28、如图25-1所示为矩形的水平光滑导电轨道abcd，ab边和cd边的电阻均为5R₀，ad边和bc边长均为L，ad边电阻为4R₀，bc边电阻为2R₀，整个轨道处于与轨道平面垂直的匀强磁场中，磁感强度为B。轨道上放有一根电阻为R₀的金属杆mn，现让金属杆mn在平行轨道平面的未知拉力F作用下，从轨道右端以速率V匀速向左端滑动，设滑动中金属杆mn始终与ab、cd两边垂直，且与轨道接触良好。ab和cd边电阻分布均匀，求滑动中拉力F的最小牵引功率。

分析与解：mn金属杆从右端向左端匀速滑动切割磁感线产生感应电动势，mn相当于电源，其电路为内电路，电阻为内电阻。当外电阻最大时，即当mn滑到距离ad=(2/5)ab时，此时电阻R_madn=R_mbcn=8R₀时，外阻最大值R_max=4R₀，这时电路中电流最小值：I_min=ε/(R_max+r)=BLV/(4R₀+R₀)=BLV/5R₀

所以，P_min=F_minV=BLI_minV=BLVBLV/5R₀=B²L²V²/5R₀

27、如图24-1所示，R₁=R₂=R₃=R₄=R，电键S闭合时，间距为d的平行板电容器C 的正中间有一质量为m，带电量为q的小球恰好处于静止状态；电键S断开时，小球向电容器一个极板运动并发生碰撞，碰撞后小球带上与极板同种性质的电荷。设碰撞过程中没有机械能损失，小球反弹后恰好能运动到电容器另一极板。若不计电源内阻，求：(1)电源的电动势，(2)小球与极板碰撞后的带电量。

分析与解：(1)电键S闭合时，R₁、R₃并联与R₄串联，(R₂中没有电流通过)

U_C=U₄=(2/3)ε

对带电小球有：mg=qE=qU_C/d=(2/3)qε/d 得：ε=(3/2)mgd/q

(2)电键S断开后，R₁、R₄串联，则U_C’=ε/2=(3/4)mgd/q　 [1]

小球向下运动与下极板相碰后，小球带电量变为q’，向上运动到上极板，全过程由动能定理得：mgd/2－qU_C’/2－mgd+q’U_C’=0　 [2]

由[1][2]式解得：q’=7q/6。

26、两平行金属板相距为d，加上如图23-1(b)所示的方波形电压，电压的最大值为U0，周期为T。现有一离子束，其中每个离子的质量为m，电量为q，从与两板等距处沿着与板平行的方向连续地射入两板间的电场中。设离子通过平行板所需的时间恰为 T(与电压变化周期相同)，且所有离子都能通过两板间的空间打在右端的荧光屏上。试求：离子击中荧光屏上的位置的范围。(也就是与O‘点的最大距离与最小距离)。重力忽略不计。

分析与解：

各个离子在电场中运动时，其水平分运动都是匀速直线运动，而经过电场所需时间都是T，但不同的离子进入电场的时刻不同，由于两极间电压变化，因此它们的侧向位移也会不同。

当离子在t=0，T，2T……时刻进入电场时，两板间在T/2时间内有电压U₀，因而侧向做匀加速运动，其侧向位移为y₁，速度为V。接着，在下一个T/2时间内，两板间没有电压，离子以V速度作匀速直线运动，侧向位移为y₂，如图23-2所示。这些离子在离开电场时，侧向位移有最大值，即(y₁+y₂)。

