(二)填空题

　16.直线xsinα+ycosα=m(常量α∈(0，)) 被圆x²+y²=2所截的弦长为，则m=　　　　 .

　17.抛物线y²=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为　　　　 .

　18.如果方程x²cos2θ+y²sinθ=1，表示椭圆，那么θ 角的取值范围是　　　　 .

19.设F₁、F₂是双曲线=1(a ＞0,b＞0)的两个焦点，P为双曲线上的一点，P与F₁、F₂的连线互相垂直，且∠PF₁F ₂＝15°，则双曲线的离心率为　　　　　　　 .

(一)选择题

　1.“点M的坐标是方程f(x，y)=0的解”是“点M在方程f(x，y)=0曲线上”的(　　 )

　A.充分不必要条件　　　 B.必要不充分条件

　C.充要条件　　　　　 　D.既非充分又非必要条件

　2.已知圆C的方程为f(x,y)＝0,点A(x₀,y₀)是圆C外的一点，那么方程f(x,y)-f(x₀,y₀)＝0表示的曲线(　　 )

　A.可能不是圆

　B.是与圆C重合的圆

　C.是过A点与圆C相交的圆

　D.是过A点且与圆C同心的圆

　3.椭圆(1-m)x²-my²=1的长轴长是(　　 )

　A.　　 　　　　　　　　　B.

　C. 　　　　　　　　　　D.

　4.下列各对双曲线中，既有相同离心率又有相同渐近线的是(　　 )

　A. -y²=1和=1　　　　 B. -y²=1和y²-=1

　C.y²-=1和x²-=1　　　　　 D. -y²=-1和-=1

　5.抛物线y＝x²(m＜0)的焦点坐标是(　　 )

　A.(0,)　　　　　　　　　　　 B.(0,- )

　C.(0, )　　　　　　　　　　 D.(0,- )

　6.已知椭圆=1　 (a＞b＞0)的两 个焦点把夹在两条准线间的线段三等分，那么这个椭圆的离心率是(　　 )

　A. 　　　B. 　　　　C.　　　 D.

　7.过抛物线y²=2px(p＞0)的焦点作一条直线l交抛物线于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点 ，则的值为(　　 )

　A.4　　　 B.-4　 　　　　　　C.p² 　　　B.-p²

　8.过双曲线的一个焦点，有垂直于实轴的弦PQ，F′是另一个焦点，若∠PF′Q=，则双曲线离心率是(　　 )

　A.+2　　　 B. +1　　　 C. 　　　D. -1

　9.x²+2x+y²+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有(　　 )

　A.1个　　　　 B.2个　　 　　C.3个　　　　 D.4个

　10.椭圆的两准线方程分别为x=，x=-，一个 焦点坐标为(6，2)，则椭圆方程是(　　 )

　A. =1 　　　B. =1

　C. =1 　　　D. =1

　11.设双曲线=1的两条渐近线含 实轴的夹角为θ，而离心率e∈［，2］，则θ的取值范围是(　　 )

　A.［，］　　　 B.［，］　　 C.［，］　　　　 D.［， π］

　12.圆心在抛物线x²=2y上，且与y轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是(　　 )

　A.x²+y²-x-2y-=0　　　　　 B.x²+y²+x-2y+1=0

　C.x²+y²+2x-y+1=0　　　　　 D.x²+y²-2x-y+=0

　13.和x轴相切，且和圆x²+y²=1外切的动圆圆心的轨迹方程是(　　 )

　A.x²=2y+1　　　　　　　　　　　　　 B.x²=-2y+1

　C.x²=2y+1或x²=-2y+1　　　　　　　　 D.x²=2│y│+1

　14.已知A＝{(x,y)｜x²+y²=1},B={(x,y)｜y²=2(x-a)};若A∩B=，则实数a的取值 范围是(　　 )

　A.a＜-1　　　　　 B.a＞1　　　　　　 C.a＜-2　　　　　 　D.a＜-1或a＞1

　15.已知0＜a＜1＜b，那么曲线a²x²-a²y²=log_ab是(　　 )

　A.焦点在x轴的双曲线

　B.焦点在y轴的椭圆

　C.焦点在x轴的等轴双曲线

D.焦点在y轴的等轴双曲线

(八)综合例题赏析

　例9　 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　 )

　A.丙是甲的充分条件，但不是必要条件

　B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

　C.丙是甲的充要条件

　D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

　解　 “甲是乙的必要条件”，即“甲乙”，“丙是乙的充分不必要条件”，即“丙乙， 且丙乙”。

　因　 丙乙甲

　即丙是甲的充分不必要条件

　故　 应选A.

