3．行星的密度是ρ，靠近得星表面的卫星运动周期是T。试证明ρT²是一个普遍适用的恒量，即它对任何行星都相同。

2．试用万有引力定律证明：对于某个行星的所有卫星来说，R³/T²是一个恒量。其中R是卫星的轨道半径，T是卫星的运行周期。

证明：如图所示，设线圈从中性面开始转动，角速度是ω，经时间t，线圈转过的角度为ωt，ab边线速度的方向跟磁感线方向的夹角也为θ=ωt，设磁感强度为B，线圈面积为S，ab边、cd边的感应电动势为

ε_ab=ε_cd=B·ab·vsinωt= B·ab·(bc/2) ωsinωt=BSωsinωt/2

并且两者串联，所以线圈中的电动势为ε=BSωsinωt.

若线圈有n匝，则电动势为ε=nBSωsinωt.　　　

　[课外作业]

1．证明动量定理。

证明：如图所示，假设垂直水平轨道放置的导体棒长L，以速度v在轨道上向右运动，设在Δt时间内棒由原来的位置ab移到cd，这时线框的面积变化量ΔS=LvΔt，

穿过闭合电路的磁通量变化量ΔΦ=BΔS=BLvΔt，

由法拉第电磁感应定律ε=ΔΦ/Δt,将上式代入得

导体切割磁感线产生的电动势ε=BLv．

证明：如图所示，设一带电粒子质量为m，带电量为q，匀强磁场的磁感强度为B，粒子做匀速圆周运动的向心力为洛仑兹力，即

F_n=qvB=mv²/r

所以运动半径为r=mv/Bq．

根据周期公式T=2πr/v,将r=mv/Bq代入得

带电粒子的运动周期为T=2πm/Bq．　　　　　　　　　

证明：设导线中单位体积内含有的运动电荷数是n，每个电荷的电量是q，电荷的平均定向移动速率是v，导线的横截面积是S，那么通过导线的电流就是

　　　　　　　 I=nqvS

磁场对电流的作用力是F=ILB．这个力可看作是作用在每个运动电荷上的洛仑兹力的合力，设洛仑兹力为f，这段导线内运动电荷的总数为N，则

Nf=F，即Nf=ILB,

代入I=nqvS，得到Nf=nqvSLB

又N等于单位体积内的运动电荷数跟体积的乘积，即N=nSL，因此上式简化为

　　　　 f=qvB　　　　　

证明：如图所示,设对一段导线通以强度为I的电流，导线截面积为S，电子定向移动速率为v，单位体积内电子数为n，通电时间为t.

　　 则在这段时间内，电子定向移动的距离为L=vt,　

　　 通过导线截面的电量为q=enV=enSL=neSvt.

所以电流为I=q/t=neSv．

3．由功率公式：P₁=U₁²/R，P₂=U₂²/R，……P_n=U_n²/R，即：

U₁²=P₁R，U₂²=P₂R，……U_n²=P_nR，将其代入(1)式并平方，得：

P₁R=P₂R=……P_nR= U²，所以P∝1/R

证明：1．根据并联电路中各支路两端的电压相等和并联电路中的总电流等于各支路电流之和，可得：

　　　　　 U=U₁=U₂=……=U_n　　　　　　　　　　　　　 …………(1)

　　　 I=I₁+I₂+……+I_n　　　　　　　　　　　 　　…………(2)

由欧姆定律，I=U/R,I₁=U₁/R₁,I₂=U₂/R₂, ……，I_n=U_n/R_n，代入(2)式并考虑到(1)式，得：

1/R=1/R₁+1/R₂+……1/R_n

2.在并联电路中，根据欧姆定律：

U=IR，U₁=I₁R₁, U₂=I₂R_2，…… U_n=I_nR_n，　　 …………(3)

代入(1)式得：

I₁R₁=I₂R_2，…… =I_nR_n =U所以I∝1/R

3．由功率公式 :

P₁=I₁²R₁, P₂=I₂²R₂……， P_n=I_n²R_n，代入(1)式得：

P₁/R₁=P₂/R₂=……P_n/R_n=I²，所以P∝R