当离子在T=t/2,3/2T,5/2T……时刻进入电场

时，两板间电压为零，离子在水平方向做匀速

直线运动，没有侧向位移，经过T/2时间后，

两板间有电压U₀，再经过T/2时间，有了侧向

位移y₁，如图23-3所示。这些离子离开电场时

有侧向位移的最小值，即y₁。

当离子在上述两种特殊时刻之外进入电场的，其侧向位移值一定在(y₁+y₂)与y₁之间。根据上述分析就可以求出侧向位移的最大值和最小值。

所以，离子击中荧光屏上的位置范围为：

25、如图22-1所示，A、B为平行金属板，两板相距为d，分别与电源两极相连，两板的中央各有小孔M、N。今有一带电质点，自A板上方相距为d的P点由静止自由下落(P、M、N三点在同一竖直线上)，空气阻力不计，到达N点时速度恰好为零，然后按原路径返回。若保持两板间的电压不变，则：

A.　　　 若把A板向上平移一小段距离，质点自P点下落仍能返回。

B.　　　 若把B板向下平移一小段距离，质点自P点下落仍能返回。

C.　　　 若把A板向上平移一小段距离，质点自P点下落后将穿过N孔继续下落。

D.　　　 若把B板向下平移一小段距离，质点自P点下落后将穿过N孔继续下落。

分析与解：当开关S一直闭合时，A、B两板间的电压保持不变，当带电质点从M向N运动时，要克服电场力做功，W=qU_AB，由题设条件知：带电质点由P到N的运动过程中，重力做的功与质点克服电场力做的功相等，即：mg2d=qU_AB

若把A板向上平移一小段距离，因U_AB保持不变，上述等式仍成立，故沿原路返回，应选A。

若把B板下移一小段距离，因U_AB保持不变，质点克服电场力做功不变，而重力做功增加，所以它将一直下落，应选D。

由上述分析可知：选项A和D是正确的。

想一想：在上题中若断开开关S后，再移动金属板，则问题又如何?(选A、B)。

12、质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为Xo，如图11-1所示。一物块从钢板正上方距离为 3Xo的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点。若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点O点的距离。

分析与解：物块自由下落，与钢板碰撞，压缩弹簧后再反弹向上，运动到O点，弹簧恢复原长。碰撞过程满足动量守恒条件。压缩弹簧及反弹时机械能守恒。自由下落3Xo，根据机械能守恒：

　 所以 　物块与钢板碰撞时，根据动量守恒：　 mv₀=(m+m)v₁(v₁为碰后共同速度)

　 V₁=V₀/2=

物块与钢板一起升到O点，根据机械能守恒：2mV₁²+Ep=2mgx₀ [1]

如果物块质量为2m，则：2mVo=(2m+m)V₂ ，即V₂=Vo

设回到O点时物块和钢板的速度为V，则：3mV₂²+Ep=3mgx₀+3mV² [2]

从O点开始物块和钢板分离，由[1]式得：

　 Ep=mgx₀ 代入[2]得：m(Vo)²+mgx₀=3mgx₀+3mV²

所以，V²=gx₀ 即　　　　

11、如图10-1所示，劲度系数为 K的轻质弹簧一端与墙固定，另一端与倾角为θ的斜面体小车连接，小车置于光滑水平面上。在小车上叠放一个物体，已知小车质量为 M，物体质量为m，小车位于O点时，整个系统处于平衡状态。现将小车从O点拉到B点，令OB=b，无初速释放后，小车即在水平面B、C间来回运动，而物体和小车之间始终没有相对运动。求：(1)小车运动到B点时的加速度大小和物体所受到的摩擦力大小。(2)b的大小必须满足什么条件，才能使小车和物体一起运动过程中，在某一位置时，物体和小车之间的摩擦力为零。

分析与解：

(1)所求的加速度a和摩擦力f是小车在B点时的瞬时值。取M、m和弹簧组成的系统为研究对象，由牛顿第二定律：kb=(M+m)a 　 所以a=kb/(M+m)。

　 取m为研究对象，在沿斜面方向有：f-mgsinθ=macosθ

所以，f=mgsinθ+mcosθ=m(gsinθ+cosθ)

(2)当物体和小车之间的摩擦力的零时，小车的加速度变为a’，小车距O点距离为b’，取m为研究对象，有：mgsinθ=ma’cosθ

取M、m和弹簧组成的系统为研究对象，有：kb‘=(M+m)a’

