2．如图5-4所示，从一根空心竖直钢管A上端边缘，沿直径方向向管内水平抛入一钢球，球与管壁多次相碰后落地(球与管壁相碰均不计)，若换一根等高但较粗的钢管B，用同样方法抛入此钢球，则运动时间： 　A、在A管中的球运动时间长 　B、在B管中的球运动时间长 　C、在两管中的运动时间一样长　D、无法确定 　解析：C。此运动可以分解成竖直方向分运动和水平方向分运动。竖直方向上小球只受重力作用，做自由落体运动，水平方向的分运动为匀速直线运动，每一段运动类似平抛运动。在多次相碰中，竖直的管壁对小球只能产生沿水平方向的作用力。根据力的独立作用原理这些力只能改变小球的水平分运动的速度大小和方向，而对竖直分运动没有影响。小球运动时间决定于竖直运动，根据自由落体运动的公式 ，得出 ，由于A、B两管等高，因而小球在两管中运动时间一样长。C正确。 　另外，将图5－4展开，也可以得到类似1-66的图，只是下面的横坐标的单位不是2πr而是2r。

　小结　 　有一些运动不是平抛运动，但是将物理图景的转换为平抛运动，再按其规律来解。

4.从空中同一点O、沿同一条水平直线、同时向相反方向、分别以初速度v₁和v₂抛出两个小球。试问：经过多少时间，两个小球的瞬时速度方向间的夹角恰好为90°？ 　[解析]设经过时间t，两个小球分别达到A点和B点，由于两个小球抛出后竖直方向上的分运动都是自由落体运动，所以A、B点处在同一水平线上(图3-3)；作v_A、v_B的矢量图，根据第3题可知，v_A、v_B的反向延长线必相交于过O点的竖直线上的O'点，且OO'=OD。 　　　　 　设v_A、v_B互相垂直，v_A、v_B与竖直方向的夹角分别为α和β，即α+β=90°，则图3-3中两个画有阴影线的直角三角形相似，由此可得 　 　即 。可见；两个小球抛出后，过时间 ，它们的瞬时速度方向恰好互相垂直。

　小结　 　1、通过上述五道例题的研究，可以看出下列诊断是正确的。有的甚至可以认为是“定理”。 　(1)只要知道平抛物体的初速度，就能求得抛出后任意时刻物体的瞬时速度的大小和方向，也能计算抛出后任意一段时间内物体的位移大小和方向，还能知道任意时刻物体的位置，……反过来也行。如例1中，知道平抛物体在抛出后的第2s内的位移大小，就能求：初速度、任意时刻的瞬时速度(矢量)、任意一段时间内的位移(矢量)…… 　(2)从同一高度平抛出去的物体，其水平射程(s)与初速度(v₀)成正比。以相等的初速度平抛出去的物体，其水平射程的平方与抛出点的高度成正比。 　(3)以不同的初速度，从倾角为θ的斜面上沿水平方向抛出的物体，落向斜面前的瞬时速度与斜面之间的夹角α与初速度大小无关，是一个恒定的值，且tan(θ+α)=2tanθ。 　(4)从倾角为θ的斜面上平抛出去的物体，如果初始动能为E_k0，则物体落向斜面前的动能E_k1=(1+4tan²θ)E_k0；运动过程中物体的动能增量为ΔE_k=4tan²θE_k0。 　…… 　2、提出上述各点，特别是(2)、(3)、(4)，不是要求牢记这些结论，而是要掌握研究问题的方法，只要掌握了研究问题的方法，自己就能通过推导，得到更多有意义的结论。 　例2、从倾角为θ的斜面上的A点，以初速度v₀，沿水平方向抛出一个小球，落在斜面上B点。 　(1)小球从A到B运动多少时间？ 　(2)小球从A到B的运动过程中，何时与斜面距离最大？最大距离多大？

　思维过程　 　(1)设小球由A到B运动时间t，则 得 t=2v₀tanθ/g 　(2)将v₀和重力加速度g，沿平行于斜面的方向和垂直于斜面的方向分解(如图3-10)；则小球的平抛运动，可以看作是平行于斜面方向上初速度为v₀cosθ、加速度为gsinθ的匀加速运动，与垂直于斜面方向上初速度为v₀sinθ、加速度为 -gcosθ的匀减速运动的合运动。 　设时刻t'(抛出时开始计时)小球与斜面距离最大，显然 　 (注意：t'=t/2)。 　最大距离为