　例10　 已知直线x=a(a＞0)和圆(x-1)²+y²=4相切 ，那么a的值是(　　 )

　A.5　　 B.4　　 C.3　　 D.2

　解：r=2，圆心(1，0)，a＞0，∴a＝3

应选C.

　例11　 设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成 的两段弧，其弧长的比为3∶1在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l∶x-2y=0的距 离最小的圆的方程

　解：设所求圆的圆心P(a,b)半径r

　由题设知，P到x,y轴的距离分别为｜b｜,｜a｜,且圆P截x轴的弦所对圆心角为90°，故其弦 长为r,有r²=2b²

　由“圆P截y轴所得弦长为2”有r²=a²+1

　∴2b²-a²=1

　P(a,b)到直线x-2y=0的距离为

　d=,得

　5d²=｜a-2b｜²=a²+4b²-4ab≥a²+4b²-2(a²+b²)

　　　　　　　 2b²-a²=1

　当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d²=1从而d取得最小值

　由此有　 解得 或

　又由r²=2b²,得r²=2.

　∴所求圆方程是(x-1)²+(y-1)²=2,或(x+1)²+(y+1)²=2

　例12　 已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的 比为3∶1；③圆心到直线l∶x-2y=0的距离为，求该圆的方程

　解　 设已知圆的圆心P(a,b)，半径为r，由题设已知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角是90°，从而圆P截x轴所得弦长为r，又点P到x,y轴的距离分别为｜b｜,｜a｜圆P 截y轴所得弦长为2。

　r²=a²+1　　　　　 (1)

　由已知有，点P到直线x-2y=0的距离为，即

　d=　　　　 (2)

　由圆P截y轴的弦长为2，易知｜b｜=1　 (3)

　(2)、(3)联立，可得　 或　 代入(1)又得r=

　于是所求圆的方程为(x+1)²+(y+1)²或(x-1)²+(y-1)²＝2

　例13　 设椭圆=1　 (a＞b＞0) 的右焦点为F₁，右准线为l₁.若过F₁且垂直于x轴的弦的长等于点F₁到l₁的距离， 则椭圆的离心率是　　　　　 .

　解：

　例14　 设直线2x-y-=0与y轴的交点为P，点P把圆(x+1)²+y² ＝25的直径分为两段，则其长度之比是(　　 )

　A.或　　　 B. 或　　　 C. 或 　　　D. 或

　解：如下图

　圆(x+1)²+y²＝25的圆心坐标是(-1,0)，半径r=5。

　直线l：2x-3-＝0与y轴的交点P的坐标是(0，-)。

　设点P在直径AB上，所求即

　｜PA｜∶｜PB｜。

　由于｜O′P｜＝｜＝2

　则　 ｜PA｜∶｜PB｜＝(r+2)∶(r-2)＝7∶3或

　　　 ｜PA｜∶｜PB｜＝(r-2)∶(r+2)＝3∶7或

　故　 应选A。

　例15　 设双曲线=1(0＜a＜b)的半焦距为C，直线1过(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线1的距离为c，则双曲线的离心率为(　　 )

　A.2.　　　 B.　　　 C.　　 　D.

　解：∵直线1过(a,0)，(0,b),

　∴1的方程为=1,

　即bx+ay-ab=0

　∵原点(0，0)到1的距离为c，由点到直线的距离公式 ，得c=又0＜a＜b,双曲线中c²=a²+b²,

　∴

　整理得a²-4ab+b²=0,b=a.

　∴c²=a²+b²=4a²,c=2a,e==2.

　应选A.

