v，当小车突然刹车停止运动悬绳的拉力多大？(已知悬挂重物质量为m)

解析：小车匀速行进时，重物以相同的速度一起匀速前进，当小车紧急刹车而停止时，重物不能马上停止。以小车为圆心做圆周运动。重物受两个力，速度为v。

悬绳的拉力大小为

注意：小车停止后，重物不再做匀速直线运动，而是圆周运动。

[例2] 过山车是常见的刺激娱乐项目，可以简化为下面问题。竖直平面内的圆形轨道半径为R。过山车从倾斜轨道滑下进入圆形轨道，在竖直轨道上做圆周运动，求在圆形轨道最高点，车的最小速度。

解析：过山车在圆形轨道做圆周运动轨道的支持力，重力的合力做向心力，车经最高点恰好不掉下来就是车没有离开圆轨道，又对轨道无压力，则

　 即过山车的最小速度至少为

当车速小于，重力大于向心力，车就要脱离轨道而掉下来。

当车速大于则轨道的支持力与重力的合力做向心力，车对轨道有向上的压力。

[例3] 汽车与路面之间的动摩擦因数，转弯处弯道半径为，取。

(1)若路面铺成水平的，汽车转弯时速度不能超过多大？

(2)若路面铺成外侧高内侧低的坡面，倾角为，汽车以多大速度转弯，与路面无摩擦。

(3)若是(2)中转弯路面，最大转弯速度是多少？

解析：路面是水平的，汽车转弯，向心力沿水平方向，摩擦力做向心力，速度最大摩擦也最大。

∴ 　　

若弯路是坡面，且车与路面无侧向摩擦力

则　　

(3)汽车以最大速度转弯则受三个力向心力沿水平方向，取水平方向为轴，竖直方向为轴。

解得

大于水平路面的最大转弯速度

[例4] 质量为和的小球分别固定在长为的轻杆两端。转杆绕过中点的水平轴匀速转动。若轻杆转动中对轴的作用力最小为零，求对轴作用力最大值。

解析：的球在最高点，的球最低点，对轴的作用力，，的球在最低点，对轴作用力是最大值。

由题设知F最小为零

∴ 　　F最大值

[例5] 如图所示，有一质量为m的小球P与穿过光滑水平板中央小孔O的轻绳相连，用力拉着绳的另一端使P在水平板上绕O点做半径为a的圆周运动，速率为。若将绳突然放松，然后再拉住，使小球到O点距离增大到b。

求：

(1)小球以b为半径做匀速圆周运动的速率

(2)小球运动由绳长为a到绳长为b的时间。

解析：小球绕O做圆周运动，绳突然松开则无外力做向心力，球做离心运动沿切线S飞出，到绳长为b时受绳拉力速度改变，由于拉力沿绳的方向，小球速度沿绳方向分速度减小为零垂直于绳的速度不变。当小球以b为半径做圆周运动速率就是在垂直于绳的分量。

　而 　　

(2)运动S的时间

[模拟试题]

3. 实例分析

(1)火车转弯

火车左右两侧的车轮分别沿铁轨运动，沿直线运动时，两条钢轨位于同一水平面内以防侧倾倒。而当火车转弯时，有向心加速度需要向心力，为此使钢轨不在一个平面内，外侧高而内侧低，本身不再是竖直的但能顺利转弯而不发生侧倾，否则车辆不能受到外力，要做离心运动，发生倾覆。

见下图，列车转弯时，靠近圆心一侧为内侧，另一侧为外侧，相应为内轨外轨，与列车前进方向无关。

取水平面内转弯半径为r，内外轨距为d，内外轨高度差为h。

转弯时竖直截面见右图，由于转弯在水平面内转弯半径为水平方向，向心加速度为水平方向。列车受力有重力，竖直向下，路轨支持力方向与双轨连线垂直，这两个力的合力做向心力，沿水平方为。

两轨道连线倾角为，

而　 为转弯时速率

∴ 　　　　

转弯时速率则外力的合力恰好等于向心力，若则外力的合力小于向心力，要做离心运动火车向外侧翻倒，滑动，火车对外侧轨道有沿转弯半径向外的压力，火车向外侧推轨道。

当则合外力大于向心力，要做近心运动，火车对内侧轨道有沿转弯半径向圆心方向的压力，即火车对内轨有向圆心方向的推力。

火车提速转弯半径r不改变则内外轨道高差h要增加，不然火车转弯有危险。

(2)汽车过拱形桥和凹形山坡底，设拱形桥半径为r，汽车速率为v。

　　 　　汽车对桥面压力与等大比重力小。

若v足够大使则汽车对桥面无压力，汽车即将离开桥面。

若汽车没有离开桥面半径与竖直方向成角，

即使v不变，也会随增大而减小。当　

时，减小到零，汽车也即将离桥面。

(3)圆锥摆

长度为的细绳下端拴一个质量为m的小球，固定绳的上端，使小球沿水平面内的圆做匀速圆周运动。

细绳转动恰好形成一个锥面，所以叫圆锥摆。

设绳与竖直方向成角，球转动的角速度为。

　 　而

∴ 　　

当一定，越大一定是越大，T越小，即转得快。

∴ 圆锥摆转动越快，悬线偏离竖直方向越多

(4)上述圆锥摆运动中若线速度突然增大，则增大，而，小球就要做离心运动使圆周运动半径增大。

相反若速度减小就要做近心运动，运动半径逐渐减小。

即外力小于向心力时就要做离心运动，外力大于向心力时就要做近心运动。

2. 做匀速圆周运动的条件，近心运动，离心运动。当物体做匀速圆周运动，外力或几个外力的合大小方向总指向圆心，就是做匀速圆周运动所需要的力恰好与合外力相等。

若合外力则F所产生的加速度大于，在垂直于v方向改变得过快，速度偏向圆心过多，运动半径减小做近心运动。

若合外力则F所产生的加速度比做半径不变的圆周运动加速度小，偏向圆心方向速度的改变慢，运动的半径增大，做远离圆心的运动简称离心运动。

1. 向心力及来源

物体做圆周运动有加速度产生这个加速度的力就叫向心力，这个力的大小为。方向总是指向圆心。只要物体所受外力大小为，方向总指向圆心，那么这个力就可以做向心力，若几个力的合力大小为，方向指向圆心，那么这几个力的合力做向心力。因此① 向心力是根据力的效果命名的，不是单独一种性质的力。② 向心力可以由一个力提供也可以由几个力的合力充当，既几个力共同做向心力，还可以由某一个力的分力作向心力。

11. 如图3所示，一高度为的水平面在A点处与一倾角为的斜面连接，一小球以的速度在平面上向右运动。求小球从A点运动到地面所需的时间(平面与斜面均光滑，取)。某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则，由此可求得落地时间t。

问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需时间；若不同意则说明理由并求出你认为正确的结果。

图3