3． 甲、乙两颗人造地球卫星，在同一轨道平面中绕地球同向作匀速圆周运动；甲距地面的高度h₁=0.5R，乙距地面的高度h₂=5R；上述R为地球半径。已知某时刻甲、乙两颗卫星之间的距离最小。 　(1)甲、乙两颗卫星的线速度比v₁：v₂=________：_______； 　(2)甲、乙两颗卫星的周期比T₁：T₂=________：_______； 　(3)以乙卫星的周期(T₂)为量度时间的单位，至少要过________时间，两颗卫星相距最大。 　[解析] (1)由 ，得 。r₁=1.5R，r₂=6R； . 　(2) .所以 。(甲卫星运动“快”) 　(3)某时刻甲、乙两颗卫星之间距离最小，表明两颗卫星恰好处在地面某处的正上方，如图4-1(甲)所示。两颗卫星相距最远的情况如图4-1(乙)所示。 　　　 　设甲、乙两颗卫星绕地球转动的角速度分别为ω₁与ω₂； ，所以ω₁：ω₂=T₁：T₂=8：1。显然，相距最大的条件是(ω₁-ω₂)t=(2n-1)π，n=1、2、……；n=1时得最短的时间 　即至少要经过 时间，两颗卫星间的距离才最大。

　小结　 　这类题综合圆周运动和万有引力两部分知识，解这类题的一般思路是万有引力提供向心力。另外，这部分的计算较繁琐，需要注意。

　例7、一质量为m、电量为q的带电粒子，在磁感强度为B的匀强磁场中作圆周运动，其效果相当于一环形电流。则此环形电流强度I=____________。 　(本题是1991年全国高考统一试题第28题。)

　思维过程　 　带电粒子在匀强磁场中(垂直于磁场的平面里)作匀速圆周运动，如速度为v，则所受磁场力(洛仑兹力)f=Bqv，磁场力的方向与速度方向垂直，对带电粒子不做功，洛仑兹力的作用只是改变速度的方向，所以带电粒子一定作匀速圆周运动，磁场力为向心力，运动方程为 　带电粒子作匀速圆周运动的轨道半径为 ，沿圆周运动的周期为 ，频率为 。 　根据电流强度的定义 ，环形电流强度为

　误区点拨　 　电流强度I除了通过UR可以求出之外，还有其它很多的方法，它的定义 也是很重要的方法。

　思维迁移　 　1、带电粒子在匀强磁场中垂直于磁场的平面里作匀速圆周运动时，最显著的特征是：①轨道半径 与速度大小成正比；②运动周期和频率 均与速度大小无关。 　2、带电粒子在匀强磁场中作圆周运动形成的环形电流强度 也与带电粒子的速度无关。

　变式题　 　1．氢的同位素氕、氘、氚的原子核，在同一匀强磁场中作匀圆圆周运动，轨道半径相同，则： 　(1)它们的动量值之比P₁：P₂：P₃=_________：_________：_________； 　(2)它们的动能值之比E₁：E₂：E₃=_________：_________：_________。 　[解析] 由运动方程 ，得 P=mv=BqR 氕、氘、氚的核带电量相等，B、R也相等，所以 P₁：P₂：P₃=1：1：1 　(有的人根据 ，认为动能跟质量成反比，并写出E₁：E₂：E₃=m₃：m₂：m₁=3：2：1。请读者想一想，他错在哪些地方？他是怎样搞错的？)

2． 我国在1984年4月8日成功地发射了一颗通讯卫星。这颗通讯卫星距地面的高度h=3.60×10⁴km，绕地球转动的角速度为ω₁、线速度为v₁；地球的半径R=6.4×10³km，自转角速度为ω₂、赤道上各点的自转线速度为v₂。则： 　(1)ω₁：ω₂=________：_______； 　(2)v₁：v₂=________：_______。 　[解析] (1)通讯卫星一般是同步卫星，ω₁=ω₂，所以ω₁：ω₂=1：1。 　　　 (2)同步卫星的轨道半径r=R+h=4.24×10⁴km，同步卫星相对“静止”在赤道正上方，角速度相等，所以v₁：v₂=(R+h)：R=6.625：1。

