将物理过程转化为数学表达式，然后根据数学中求极值的方法求出临界条件。

例3　 如图5所示，质量为的木块与水平地面的动摩擦因数，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N的恒力F，使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地面的高度，木块M可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？

解析　 设当轻绳与水平方向成角θ时，对M有

整理得

令，可知，当A取最大值时a最大。利用三角函数知识有：

，其中，而，与此相对应的角为

所以加速度的最大值为：

此时木块离定滑轮的水平距离为：

说明：此题并非在任何条件下都能达到上述最大加速度，当木块达到一定值时，有可能使物体脱离地面，此后物体将不在沿着水平面运动。因此，F、M、μ必须满足≤Mg。此题所给数据满足上述条件，能够达到最大加速度。

有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中不一定出现临界状态，解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。

例2　 一斜面放在水平地面上，倾角，一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在斜面顶端，如图3所示。斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水平面的摩擦，当斜面以10m/s²的加速度向右运动时，求细绳的拉力及斜面对小球的弹力。(g取10m/s²)

解析　 斜面由静止向右加速运动过程中，斜面对小球的支持力将会随着a的增大而减小，当a较小时，小球受到三个力作用，此时细绳平行于斜面；当a增大时，斜面对小球的支持力将会减少，当a增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若a继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角。而题中给出的斜面向右的加速度a=10m/s²，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。

设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a₀，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图4所示。易知

　　 代入数据解得

因为＞，所以小球已离开斜面，斜面的支持力。

同理，由受力分析可知，细绳的拉力为：

此时细绳拉力T与水平方向的夹角为：

如果题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题，处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来，以便解题。

例1　 如图1所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的接触面光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A与B一起运动时的水平力F的范围。

解析　 当水平推力F很小时，A与B一起做匀加速运动，当F较大时，B对A的弹力F_N竖直向上的分力等于A的重力时，地面对A的支持力F_NA为零，此后，物体A将会相对B滑动。显而易见，本题的临界条件是水平力F为某一值时，恰好使A沿A与B的接触面向上滑动，即物体A对地面的压力恰好为零，受力分析如图2。

对整体有：；

隔离A，有：，，。

解得：

所以F的范围是0≤F≤

30、有两块大小不同的圆形薄板(厚度不计), 质量分别为M和, 半径分别为R和, 两板之间用一根长为0.4m的轻绳相连接. 开始时, 两板水平放置并叠合在一起, 在其正下方0.2m处有一固定支架C, 支架上有一半径为R( r< R<R)的圆孔, 圆孔与两薄板的中心均在同一竖直线上, 如图所示, 让两个圆形薄板自由落下, 落到固定支架上, 大板与支架发生没有机械能损失的碰撞, 碰撞后两板即分离, 直到轻绳绷紧, 在轻绳绷紧瞬间, 两薄板具有共同速度, 问：

(1) 若M＝, 则多大?

(2) 若M/m＝k, 试讨论的方向与k的关系. (g取10)

29、如图所示, 在高为h的光滑平台上放一个质量为m的小球, 另一个质量为 m的球沿光滑弧形轨道从距平台高为h处由静止开始下滑, 滑至平台上与球m发生正碰, 若m＝ m, 求小球m最终落点距平台边缘水平距离的取值范围.

28、如图所示，质量为m₂和m₃的物体静止在光滑水平面上，两者之间有压缩着的弹簧，有质量为m₁的物体以v₀速度向右冲来，为了防止冲撞，m₂物体将m₃物体发射出去，m₃与m₁碰撞后粘合在一起。问m₃的速度至少应多大，才能使以后m₃和m₂不发生碰撞？

27、两个质量都为1.0×10^-12kg、带电量都为2.4×10^-8C的同种电荷小球, 分别用长度为1.2m的细丝线悬挂在同一点上. 如果两球在平衡时, 丝线和竖直方向偏转角很小, 求平衡时两小球间距离.

26、甲、乙两冰船在冰面上沿一直线以相同的速度V甲在前、乙在后同向匀速滑行。今从甲船上以相对甲船v的速度水平向乙船抛出一个质量为m的沙袋，已知甲船(连操纵者、沙袋)和乙船(连操纵者)原先的质量均为M。求：当沙袋落入乙船中后两船速度各变为多大？

25、如图在光滑的水平台上静止着一块长50厘米，质量为1千克的木板，板的左端静止着一块质量为1千克的小铜块(可视为质点)，一颗质量为10克的子弹以200米/秒的速度射向铜块，碰后以100米/秒速度弹回。问铜块和木板间的摩擦系数至少是多少时铜块才不会从板的右端滑落，g取10米/秒²

24、如图所示，光滑的水平面上有质量为M的滑块，其中AB部分为光滑的1/4圆周，半径为r，BC水平但不光滑，长为。一可视为质点的质量为m的物块，从A点由静止释放，最后滑到C点静止，求物块与BC的滑动摩擦系数。