　例16　 设F₁和F₂为双曲线-y² =1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂=90°.则△F₁PF₂的面积是(　　 )

　A.1　　　　 B.　　　　　 C.2　　　　　 D.

　解：由已知可得，F₁(-，0)，F₂(，0)

　∴｜F₁F₂｜=2,｜F₁F₂｜²=20

　由∠F₁PF₂=90°,

　得20=｜F₁F₂｜²＝｜PF₁｜²+｜PF₂｜²　　　　　　 ①

　由双曲线定义得︳PF₁︳-︳PF₂︳=2a=4，平方得

　｜PF₁｜²+｜PF₂｜²-2｜PF₁｜·︳PF₁｜=16　　　　　 ②

　①-②得2｜PF₁｜·｜PF₂｜=4

　∴S_△F1PF2=｜PF₁｜·｜PF₂｜

　应选A.

　例17　 双曲线-x²=1的两个焦点坐标是　　　　　 .

　解：(0，)，(0，-)

　例18 　如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该 双曲线的离心率是(　　 )

　A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.2

　解：由题设知a=2,c=3.

　∴e=.

　应选C.

　例19　 已知点(-2，3)与抛物线y²=2px(p＞0)的焦点 的距离是5，则p=　　　　　　 .

　解：y²=2px的焦点坐标是(，0)，

　∴5=

　解出p=4.

　例20　 直线l过抛物线y²=a(x+1)(a＞0)的焦点，并 且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=　　　　 .

　解：设抛物线焦参数为p，则a=2p(p＞0).

　l是过焦点的直线且垂直于x轴即垂直于抛物线y²=a(x+1)的对称轴.

　∴l被抛物线截得的线段即正焦弦长.

　∴4=2p=a，即a=4.

　例21　 如果三角形的顶点分别是O(0，0)，A(0，15)，B(-8 ，0)，那么它的内切圆方程是　　　　　　　 。

　解：设内切圆心为O′，则O′到x、y轴等距，其距离即内切圆半径r，又O′在第四象限木， 所以O′(r,-r)。

　直线AB的方程是＝18x-15y-120＝0

　即±17r＝23r-120，解得r＝3(已舍负值)。

　例22　 焦点在(-1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 (　　 )

　A.y²=8(x+1)　　　　　 B.y²=-8(x+1)

　C.y²=8(x-1)　　　　　 D.y²=-8(x-1)

　解：设抛物线焦参数为p，则焦点和顶点的距离是，即==2，得p=4.

　又抛物线顶点坐标为(1，0)，焦点是(-1，0)，

　∴y²=-8(x-1)为所求.

　应选D.

　例23　 圆x²+y²-2x＝0和圆x²+y²-4x＝0的位置关系是(　　 )

　A.相离　　　 B.外切　　　 C.相交　　　 D.内切

　解　 C₁∶(x-1)²+y²＝1,O₁(1,0),r₁＝1

　　　 C₂∶x²+(y-2)²＝4,O₂(0,2),r²＝2

　因　 ｜O₁O₂｜＝＜r₁+r₂＝3,且＞｜r₁-r₂｜＝1,

　则　 两圆相交

　应选C。

　例24　 设曲线C的方程是y=x³-x，将C沿x轴、y轴正 向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C₁.

　(1)写出曲线C₁的方程；

　(2)证明曲线C与C₁关于点A(，)对称；

　(3)如果曲线C与C₁有且仅有一个公共点，证明S=-t且t≠0.

　解：(1)曲线C₁的方程为

　y=(x-t)³-(x-t)+s

　(2)在曲线C上任取点B₁(x₁，y₁)，设B₂(x₂，y₂)是B₁关于点A的对称点，则有，，

　∴x₁=t-x₂，y₁=s-y₂

　代入曲线C的方程，得x₂和y₂满足方程：

　S-y₂=(t-t₂)³-(t-x₂)，

　即y₂=(x₂-t)²-(x₂-t)+s，

　可知点B(x₂-y₂)在曲线C₁上

　反过来，同样可以证明，在曲线C₁上的点关于点A的对称点在曲线C上，

　∴曲线C与C₁关于点A对称.

