证明：1．根据流过串联电路各电阻的电流相等和串联电路两端的总电压等于各部分电路两端的电压之和，可得：

　　 I=I₁=I₂=……=I_n　　　　　　　　　　　　　　　 …………(1)

　　 U=U₁+U₂+……+U_n　　　　　　　　　 　　　　　　　…………(2)

根据欧姆定律：U=IR，U₁=IR₁, U₂=IR_2，…… U_n=IR_n，　　 …………(3)

把上述关系式代入(2)式，整理后可得：R=R₁+R₂+……+R_n

2．由欧姆定律，将(3)式改写成

I=U/R,I₁=U₁/R₁,I₂=U₂/R₂, ……，I_n=U_n/R_n，代入(1)式得：

　U₁/R₁=U₂/R₂……=U_n/R_n =I，所以U∝R

证明：如图所示，取地为零势能点，设物体只受重力作用，向下做匀加速运动。在位置1时速度为v₁，高度为h₁，在位置2时速度为v₂，高度为h₂，由匀加速运动公式可得：v₂²-v₁²=2g(h₁-h₂)

　 v₁²+2gh₁= v₂²+2gh₂ 　　,　　

　 　　mv₁²/2+mgh₁=m v₂²/2+mgh₂

即，E₁=E₂

所以机械能守恒．　　　　　　　　　　　　　

证明：一个质量为m的物体原来的速度为v₁，动能为m v₁²/2，在恒力F的作用下，发生一段位移s，速度为v₂，动能增加到m v₂²/2，设外力方向与运动方向相同，外力F做的功W=Fs，根据牛顿第二定律F=ma，由运动学公式v₂²-v₁²=2as,得：s= (v₂²-v₁²)/2a,所以

Fs=ma(v₂²-v₁²)/2a= m v₂²/2- m v₁²/2

或W=E_K2- E_K1

上述结论由假定物体受一个力推导出来的，如果不只受一个力而是几个力， 总功就是各个力做功的代数和．　　　　　　　　　　

4.从第一个T秒开始时计时，在该时刻t=0,速度为v₀，有：

s₁=v₀T+aT²/2, s₂=(v₀+aT)T+aT²/2, s₃=(v₀+2aT)T+aT²/2,……

s_n=[v₀+(n-1)aT]T+aT²/2,

s₂ -s₁= s₃ –s₂=……=Δs=aT²　　　　　　　　　

3.根据v_t=v_o+at,　 得：t=(v_t-v_o)/a,把t代入

　 s=v_ot+at²/2, 得：v_t²-v_o²=2as

2．v_t²-v_o²=2as……(1)　　　　 v_s/2²-v_o²=2a(s/2)……(2)

(1)/(2):v_s/2²=(v_o²+v_t²)/2,

所以有

4.Δs=aT²

[证明]1．根据运动学公式：v_t=v_o+at,　　 s=v_ot+at²/2,

中间时刻的速度：v_t/2=v_o+at/2

平均速度：

又(v₀+v_t)/2=(v₀+v₀+ at)/2= v_o+at/2,

所以

3.v_t²-v_o²=2as

2.

设物体做匀变速运动，初速度为v₀，末速度为v_t，加速度为a，运动时间为t，中间时刻的速度为v_t/2，中间位置的速度为v_s/2，证明：

1．