题目列表(包括答案和解析)
3. 甲、乙两颗人造地球卫星,在同一轨道平面中绕地球同向作匀速圆周运动;甲距地面的高度h1=0.5R,乙距地面的高度h2=5R;上述R为地球半径。已知某时刻甲、乙两颗卫星之间的距离最小。 (1)甲、乙两颗卫星的线速度比v1:v2=________:_______; (2)甲、乙两颗卫星的周期比T1:T2=________:_______; (3)以乙卫星的周期(T2)为量度时间的单位,至少要过________时间,两颗卫星相距最大。 [解析] (1)由 ,得 。r1=1.5R,r2=6R; . (2) .所以 。(甲卫星运动“快”) (3)某时刻甲、乙两颗卫星之间距离最小,表明两颗卫星恰好处在地面某处的正上方,如图4-1(甲)所示。两颗卫星相距最远的情况如图4-1(乙)所示。 设甲、乙两颗卫星绕地球转动的角速度分别为ω1与ω2; ,所以ω1:ω2=T1:T2=8:1。显然,相距最大的条件是(ω1-ω2)t=(2n-1)π,n=1、2、……;n=1时得最短的时间 即至少要经过 时间,两颗卫星间的距离才最大。
小结 这类题综合圆周运动和万有引力两部分知识,解这类题的一般思路是万有引力提供向心力。另外,这部分的计算较繁琐,需要注意。
例7、一质量为m、电量为q的带电粒子,在磁感强度为B的匀强磁场中作圆周运动,其效果相当于一环形电流。则此环形电流强度I=____________。 (本题是1991年全国高考统一试题第28题。)
思维过程 带电粒子在匀强磁场中(垂直于磁场的平面里)作匀速圆周运动,如速度为v,则所受磁场力(洛仑兹力)f=Bqv,磁场力的方向与速度方向垂直,对带电粒子不做功,洛仑兹力的作用只是改变速度的方向,所以带电粒子一定作匀速圆周运动,磁场力为向心力,运动方程为 带电粒子作匀速圆周运动的轨道半径为 ,沿圆周运动的周期为 ,频率为 。 根据电流强度的定义 ,环形电流强度为
误区点拨 电流强度I除了通过UR可以求出之外,还有其它很多的方法,它的定义 也是很重要的方法。
思维迁移 1、带电粒子在匀强磁场中垂直于磁场的平面里作匀速圆周运动时,最显著的特征是:①轨道半径 与速度大小成正比;②运动周期和频率 均与速度大小无关。 2、带电粒子在匀强磁场中作圆周运动形成的环形电流强度 也与带电粒子的速度无关。
变式题 1.氢的同位素氕、氘、氚的原子核,在同一匀强磁场中作匀圆圆周运动,轨道半径相同,则: (1)它们的动量值之比P1:P2:P3=_________:_________:_________; (2)它们的动能值之比E1:E2:E3=_________:_________:_________。 [解析] 由运动方程 ,得 P=mv=BqR 氕、氘、氚的核带电量相等,B、R也相等,所以 P1:P2:P3=1:1:1 (有的人根据 ,认为动能跟质量成反比,并写出E1:E2:E3=m3:m2:m1=3:2:1。请读者想一想,他错在哪些地方?他是怎样搞错的?)