　(3)∵曲线C与C₁有且仅有一个公共点，

　∴方程组，有且仅有一组解.

　消去y，整理得

　3tx²-3t²x+(t³-t-S)=0，

　这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根

　∴t≠0，并且其根的判别式

　Δ=9t⁴-12t(t³-t-S)=0.

　即

∴S=-t且t≠0

　例25　 已知椭圆=1，直线L∶=1，P是L上 一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│²，当点P在L上移动 时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

　解：如图.

　由题设知Q不在原点，设P、R、Q的坐标分别为(x_P，y_P)、(x_R，y_R)、(x，y)其中x ，y不同时为零.

　当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组；

　　 解得

　由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组：

　　 ③，解得　 ④

　当点P在y轴上时，经检验①-④也成立.

　∵│OQ│·│OP│=│OR│²

　∴·，

　将(1)-(4)代入上式，化简整理得

　.

　因x与x_P同号或y与y_P同号，以及③、④知2x+3y＞0，

　∴点Q的轨迹方程为=1.其中(x，y不同时为零)

　点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭圆.

　解法二：由题设知点Q不在原点.

　设P、R、Q的坐标分别为(x_P，y_P)，(x_R，y_R)，(x,y)其中x，y不同时为零.

　设OP写x轴正方向的夹角为α，则有

　　　 x_P=│OP│cosα，y_P=│OP│sinα；

　　　 x_R=│OR│cosα，y_R=│OR│sinα；

　　　 x=│OQ│cosα，y=│OQ│sinα；

　又│OP│·│OQ│=│OR│²，可得

　　 ①　 　②

　∵点P在直线l上，点R在椭圆上，

　∴，将(1)、(2)代 入，得

　=1.(其中x，y不同时为零).

　∴Q点的轨迹是以(1，1)为中心，长短半轴分别为和且长轴平行于x轴的椭圆(去掉坐标原点).

　例26　 已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点、焦 点在x轴正半轴上，若点A(-1，0)和点B(0，8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线的 方程.

　解法一：如图.

　由题意可设抛物线C的方程为y²=2px　 (p＞0)，且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，所 以可设l的方程y=kx　 (k≠0)①

　设A′、B′分别是A、B关于l的对称点，则有，

　A′A⊥l，直线AA′的方程为

　　　　　 y=-(x+1).②

　由①、②联立得AA′与l的交点M的坐标为(-，-).

　由M为AA′的中点，得点A′的坐标为，

　　　 x_A′=2(-)+1=，

　y_A′=2()+0=-③

　同理可得点B的坐标为(，).

　∵A′、B′均在抛物线y²=2px　 (R＞0)上，

　∴(-)²=2p·，知k≠±1 ，p=.

　同理()²=2p·，得p=.

　∴，

　整理得k²-k-1=0.

　解得k₁=，k₂=.

　但当k=时， =-＜0，与A′在抛物线y²=2px上矛盾，故舍去.

　把k=代入p=.

　∴直线方程为y=x，抛物线方程为y²=x.

　解法二：设点A、B关于直线l的对称点A′(x₁，y₁)、B′(x₂，y₂)，则有

　│OA′│=│OA│=1，│OB′│=│OB│=8

　设x轴正向到OB′的转角为α，则有

　　　 x₂=8cosα，y₂=8sinα 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

　∵A′，B′是A，B关于直线l的对称点，

　又∠BOA是直角，

　∴∠B′OA′为直角，得

　x₁=cos(α-)=sin α，y₁=sin(α-)=-cosα　　　　　　　　　 　②

　由题意知，x₁＞0，x₂＞0，故α为第一象限角.

　∵A′，B′都在抛物线y²=2px上，

　∴cos²α=2p·sinα，64sin²α=2p· cosα

　∴8sin³α=cos³α，得2sinα=c osα

　解得sinα=，cosα=.

　代入cos²α=2psinα，得p=.

　∴抛物线方程为y²=x.

　∵直线l平分∠BOB′，

　∴l的斜率k=tg(α+(-α))=tg(+)

　=.

　∴　 直线l的方程为y=x.