4． 如图4-42所示。粗细均匀的U形玻璃管，三段直管的长度均为l，水平直管中有一段长度恰好等于l的水银柱。将右侧管口封住，让U形管以左侧管为轴匀速转动时，水银柱沿封口的一侧管子上升了 。设大气压强为p₀，水银密度为ρ，求匀速转动的角速度多大？ 　　　　 　[解析] 以管中被封闭的空气为研究对象。开始时其体积V₁=lS，压强p₁=p₀；以角速度ω匀速转动时，体积 ，根据玻意耳定律，这时压强p₂=2p₀。 　U形管匀速转动时，竖直管中长度为 的水银柱作匀速圆周运动所需向着心力，由玻璃管壁的支持力提供；水平管中长度为 的水银柱作匀速圆周运动所需向心力，由该段水银柱两端的压力的合力提供。 　该段水银柱的质量 ，它的中心到转动轴的距离，即圆半径 ；若大气压强p₀以水银柱的高度表示，则该段水银柱两侧受到的压力指向转动轴的合力为 ；可见，它的运动方程为 　得角速度： 。 　(请注意：如要具体计算时，l应该用m(米)作单位，p₀应该用mHg(米汞柱)作单位，g取9.8m/s²或10m/s²。) 　作为发散思维训练：如果让图4-42(甲)所示的U形玻璃管，沿水平方向向左作匀加速直线运动，加速度多大时水平直管中的水银柱沿封口的竖直管上升 高度？[答案 ]

　小结　 　圆周运动的合力可能会是多种性质的力的合力，包括气体的压力、万有引力、电磁场力等。 　例6、地球的质量M=6.0×10²⁴kg、半径R=6.4×10⁶m、自转周期T=8.64×10⁴s，万有引力常量G=6.67×10^-11N·m²/kg²。假定地球是一个规则的球体。 　(1)质量为m(kg)的物体，在地球表面上受到的地球对它的吸引力多大？ 　(2)质量为m(kg)的物体，在南、北极对水平地面的压力多大？在赤道上，对水平地面的压力多大？ 　(3)地球自转周期减小到多大时，赤道上的物体对地面的压力恰好减小为零？

　思维过程　 　(1)根据万有引力定律 　(2)在赤道水平地面上的质量为m的物体，由于地球自转作匀速圆周运动，所需向心力为 　静止在赤道水平地面上的物体受地球吸引力和地面支持力作用，它们的合力是向心力F_向心=F_万有-N 　根据牛顿第三定律，该物体对水平地面的压力与地面对它的支持力大小相等、方向相反：N'=N=F_万有-F_向心=9.74m(N)。 　静止在南、北极水平地面上的质量为m的物体不作圆周运动，它对水平地面的压力为9.77m(N)。 　(3)设地球自转周期为T'时，赤道水平地面上的物体对地面压力减小为零，则 　 得 。

　误区点拨　 　请注意：5082s也是人造地球卫星的最小周期。

　思维迁移　 　卫星运动的题，v、T是两个经常用到得量。由这两个量，可以较容易导出其它的物理量。

　变式题　 　1． 已知人造地球卫星运动的最小周期T_min=5082s，万有引力常量G=6.67×10^-11N·m²/kg²，试分析计算地球的平均密度。 　[解析] 设地球质量为M，半径为R；人造地球卫星的质量为m，周期为T，轨道半径为r；则卫星绕地球的运动方程为 得 。设地球平均密度为ρ，则 ，将M代入T的表达式，得 　r=R时，人造地球卫星的周期最小，所以 　可见：地球的平均密度为