2. 我国在1984年4月8日成功地发射了一颗通讯卫星。这颗通讯卫星距地面的高度h=3.60×104km,绕地球转动的角速度为ω1、线速度为v1;地球的半径R=6.4×103km,自转角速度为ω2、赤道上各点的自转线速度为v2。则: (1)ω1:ω2=________:_______; (2)v1:v2=________:_______。 [解析] (1)通讯卫星一般是同步卫星,ω1=ω2,所以ω1:ω2=1:1。 (2)同步卫星的轨道半径r=R+h=4.24×104km,同步卫星相对“静止”在赤道正上方,角速度相等,所以v1:v2=(R+h):R=6.625:1。
4. 如图4-42所示。粗细均匀的U形玻璃管,三段直管的长度均为l,水平直管中有一段长度恰好等于l的水银柱。将右侧管口封住,让U形管以左侧管为轴匀速转动时,水银柱沿封口的一侧管子上升了 。设大气压强为p0,水银密度为ρ,求匀速转动的角速度多大? [解析] 以管中被封闭的空气为研究对象。开始时其体积V1=lS,压强p1=p0;以角速度ω匀速转动时,体积 ,根据玻意耳定律,这时压强p2=2p0。 U形管匀速转动时,竖直管中长度为 的水银柱作匀速圆周运动所需向着心力,由玻璃管壁的支持力提供;水平管中长度为 的水银柱作匀速圆周运动所需向心力,由该段水银柱两端的压力的合力提供。 该段水银柱的质量 ,它的中心到转动轴的距离,即圆半径 ;若大气压强p0以水银柱的高度表示,则该段水银柱两侧受到的压力指向转动轴的合力为 ;可见,它的运动方程为 得角速度: 。 (请注意:如要具体计算时,l应该用m(米)作单位,p0应该用mHg(米汞柱)作单位,g取9.8m/s2或10m/s2。) 作为发散思维训练:如果让图4-42(甲)所示的U形玻璃管,沿水平方向向左作匀加速直线运动,加速度多大时水平直管中的水银柱沿封口的竖直管上升 高度?[答案 ]
小结 圆周运动的合力可能会是多种性质的力的合力,包括气体的压力、万有引力、电磁场力等。 例6、地球的质量M=6.0×1024kg、半径R=6.4×106m、自转周期T=8.64×104s,万有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2。假定地球是一个规则的球体。 (1)质量为m(kg)的物体,在地球表面上受到的地球对它的吸引力多大? (2)质量为m(kg)的物体,在南、北极对水平地面的压力多大?在赤道上,对水平地面的压力多大? (3)地球自转周期减小到多大时,赤道上的物体对地面的压力恰好减小为零?
思维过程 (1)根据万有引力定律 (2)在赤道水平地面上的质量为m的物体,由于地球自转作匀速圆周运动,所需向心力为 静止在赤道水平地面上的物体受地球吸引力和地面支持力作用,它们的合力是向心力F向心=F万有-N 根据牛顿第三定律,该物体对水平地面的压力与地面对它的支持力大小相等、方向相反:N'=N=F万有-F向心=9.74m(N)。 静止在南、北极水平地面上的质量为m的物体不作圆周运动,它对水平地面的压力为9.77m(N)。 (3)设地球自转周期为T'时,赤道水平地面上的物体对地面压力减小为零,则 得 。
误区点拨 请注意:5082s也是人造地球卫星的最小周期。
思维迁移 卫星运动的题,v、T是两个经常用到得量。由这两个量,可以较容易导出其它的物理量。
变式题 1. 已知人造地球卫星运动的最小周期Tmin=5082s,万有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,试分析计算地球的平均密度。 [解析] 设地球质量为M,半径为R;人造地球卫星的质量为m,周期为T,轨道半径为r;则卫星绕地球的运动方程为 得 。设地球平均密度为ρ,则 ,将M代入T的表达式,得 r=R时,人造地球卫星的周期最小,所以 可见:地球的平均密度为