　误区点拨　 　小球与斜面距离最大的点特征是v的方向与斜面平行。

　思维迁移　 　平抛运动可以看成一般是看成水平和竖直两个方向的分运动合成。但是也可以按照其它方向分解，选择合适的分运动是非常关键的。

　变式题　 　如右图所示，光滑斜面长为a、宽为b、倾角为θ。一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度。 　解析：物体在平滑斜面上只受重力和支持力。合外力F=mg·sinθ，方向沿斜面向下。 　根据牛顿第二定律 mg·sinθ=ma_加 　其加速度a_加=g·sinθ 　物体在斜面上有一沿斜面向下的加速度a_加，初速度方向与a_加垂直，所以物体在水平方向是以速度v₀做匀速运动，并沿斜面向下做初速度为零的匀加速运动。 　在水平方向的位移a=v₀·t 　沿斜面向下的位移 　解得

　小结　 　1、对于“平抛运动”，你可以相对于地面，把它看作是水平方向上的匀速运动与竖直方向上的自由落体运动的合运动；你也可以相对斜面，把它看作是平行于斜面的，初速度为v₀cosθ、加速度为gcosθ的匀加速运动，与垂直于斜面，初速度为v₀sinθ、加速度为-gsinθ的匀减速运动的合运动；以后如有必要，你还可以有其它的分析方法。这就是物理思想，是物理学研究方法的基础和出发点。深刻理解物理思想，是掌握研究方法的关键。 　2、对平抛运动之所以有各种不同的分析方法，是由力与运动的矢量特性决定的，在研究具体的实际例题中，应注意研究矢量变化规律的特殊性。 　3．如果物体的合理不是重力，但是也是恒力，那么它将做类平抛运动，在与初速度垂直方向上的分运动是初速度为零的匀加速度直线运动。带电粒子在电场中运动、在符合场中的运动，有很多属于这种运动。　

　例3、如图1-65 所示，圆桶底面半径为R，在顶部有个入口A，在A的正下方h处有个出口B，在A处沿切线方向有一个光滑斜槽，一个小球恰能沿水平方向进入入口A后，沿光滑桶壁运动，要使小球由出口B飞出桶外，则小球进入A时速度v必须满足什么条件?

　思维过程　 　思路一：若将圆桶横向展开并将多个这样的展面依次首尾相接，小球在此展面上的运动又可看作平抛运动． 　解析一：如图1-66所示，小球从人口A处进横向展开并首尾相接的展面做平抛运动．从A到B运动的时间为 ① 　 沿展面的水平方向做速度为v的匀速直线运动，水平位移 　 s＝n·2πR，(n＝1、2、3) ② 　 又有s=v·t ③ 　 联系①②③解得 　 思路二：由于桶内壁光滑，小球沿水平方向进入A后，只受到重力和桶壁对它的弹力作用，于是小球在水平方向做匀速圆周运动，在竖直方向做自由落体运动． 　 解析二：小球从入口A进入桶内以后，在竖直方向只受重力作用，且竖直方向初速度为零，故小球在竖直方向做自由落体运动，从A运动到B的时间为 　 ① 　 小球在水平方向以速率v做匀速圆周运动，设它从A到B共运动了n圈，则 　 vt=n·2πR，(n=1、2、3……) ② 　 联立①②解得 　 此即为小球进入A时速度v所必须满足的条件．

　误区点拨　 　不少同学可能误认为小球只运动一圈就由A到B，因而在结果中遗漏了圈数n．

　思维迁移　 　明确小球在水平方向做匀速运动，竖直方向自由落体是解析本题的关键，即建立起正确的物理图景。

　变式题　 　1．竖直放置的圆筒内壁光滑，半径为R，半径远小于R的小钢球，从筒口处的A点，以沿内壁水平切线方向的初速度v开始运动，恰好从A点的正下方的B点飞出，如图1-67所示，试问圆筒高度H的可能值是什么? 　答案：

2. 物体从倾角为θ的斜面上的A点沿水平方向抛出时的初动能为E_k0，当物体落到斜面上B点时，其动能E_kt多大？ 　[解析]作示意图，如图3-1所示。 　由 ，可知 。 　设物体由A到B运动时间为t，则 　可知物体到达B点时，其速度的竖直分量为v'=gt=2v₀tanθ 　可见，物体到达B点时的动能为 　 　(动能增加了4tan²θE_k0)。

　3. 从倾角为θ的斜面上的同一点，以大小不相等的初速度v₁和v₂(v₁>v₂)，沿水平方向抛出两个小球；两个小球落向斜面前的瞬时速度方向与斜面的夹角分别为α₁和α₂，则(　) 　A、α₁>α₂ 　B、α₁<α₂ 　C、α₁=α₂ 　D、无法确定 　[解析]如图3-2所示。设小球从斜面上的O点抛出，落在斜面上的P点。 　以O点为原点建立平面直角坐标系，x轴与水平初速度v₁、v₂同方向，y轴竖直向下，P点的坐标为(x，y)，小球落向斜面前的瞬时速度v_t与斜面夹角为α，根据平抛运动规律、参见图3-2，可知 　 　由于θ是已知量，由上式可知：α是不变量，与初速度(v₀)无关。故本题应选择C。 　运用发散思维方法，将上述研究深入下去，可得一条重要结论。 　在图3-2中，将v_t反向延长，与x轴交A点，与y轴交B点；显然=θ+α，前已证明： .可见： ，OB=y。 　在后面即将研究“带电粒子以初速度v₀，沿着与电场垂直的方向射入匀强电场中，当带电粒子离开匀强电场时，它们都好像是从电场中心( )处沿直线射出似的”。请读者注意比较。