2． 水平放置的木柱，横截面为边长等于a的正四边形ABCD；摆长l=4a的摆，悬挂在A点(如图4-38)，开始时质量为m的摆球处在与A等高的P点，这时摆线沿水平方向伸直；已知摆能够承受的最大拉力为7mg；若以初速度v₀竖直向下将摆球从P抛出，为使摆球能始终沿圆弧运动，并最后击中A点。求v₀的许可值范围。(不计空气阻力)。 　[解析] 根据题意可知，摆球先后依次以A、B、C、D、为圆心，R₁=4a、R₂=3a、R₃=2a、R₄=a为半径，各作四分之一圆周的圆运动。 　摆球从P点开始，设半径R₁=4a运动到最低点时速度设为v₁，根据动能定理 　 ① 　当摆球开始以v₁绕B点以半径R₂=3a作圆周运动时，摆线受到的拉力最大，设为T_max=7mg。这时摆球的运动方程为 　 ② 　将①式中的mv₁²=mv₀²+8mga代入②式，可得v₀的最大许可值为 。 　摆球绕C点以半径R₃=3a运动到最高点时，为确保沿圆周运动，到达最高点时的水平速度 。根据动能定理 　 ③ 　得 　综上所述，v₀的取值范围应为

　3． 两个质量均为m的小球，用长度为l的细线相连，两手分别握住一个小球，使细线恰好能沿水平方向伸直(如图4-40)，这时细线的中点正好处在沿水平方向固定着的细杆的正上方，细线与细杆互相垂直，两者之间的距离为h。细线能承受的最大拉力为T₀。 　让两个小球同时开始自由落下，试问h多大时，在细线与细杆相碰后，细线才会被拉断？ 　[解析] 细线的中点碰到细杆后，小球即以细杆为圆心作半径 的圆周运动；在小球运动到最低点时，速度最大，细线受到的拉力也最大。 　根据动能定理，可以求得小球运动到最低点时的速度v。 　 ① 　设小球运动到最低点时，细线上的拉力为T，则 　 ② 　① ②联立： 　 　可见，要使细线被拉断，细线与细杆之间的距离h应满足条件 　 　从上式可以看出，只有T₀>3mg上式才有意义；表明在T₀<3mg时，从上述高度自由下落时，小球还没有到达最低点时，线细就已经被拉断。 　如要细线与细杆相碰时立即就被拉断，则 　 　可见

2. 如图3-13所示，质量为m=5×10^-8kg的带电粒子，以初速度v₀=3m/s，从水平放置的平行金属板的正中同射入两板之间的匀强电场中，已知两板长l=10cm，两板相距d=1cm，当两板间电压U=1.5×10²V时，带电粒子恰好能沿水平直线匀速穿过，现改变两板间的电压，试分析计算，电压值在什么范围内变化时，该带电粒子总能从两板之间离开电场？ 　[解析]由图3-13可知，粒子带负电，设电量为q，匀速穿过电场时，所受电场力等于重力；q=mg，则粒子的带电量为q=×10^-10C 　带电粒子通过电场所花时间为 　带电粒子从上板边缘射离电场时，对应着两板间电压的最大值U₁满足方程 　 　解得 U₁=285V 　带电粒子从下板边缘射离电场时，对应着两板间电压的最小值U₂满足方程 　 　解得 U₂=15V 　综上所术，两板间的电压变化范围应该是285V≥U≥15V

　小结　 　此类问题用平抛规律来解。即：两个运动的合成。注意合力一般是重力和电场力的合力。

　例5、在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，沿一条半径放置的A、B两个物体，质量均为m，A、B与转轴间的距离分别r₁和r₂，这时连接A、B的细线沿水平方向被拉直(如图4-34)。已知A、B与圆盘间的最大静摩擦力为f₀。 　现逐渐增大转速。在A、B刚要开始滑动前的瞬间，烧断连接A、B间的细线，圆盘开始以该时刻的转速匀速转动。试问：该时刻圆盘转动角速度多大？细线烧断后A、B将如何运动？ 　　 　思维过程 　在A、B即将开始滑动时，A、B受到圆盘沿水平方向指向圆心的，最大静摩擦力作用；设这时细线中的拉力为T，则A、B的受力情况如图4-35所示。它们的运动方程分别为 　A： mω²r₁=f₀-T 　B： mω²r₂=f₀+T 　两式相加，得mω²(r₁+r₂)=2f₀，可知A、B即将开始滑动前瞬间圆盘转动角速度 　 　细线烧断后，线对A、B的拉力消失。由于以角速度 匀速转动时，A需要的向心力小于f₀，B需要的向心力大于f₀，所以细线烧断后，A仍相对圆盘静止、跟圆盘作匀速转动(角速度为ω)，而B则发生离心现象，相对于圆盘发生滑动。

