题目列表(包括答案和解析)
21.(本题12′)设函数=-
0<
<1。
(1)求函数的单调区间、极值。
(2)若当时,恒有
≤
,试确定
的取值范围。
[解]:(1), 令
得x=a或x=3a
由表
![]() |
(![]() |
α |
(![]() |
3α |
(![]() |
![]() |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
![]() |
递减 |
![]() |
递增 |
b |
递减 |
可知:当时,函数f (
)为减函数,当
时,函数f(
)也为减函数:当
时,函数f(
)为增函数。
(2)由≤
,得-
≤-
≤
。∵0<
<1, ∴
+1>2
,
=-
在[
+1,
+2]上为减函数。∴[
]max =
′(
+1)=2
-1,
[]min=
′(
+2)=4
-4.于是,问题转化为求不等式组
的解。
解不等式组,得≤
≤1。又0<
<1, ∴所求
的取值范围是
≤
≤1。
20、(本题12′)用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
[解]:设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.
当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x<时,V′(x)<0,
故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。
从而最大体积V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.
答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m3。
19、(本题12′)在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了10张卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”,
(1)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张,测试后放回,余下2位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概率;
(2)若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张,求这三张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率.
[解]:(1)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的概率为,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的,因而所求的概率为
(2)设表示所抽取的三张卡片中,恰有
张卡片带有后鼻音“g”的事件,且其相应的概率为
则
,
因而所求概率为
18、(本题12′)三棱锥被平行于底面
的平面所截得的几何体如图所示,截面为
,
,
平面
,
,
,
,
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)求二面角的大小.
解:(Ⅰ)如图,建立空间直角坐标系,
则,
,
.
点坐标为
.
,
.
,
,
,
,又
,
平面
,又
平面
,
平面
平面
.
(Ⅱ)平面
,取
为平面
的法向量,
设平面的法向量为
,则
.
,如图,可取
,则
,
,
即二面角为
.
17.(本题10′)设函数R),若使
上为增函数,求a的取值范围.
[解]:,由题知:
上恒成立
而
令递增且最小值为
,
16.已知函数,则函数f(x)的最小值是 0
15、=
-3
14、已知函数,
-2 .
13.,则
3 。
12、设数列的前
项和
满足
,那么
( C )
A.
B.
C.
D.
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