9、(2006湖南常德)把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．

(1)如图9，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，　　　．

(2)将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中

，问的值是否改变？说明你的理由．

(3)在(2)的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．

[解] (1)8

　(2)的值不会改变．

　理由如下：在与中，

　即

(3)情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，

　由(2)知：得

　于是

　情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，

　由于，，易证：，

　即解得

　于是

　综上所述，当时，

　　　　当时，

法二：连结，并过作于点，在与中，

法三：过作于点，在中，

　于是在与中

即

8、(2006吉林长春)如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S。

(1)求点A的坐标。

(2)试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t(秒)的关系式。

(3)在(2)的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。

(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________。

[解] (1)由　　　 可得

　　　　 ∴A(4，4)。

(2)点P在y = x上，OP = t，

则点P坐标为

点Q的纵坐标为，并且点Q在上。

∴，

即点Q坐标为。

。

当时，。

当，

当点P到达A点时，，

当时，

　 。

(3)有最大值，最大值应在中，

当时，S的最大值为12。

(4)。

7、(2006江西)问题背景　某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图1，在正三角形△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60º，则BM＝CN；

②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90º，则BM＝CN；

然后运用类比的思想提出了如下命题：

③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108º，则BM＝CN。

任务要求：

(1)请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；(说明：选①做对得4分，选②做对得3分，选③做对得5分)

(2)请你继续完成下列探索：

①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108º，这样的线段有几条？(不必写出画法，不要求证明)

②如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108º，请问结论BM＝CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

[解] (1)以下答案供参考：

　　　 (1) 如选命题①

　　 证明：在图1中，∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60°

∵∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3

又∵BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN

∴BM=CN　 (2)如选命题②

证明：在图2中，∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90°

∵∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3

又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN

∴BM=CN　

(3)如选命题③

证明；在图3中，∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108°

∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3　　　　　　　　

又∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°

∴ΔBCM≌ΔCDN　　

∴BM=CN　

(2)①答：当∠BON=时结论BM=CN成立．

②答当∠BON=108°时。BM=CN还成立

　 证明；如图5连结BD、CE.

在△BCI)和△CDE中

∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

∴ΔBCD≌ ΔCDE

∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN　

∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN　

∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°

∴∠MBC=∠NCD

又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN

∴ΔBDM≌ ΔCNE 　∴BM=CN

6、(2006山东潍坊)已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点(在的左侧)，且点坐标为．平行于轴的直线过点．

(1)求一次函数与二次函数的解析式；

(2)判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；

(3)把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

[解](1)把代入得，

一次函数的解析式为；

二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，

　 设二次函数解析式为，

·········································································· 把代入得，

二次函数解析式为．

(2)由

解得或，

，

过点分别作直线的垂线，垂足为，

则，

直角梯形的中位线长为，

过作垂直于直线于点，则，，

，

　的长等于中点到直线的距离的2倍，

以为直径的圆与直线相切．

(3)平移后二次函数解析式为，

令，得，，，

　 过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，

·································· 要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，

此时，半径为2，面积为，

设圆心为中点为，连，则，

在三角形中，，

，而，，

　 当时，过三点的圆面积最小，最小面积为．

5、(2006浙江嘉兴)某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚(点C)的水平线为x轴、过山顶(点A)的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图(单位：百米)．已知AB所在抛物线的解析式为，BC所在抛物线的解析式为，且已知．

(1)设是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；

(2)从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上(见图)．

①分别求出前三级台阶的长度(精确到厘米)；

②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？

(3)在山坡上的700米高度(点D)处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，(米)．假设索道DE可近似地看成一

段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为．试求索道的最大悬空高度．

[解] (1)∵是山坡线AB上任意一点，

∴，，

∴，

∵，∴＝4，∴

(2)在山坡线AB上，，

①令，得 ；令，得

∴第一级台阶的长度为(百米)(厘米)

同理，令、，可得、

∴第二级台阶的长度为(百米)(厘米)

第三级台阶的长度为(百米)(厘米)

②取点，又取，则

∵

∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚

(注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度，共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性)

②另解：连接任意一段台阶的两端点P、Q，如图

∵这种台阶的长度不小于它的高度

∴

当其中有一级台阶的长大于它的高时，　

在题设图中，作于H

则，又第一级台阶的长大于它的高

∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚

(3)

、、、

由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值

索道在BC上方时，悬空高度

当时，

∴索道的最大悬空高度为米．

4、(2006山东烟台)如图，已知抛物线L₁: y=x²-4的图像与x有交于A、C两点，

(1)若抛物线l₂与l₁关于x轴对称，求l₂的解析式；

(2)若点B是抛物线l₁上的一动点(B不与A、C重合)，以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l₂上；

(3)探索：当点B分别位于l₁在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。

[解]

(1)设l₂的解析式为y=a(x-h)²+k

∵l₂与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l₁与l₂关于x轴对称，

　　 ∴l₂过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，4)

　　 ∴y=ax²+4

　　 ∴0=4a+4　 得 a=-1

　 ∴l₂的解析式为y=-x²+4

　(2)设B(x₁ ,y₁)

　　 ∵点B在l₁上

　　 ∴B(x₁ ,x₁²-4)

　　 ∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称

　　 ∴B、D关于O对称

　 　∴D(-x₁ ,-x₁²+4).