以上述两式联立解得：b‘=(M+m)gtgθ

　 说明：在求解加速度时用整体法，在分析求解m受到的摩擦力时用隔离法。整体法和隔离法两者交互运用是解题中常用的方法，希读者认真掌握。

10、如图9-1所示，质量为M=3kg的木板静止在光滑水平面上，板的右端放一质量为m=1kg的小铁块，现给铁块一个水平向左速度V₀=4m/s，铁块在木板上滑行，与固定在木板左端的水平轻弹簧相碰后又返回，且恰好停在木板右端，求铁块与弹簧相碰过程中，弹性势能的最大值E_P。

分析与解：在铁块运动的整个过程中，系统的动量守恒，因此弹簧压缩最大时和铁块停在木板右端时系统的共同速度(铁块与木板的速度相同)可用动量守恒定律求出。在铁块相对于木板往返运动过程中，系统总机械能损失等于摩擦力和相对运动距离的乘积，可利用能量关系分别对两过程列方程解出结果。

　 设弹簧压缩量最大时和铁块停在木板右端时系统速度分别为V和V’，由动量守恒得：mV₀=(M+m)V=(M+m)V’ 所以，V=V’=mV₀/(M+m)=1X4/(3+1)=1m/s

铁块刚在木板上运动时系统总动能为：EK=mV₀²=0.5X1X16=8J

弹簧压缩量最大时和铁块最后停在木板右端时，系统总动能都为：

E_K’=(M+m)V²=0.5X(3+1)X1=2J

铁块在相对于木板往返运过程中，克服摩擦力f所做的功为：

W_f=f2L=E_K-E_K’=8-2=6J

铁块由开始运动到弹簧压缩量最大的过程中，系统机械能损失为：fs=3J

由能量关系得出弹性势能最大值为：E_P=E_K-E_K‘-fs=8-2-3=3J

说明：由于木板在水平光滑平面上运动，整个系统动量守恒，题中所求的是弹簧的最大弹性势能，解题时必须要用到能量关系。在解本题时要注意两个方面：①.是要知道只有当铁块和木板相对静止时(即速度相同时)，弹簧的弹性势能才最大；弹性势能量大时，铁块和木板的速度都不为零；铁块停在木板右端时，系统速度也不为零。

②.是系统机械能损失并不等于铁块克服摩擦力所做的功，而等于铁块克服摩擦力所做的功和摩擦力对木板所做功的差值，故在计算中用摩擦力乘上铁块在木板上相对滑动的距离。

9、如图8-1所示，质量为m=0.4kg的滑块，在水平外力F作用下，在光滑水平面上从A点由静止开始向B点运动，到达B点时外力F突然撤去，滑块随即冲上半径为 R=0.4米的1/4光滑圆弧面小车，小车立即沿光滑水平面PQ运动。设：开始时平面AB与圆弧CD相切，A、B、C三点在同一水平线上，令AB连线为X轴，且AB=d=0.64m，滑块在AB面上运动时，其动量随位移的变化关系为P=1.6kgm/s，小车质量M=3.6kg，不计能量损失。求：

(1)滑块受水平推力F为多大? (2)滑块通过C点时，圆弧C点受到压力为多大? (3)滑块到达D点时，小车速度为多大? (4)滑块能否第二次通过C点? 若滑块第二次通过C点时，小车与滑块的速度分别为多大? (5)滑块从D点滑出再返回D点这一过程中，小车移动距离为多少? (g取10m/s²)