　误区点拨　 　A、B不是同时到达最大静摩擦，随着ω的增加，B先到达最大静摩擦，然后拉力出现，A逐渐到达最大静摩擦，此时是本题的临界状态。所以，在此时，AB所受的摩擦皆为最大静摩擦。

　思维迁移　 　圆周运动的题主要是合力提供向心力。找到向心力是解题的关键。

　变式题 　1． 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的直径大很多)。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)，A球的质量为m₁，B球质量为m₂，它们沿环形圆管道顺时针方向运动，经过最低点时的速度都为v₀，设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m₁、m₂、R与v₀应满足的关系式是_________。 　(本题是1997年全国高考统一试题第21题) 　[解析] A球在通过最低点时，对圆管的压力竖直向下，设大小为N₁；根据牛顿第三定律，小球A受到圆管的支持力(竖直向上)大小也为N₁；小球通过最低点时的运动方程为 得 　设B球通过最高点时速度为v，根据机械能守恒定律 　得 m₂v²=m₂v₀²-4m₂gR 　根据题意，B球通过最高点时，应该对圆管有竖直向上的压力(设大小为N₂)；根据牛顿第三定律，圆管对B球有竖直向下的压力，大小也为N₂；B球通过最高点时的运动方程为 得

　要两个小球作用于圆管的合力为零，则应N₁=N₂；本题的正确答案是 　 或

20．(15分)为研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，容器侧面是绝缘的透明有机玻璃，它的上下底面是面积A＝0.04m²的金属板，间距L＝0.05m，当连接到U＝2500V的高压电源正负两极时，能在两金属板间产生一个匀强电场，如图所示，现把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内，每立方米有烟尘颗粒10¹³个，假设这些颗粒都处于静止状态，每个颗粒带电量为q＝+1.0×10^－17C，质量为m＝2.0×10^－15kg，不考虑烟尘颗粒之间的相互作用和空气阻力，并忽略烟尘颗粒所受重力。求合上电键后：(1)经过多长时间烟尘颗粒可以被全部吸附？(2)除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功？(3)经过多长时间容器中烟尘颗粒的总动能达到最大？

19．(13分)如图所示，相距为d的狭缝P、Q间存在着一匀强电场，电场强度为E，但方向按一定规律变化(电场方向始终与P、Q平面垂直)。狭缝两侧均有磁感强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场区，其区域足够大。某时刻从P平面处由静止释放一个质量为m、带电量为q的带负电粒子(不计重力)，粒子被加速后由A点进入Q平面右侧磁场区，以半径r₁作圆周运动，并由A₁点自右向左射出Q平面，此时电场恰好反向，使粒子再被加速而进入P平面左侧磁场区，作圆周运动，经半个圆周后射出P平面进入PQ狭缝，电场方向又反向，粒子又被加速……以后粒子每次到达PQ狭缝间，电场都恰好反向，使得粒子每次通过PQ间都被加速，设粒子自右向左穿过Q平面的位置分别是A₁、A₂、A₃……A_n……

(1)粒子第一次在Q右侧磁场区作圆周运动的半径r₁多大?

(2)设A_n与A_n+1间的距离小于,求n的值。

18．(13分)如图2-1所示，轻质长绳水平地跨在相距为2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等。在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg。先托住物块，使绳处于水平拉直状态，由静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变。

(1)当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零？

(2)在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为多少？

(3)求物块下落过程中的最大速度Vm和最大距离H？

4．地球表面接受到的太阳辐射功率

(供选择的条件有：地球半径r米，地球到太阳的距离L米，太阳的半径为R米，重力加速度g米/秒²，光速C米/秒，水的比热λ焦/千克•度，一年的时间为T秒)

3．太阳的能量来自于核聚变，估算每一年太阳的质量亏损