2. 水平放置的木柱,横截面为边长等于a的正四边形ABCD;摆长l=4a的摆,悬挂在A点(如图4-38),开始时质量为m的摆球处在与A等高的P点,这时摆线沿水平方向伸直;已知摆能够承受的最大拉力为7mg;若以初速度v0竖直向下将摆球从P抛出,为使摆球能始终沿圆弧运动,并最后击中A点。求v0的许可值范围。(不计空气阻力)。 [解析] 根据题意可知,摆球先后依次以A、B、C、D、为圆心,R1=4a、R2=3a、R3=2a、R4=a为半径,各作四分之一圆周的圆运动。 摆球从P点开始,设半径R1=4a运动到最低点时速度设为v1,根据动能定理 ① 当摆球开始以v1绕B点以半径R2=3a作圆周运动时,摆线受到的拉力最大,设为Tmax=7mg。这时摆球的运动方程为 ② 将①式中的mv12=mv02+8mga代入②式,可得v0的最大许可值为 。 摆球绕C点以半径R3=3a运动到最高点时,为确保沿圆周运动,到达最高点时的水平速度 。根据动能定理 ③ 得 综上所述,v0的取值范围应为
3. 两个质量均为m的小球,用长度为l的细线相连,两手分别握住一个小球,使细线恰好能沿水平方向伸直(如图4-40),这时细线的中点正好处在沿水平方向固定着的细杆的正上方,细线与细杆互相垂直,两者之间的距离为h。细线能承受的最大拉力为T0。 让两个小球同时开始自由落下,试问h多大时,在细线与细杆相碰后,细线才会被拉断? [解析] 细线的中点碰到细杆后,小球即以细杆为圆心作半径 的圆周运动;在小球运动到最低点时,速度最大,细线受到的拉力也最大。 根据动能定理,可以求得小球运动到最低点时的速度v。 ① 设小球运动到最低点时,细线上的拉力为T,则 ② ① ②联立: 可见,要使细线被拉断,细线与细杆之间的距离h应满足条件 从上式可以看出,只有T0>3mg上式才有意义;表明在T0<3mg时,从上述高度自由下落时,小球还没有到达最低点时,线细就已经被拉断。 如要细线与细杆相碰时立即就被拉断,则 可见
2. 如图3-13所示,质量为m=5×10-8kg的带电粒子,以初速度v0=3m/s,从水平放置的平行金属板的正中同射入两板之间的匀强电场中,已知两板长l=10cm,两板相距d=1cm,当两板间电压U=1.5×102V时,带电粒子恰好能沿水平直线匀速穿过,现改变两板间的电压,试分析计算,电压值在什么范围内变化时,该带电粒子总能从两板之间离开电场? [解析]由图3-13可知,粒子带负电,设电量为q,匀速穿过电场时,所受电场力等于重力;q=mg,则粒子的带电量为q=×10-10C 带电粒子通过电场所花时间为 带电粒子从上板边缘射离电场时,对应着两板间电压的最大值U1满足方程 解得 U1=285V 带电粒子从下板边缘射离电场时,对应着两板间电压的最小值U2满足方程 解得 U2=15V 综上所术,两板间的电压变化范围应该是285V≥U≥15V
小结 此类问题用平抛规律来解。即:两个运动的合成。注意合力一般是重力和电场力的合力。
例5、在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上,沿一条半径放置的A、B两个物体,质量均为m,A、B与转轴间的距离分别r1和r2,这时连接A、B的细线沿水平方向被拉直(如图4-34)。已知A、B与圆盘间的最大静摩擦力为f0。 现逐渐增大转速。在A、B刚要开始滑动前的瞬间,烧断连接A、B间的细线,圆盘开始以该时刻的转速匀速转动。试问:该时刻圆盘转动角速度多大?细线烧断后A、B将如何运动? 思维过程 在A、B即将开始滑动时,A、B受到圆盘沿水平方向指向圆心的,最大静摩擦力作用;设这时细线中的拉力为T,则A、B的受力情况如图4-35所示。它们的运动方程分别为 A: mω2r1=f0-T B: mω2r2=f0+T 两式相加,得mω2(r1+r2)=2f0,可知A、B即将开始滑动前瞬间圆盘转动角速度 细线烧断后,线对A、B的拉力消失。由于以角速度 匀速转动时,A需要的向心力小于f0,B需要的向心力大于f0,所以细线烧断后,A仍相对圆盘静止、跟圆盘作匀速转动(角速度为ω),而B则发生离心现象,相对于圆盘发生滑动。
误区点拨 A、B不是同时到达最大静摩擦,随着ω的增加,B先到达最大静摩擦,然后拉力出现,A逐渐到达最大静摩擦,此时是本题的临界状态。所以,在此时,AB所受的摩擦皆为最大静摩擦。
思维迁移 圆周运动的题主要是合力提供向心力。找到向心力是解题的关键。