　 分析与解：(1)由P=1.6=mv，代入x=0.64m，可得滑块到B点速度为：

　　　 V_B=1.6/m=1.6=3.2m/s

　　 A→B，由动能定理得：FS=mVB²

 所以 F=mVB²/(2S)=0.4X3.2²/(2X0.64)=3.2N

(2)滑块滑上C立即做圆周运动，由牛顿第二定律得：

　　　 N-mg=mVC²/R 而VC=VB 则　　 N=mg+mVC²/R=0.4X10+0.4X3.2²/0.4=14.2N

(3)滑块由C→D的过程中，滑块和小车组成系统在水平方向动量守恒，由于滑块始终紧贴着小车一起运动，在D点时，滑块和小车具有相同的水平速度V_DX 。由动量守恒定律得：mV_C=(M+m)V_DX

所以 V_DX=mV_C/(M+m)=0.4X3.2/(3.6+0.4)=0.32m/s

(4)滑块一定能再次通过C点。因为滑块到达D点时，除与小车有相同的水平速度V_DX外，还具有竖直向上的分速度V_DY，因此滑块以后将脱离小车相对于小车做竖直上抛运动(相对地面做斜上抛运动)。因题中说明无能量损失，可知滑块在离车后一段时间内，始终处于D点的正上方(因两者在水平方向不受力作用，水平方向分运动为匀速运动，具有相同水平速度)， 所以滑块返回时必重新落在小车的D点上，然后再圆孤下滑，最后由C点离开小车，做平抛运动落到地面上。由机械能守恒定律得：

　　　mV_C²=mgR+(M+m)V_DX²+mV_DY²

所以

以滑块、小车为系统，以滑块滑上C点为初态，滑块第二次滑到C点时为末态，此过程中系统水平方向动量守恒，系统机械能守恒(注意：对滑块来说，此过程中弹力与速度不垂直，弹力做功，机械能不守恒)得：

　　 mV_C=mV_C‘+MV 即mV_C²=mV_C’²+MV²

上式中VC‘、V分别为滑块返回C点时，滑块与小车的速度，

　 　 　V=2mV_C/(M+m)=2X0.4X3.2/(3.6+0.4)=0.64m/s

　　 V_C’=(m-M)V_C/(m+M)=(0.4-3.6)X3.2/(0.4+3.6)=-2.56m/s(与V反向)

(5)滑块离D到返回D这一过程中，小车做匀速直线运动，前进距离为：

　　 △S=V_DX2V_DY/g=0.32X2X1.1/10=0.07m

8、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的内径大得多。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)。A球的质量为m₁，B球的质量为m₂。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为V₀。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m₁、m₂、R与V₀应满足的关系式是 　　　　 。

分析与解：如图7-1所示，A球运动到最低点时速度为V₀，A球受到向下重力mg和细管向上弹力N₁的作用，其合力提供向心力。那么，N₁-m₁g=m₁ [1]

这时B球位于最高点，速度为V₁，B球受向下重力m₂g和细管弹力N₂作用。球作用于细管的力是N₁、N₂的反作用力，要求两球作用于细管的合力为零，即要求N₂与N₁等值反向，N₁=N₂ [2]， 且N₂方向一定向下，对B球：N₂+m₂g=m₂ [3]

B球由最高点运动到最低点时速度为V₀，此过程中机械能守恒：

即m₂V₁²+m₂g2R=m₂V₀² [4]

由[1][2][3][4]式消去N₁、N₂和V₁后得到m₁、m₂、R与V₀满足的关系式是：

(m₁-m₂)+(m₁+5m₂)g=0 [5]

说明：(1)本题不要求出某一物理量，而是要求根据对两球运动的分析和受力的分析，在建立[1]-[4]式的基础上得到m₁、m₂、R与V₀所满足的关系式[5]。(2)由题意要求两球对圆管的合力为零知，N₂一定与N₁方向相反，这一点是列出[3]式的关键。且由[5]式知两球质量关系m₁＜m₂。

1]、[2]两式消去GM解得：V===2.0X10³ m/s

　 说明：n越大(即卫星越高)，卫星的线速度越小。若n=0，即近地卫星，则卫星的线速度为V₀==7.9X10³m/s，这就是第一宇宙速度，即环绕速度。