17.⑴37℃ ⑵R₃ =50kΩ　 18.⑴I＝0.40A ⑵0.48W ⑶12.8J　 19.⑴7.125×10³W ⑵37%

12.9kq/L²，0　 13.I/2　 14.2mgd　 15.　 三、16. ⑴ ⑵　

18.如图㈢-16，MN、PQ是两条水平放置的平行光滑导轨，其电阻可以忽略不计，导轨间距离l=0.60m。垂直于导轨平面向里的匀强磁场的磁感应强度B=0.40T。金属杆ab垂直于导轨放置，与导轨接触良好，ab杆在导轨间部分的电阻r=1.0Ω。在导轨的左端连接有电阻R₁、R₂，阻值分别为R₁=3.0Ω和R₂=6.0Ω。ab杆在水平拉力F作用下以v=5.0m/s的速度向右匀速运动。求：⑴通过ab杆的电流I ⑵拉力F的功率P_F ⑶电阻R₁上每分钟产生的电热Q₁

　19.澳大利亚设计师设计并制造了一艘试验性的太阳能帆船，图㈢-17是它的照片。它既有普通的柴油发动机作为动力系统，又有四个特殊的风帆，每只高6m，宽1.5m，表面布满太阳能电池。这样，它既可以利用风力航行，又可以利用太阳能发电再利用电能驱动，特别适用于航速较低的旅游观光时使用。已知船在行驶中所受阻力跟船速的平方成正比。某次试航时关闭柴油发动机，仅靠风力航行时速度为2m/s，阻力大小f=1.5×10³N。开动太阳能电池驱动的电动机后船速增加到3m/s。当时在烈日照射下，每平方米风帆上实际获得的太阳能功率为600W，电动机的效率为η₁= 90%。设风力的功率不受船速影响。求：⑴电动机提供的机械功率是多大？⑵太阳能电池将太阳能转化为电能的效率η₂是多少？

综合测试㈢答案

16.如图㈢-13所示，足够长的光滑平行导轨所在平面跟水平方向成α角，一根质量为m，长度和导轨间距离都等于L的导体棒ab架在导轨上，跟两平行导轨保持垂直，和导轨接触良好。导轨最上端串联有阻值为R的定值电阻，其它电阻都忽略不计。空间有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B。现将ab无初速释放，求：⑴ab沿导轨下滑的最大速度v_m是多大？⑵ab达到最大速度后，电阻R上消耗的电功率P是多大？

　17.如图㈢-14所示，是在环境温度为10℃左右的条件下工作的某自动恒温箱原理简图。箱内电阻R₁=20kΩ，R₂=10kΩ，R₃=40kΩ，R₄为热敏电阻，其阻值随温度变化的图线如图㈢-15所示。当电压鉴别器两接入点a、b的电势φ_a<φ_b时，鉴别器将自动使电键K接通，使恒温箱内的电热丝发热，从而使箱内温度升高；当φ_a >φ_b时，鉴别器将使K断开，停止加热。求：⑴根据以上说明，判定该恒温箱内的温度将保持在多少摄氏度？⑵若想使恒温箱内的温度保持在30℃，在保持R₁ 、R₂不变的情况下，应该把R₃更换成阻值多大的定值电阻？　

15.如图㈢-12所示，一个质量为m、电荷量为q的带电粒子从静止被电压U₁加速后沿平行板电容器两极板的中线OO^/ 射入电容器，并从右侧射出。电容器板长和极板间距离相等，两板间电压为U₂，则该带电粒子在穿过电容器过程中的动能增量为_________。　

14.如图㈢-11所示，矩形线圈abcd质量为m，宽为d，在竖直平面内由静止自由下落。其下方有如图方向的匀强磁场，磁场上、下边界水平，宽度也为d，线圈ab边刚进入磁场就开始做匀速运动，那么在线圈穿越磁场的全过程，产生的电热为__________。

13.有一只定值电阻接在一个交变电源上，通过电阻的电流为I。若将它通过一台理想变压器接在这个交变电源上，测得变压器的初级线圈中的电流为I/4，那么这时通过该定值电阻的电流为_________。