　　 将D(-x₁ ,-x₁²+4)的坐标代入l₂：y=-x²+4

　　　　　 ∴左边=右边

　　　　　 ∴点D在l₂上.

　(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则

　　 S=2*S_△ABC =AC*|y₁|=4|y₁|

　　 a.当点B在x轴上方时，y₁＞0

　　　 ∴S=4y₁ ,它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而增大，

　　　 ∴S既无最大值也无最小值

　　 b.当点B在x轴下方时，-4≤y₁＜0

　　　 ∴S=-4y₁ ,它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而减小，

　　　 ∴当y₁ =-4时，S由最大值16，但他没有最小值

　　　 此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.

　　　 ∴AC⊥BD

　　　 ∴平行四边形ABCD是菱形

　　　 此时S_最大=16.

3、(2006山东济南)如图1，已知中，，．过点作，且，连接交于点．

(1)求的长；

(2)以点为圆心，为半径作⊙A，试判断与⊙A是否相切，并说明理由；

(3)如图2，过点作，垂足为．以点为圆心，为半径作⊙A；以点为圆心，为半径作⊙C．若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使点在⊙A的内部，点在⊙A的外部，求和的变化范围．

[解]

(1)在中，，

　　．

　　，．

　　．

　　，．

(2)与⊙A相切．

　　在中，，，

　　，．

　　又，，

　　与⊙A相切．

(3)因为，所以的变化范围为．

　　当⊙A与⊙C外切时，，所以的变化范围为；

　　当⊙A与⊙C内切时，，所以的变化范围为．

2、(2006浙江金华)如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.

(1)求直线AB的解析式;

(2)若S_梯形OBCD＝,求点C的坐标;

(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的

三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件

的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

[解] (1)直线AB解析式为：y=x+．　

(2)方法一：设点C坐标为(x，x+)，那么OD＝x，CD＝x+．　

∴＝＝．

由题意： ＝，解得(舍去)

∴　C(2，)

方法二：∵　,＝，∴．

由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．

∴　＝CD×AD＝＝．可得CD＝．

∴　AD=1，OD＝2．∴C(2，)．

(3)当∠OBP＝Rt∠时，如图

　　　 ①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，

∴(3，)．

　　　 ②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．

∴(1，)．

当∠OPB＝Rt∠时

③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°

过点P作PM⊥OA于点M．

方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．

∵ 在Rt△PMO中，∠OPM＝30°，

∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴(，)．

方法二：设P(x ，x+)，得OM＝x ，PM＝x+

由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．

∵tan∠POM=== ，tan∠ABOC==．

∴x+＝x，解得x＝．此时，(，)．

④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．　　

　 　 ∴　PM＝OM＝．

∴　(，)(由对称性也可得到点的坐标)．

当∠OPB＝Rt∠时，点P在x轴上,不符合要求.

综合得，符合条件的点有四个，分别是：

(3，)，(1，)，(，)，(，)．

1、(2006重庆)如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形(如图2所示).将纸片沿直线(AB)方向平移(点始终在同一直线上)，当点于点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P.

(1)　 当平移到如图3所示的位置时，猜想图中的与的数量关系，并证明你的猜想；

(2)　　 设平移距离为，与重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；

(3)对于(2)中的结论是否存在这样的的值，使重叠部分的面积等于原面积的.

若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.

[解] (1).因为，所以.

又因为，CD是斜边上的中线，

所以，，即

所以，，所以

所以，.同理：.

又因为，所以.所以

(2)因为在中，，所以由勾股定理，得

即

又因为，所以.所以

在中，到的距离就是的边上的高，为.

设的边上的高为，由探究，得，所以.

所以.

又因为，所以.

又因为，.

所以 ，

而

所以

(3) 存在. 当时，即

整理，得解得，.

即当或时，重叠部分的面积等于原面积的

28．(本题满分14分)

　　 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=－x+5的图象交x轴于点B，与正比例函数

y=kx(k≠0)的图象交于第一象限内的点A．(如图①)

　　 (1)以0、A、B三点为顶点画平行四边形，求这个平行四边形第四个顶点C的坐标；(用含k的代数式表示)

　　 (2)若以0、A、B、C为顶点的平行四边形为矩形，求k的值；(图②备用)

　　 (3)将(2)中的矩形OABC绕点O旋转，使点A落在坐标轴的正半轴上，求所得矩形与原

矩形重叠部分的面积．

图①　　　　　　　　　　　　　　　 图②