变式题 1. 一内壁光滑的环形细圆管,位于竖直平面内,环的半径为R(比细管的直径大很多)。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点),A球的质量为m1,B球质量为m2,它们沿环形圆管道顺时针方向运动,经过最低点时的速度都为v0,设A球运动到最低点时,B球恰好运动到最高点,若要此时两球作用于圆管的合力为零,那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是_________。 (本题是1997年全国高考统一试题第21题) [解析] A球在通过最低点时,对圆管的压力竖直向下,设大小为N1;根据牛顿第三定律,小球A受到圆管的支持力(竖直向上)大小也为N1;小球通过最低点时的运动方程为 得 设B球通过最高点时速度为v,根据机械能守恒定律 得 m2v2=m2v02-4m2gR 根据题意,B球通过最高点时,应该对圆管有竖直向上的压力(设大小为N2);根据牛顿第三定律,圆管对B球有竖直向下的压力,大小也为N2;B球通过最高点时的运动方程为 得
要两个小球作用于圆管的合力为零,则应N1=N2;本题的正确答案是 或
20.(15分)为研究静电除尘,有人设计了一个盒状容器,容器侧面是绝缘的透明有机玻璃,它的上下底面是面积A=0.04m2的金属板,间距L=0.05m,当连接到U=2500V的高压电源正负两极时,能在两金属板间产生一个匀强电场,如图所示,现把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内,每立方米有烟尘颗粒1013个,假设这些颗粒都处于静止状态,每个颗粒带电量为q=+1.0×10-17C,质量为m=2.0×10-15kg,不考虑烟尘颗粒之间的相互作用和空气阻力,并忽略烟尘颗粒所受重力。求合上电键后:(1)经过多长时间烟尘颗粒可以被全部吸附?(2)除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功?(3)经过多长时间容器中烟尘颗粒的总动能达到最大?
19.(13分)如图所示,相距为d的狭缝P、Q间存在着一匀强电场,电场强度为E,但方向按一定规律变化(电场方向始终与P、Q平面垂直)。狭缝两侧均有磁感强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场区,其区域足够大。某时刻从P平面处由静止释放一个质量为m、带电量为q的带负电粒子(不计重力),粒子被加速后由A点进入Q平面右侧磁场区,以半径r1作圆周运动,并由A1点自右向左射出Q平面,此时电场恰好反向,使粒子再被加速而进入P平面左侧磁场区,作圆周运动,经半个圆周后射出P平面进入PQ狭缝,电场方向又反向,粒子又被加速……以后粒子每次到达PQ狭缝间,电场都恰好反向,使得粒子每次通过PQ间都被加速,设粒子自右向左穿过Q平面的位置分别是A1、A2、A3……An……
(1)粒子第一次在Q右侧磁场区作圆周运动的半径r1多大?
(2)设An与An+1间的距离小于,求n的值。
18.(13分)如图2-1所示,轻质长绳水平地跨在相距为2L的两个小定滑轮A、B上,质量为m的物块悬挂在绳上O点,O与A、B两滑轮的距离相等。在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg。先托住物块,使绳处于水平拉直状态,由静止释放物块,在物块下落过程中,保持C、D两端的拉力F不变。
(1)当物块下落距离h为多大时,物块的加速度为零?
(2)在物块下落上述距离的过程中,克服C端恒力F做功W为多少?
(3)求物块下落过程中的最大速度Vm和最大距离H?
4.地球表面接受到的太阳辐射功率
(供选择的条件有:地球半径r米,地球到太阳的距离L米,太阳的半径为R米,重力加速度g米/秒2,光速C米/秒,水的比热λ焦/千克•度,一年的时间为T秒)
3.太阳的能量来自于核聚变,估算每一年太阳的质量亏损
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