　例27　 在面积为1的△PMN中，tgM=，tgN=-2，建立适当的坐标系，求出M、N为焦点且过点P的椭圆方 程.

　解：如图

　以MN所在直线为x轴，以线段MN的垂直平分线为y轴建立坐标系.

　设以M、N为焦点且过P点的椭圆的方程为

　=1　 (a＞b＞0)

　点M、N的坐标分别为(-c,0)、(c,0).

　由tgM=，tg∠PNx=tg(π-∠MNP)=2，得

　直线PM和直线PN的方程分别为

　y= (x+c),y=2(x-c).

　将两方程联立得，即P(c,c).

　已知△MNP的面积为1，

　∴1=｜MN｜·y_P=·2c·c=c²，

　得c=，P(，).

　∵｜PM｜=

　=，

　｜PN｜=

　=，

　∴2a=｜PM｜+｜PN｜=,a=，

　　 b²=a²-c²=()²-()²=3 .

　∴=1为所求椭圆方程.

　例28　 自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直 线与圆x²+y²-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程。

　解　 设反射光线为L′

　由于　 L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，

　于是　 L′过A(-3，-3)。

　设L′的斜率为k，则L′的方程为

　y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，

　已知圆方程即(x-2)²+(y-2)²＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1

　因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1

　即

　整理得12k²-25k+12＝0

　解得k＝或k＝

　L′的方程为y+3＝ (x+3);或y+3＝ (x+3)。

　即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0

　因L和L′关于x轴对称

　故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0。

　例29　 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求椭圆的方程.

　解：设所求椭圆的方程为=1.

　依题意知，点P、Q的坐标满足方程组：

　　　　

　将②代入①，整理得

　　　　　　 (a²+b²)x²+2a²x+a²(1-b²)=0，　　　 　　　　　　　　　　　③

　设方程③的两个根分别为x₁、x₂，则直线y=x+1和椭圆的交点为，

　P(x₁,x₁+1)，Q(x₂,x₂+1)

　由题设OP⊥OQ，｜OP｜=，可得

　

　整理得

　

　解这个方程组，得

　或

　根据根与系数的关系，由(3)式得

　(Ⅰ)　 或　 (Ⅱ)

　解方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)得

　　 或

　故所求椭圆方程为

　=1，或=1.

　例30　 如图所示，给出定点A(a,0)(a＞0)和直线l∶x＝-1，B是直线l上的动 点，∠BOA的角平分线交AB于C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示曲线类型与a值的关系。

　本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识以及求动点轨迹的基本技能和综合 运用数学知识解决问题的能力。

　解法一　 依题意，记B(-1，b)(b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y＝0和y＝-bx。

　设点C(x,y)，则有0≤x＜a，则OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等，根据点到直线的距 离公式得

　　　　　　　　　 ｜y｜＝　　 　　　　　　　　　　　　　　①

　依题设，点C在直线AB上，故有

　　　　　　　　　 y＝- (x-a)

　由x-a≠0得b＝-　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

　将②式代入①式得

　y²［1+］＝［y-］²

　整理得　 y²［(1-a)x²-2ax+(1+a)y²］＝0

　若y≠0,则(1-a)x²-2ax+(1+a)y²＝0(0＜x＜a＝；

　若y=0，则b＝0,∠AOB＝π，点C的坐标为(0，0)，满足上式，

　综上得点C的轨迹方程为

　(1-a)x²-2ax+(1+a)y²＝0(0≤x＜a)。

　(Ⅰ)当a＝1时，轨迹方程化为y＝x(0≤x＜1);　　　　　　　　　 ③

　此时，方程③表示抛物线孤段；

　(Ⅱ)当a≠1时，轨迹方程化为

　＝1(0≤x＜a)。　　　　　　　　　　　　　 ④

　所以，当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段。

　当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段。

　解法二　 如图所示，设D是I与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足。

　(Ⅰ)当｜BD｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x＜a,y≠0。

　由CE∥BD得

　｜BD｜＝(1+a)

　因　 ∠COA＝∠COB＝∠COD-∠BOD

　则　 2∠COA＝π-∠BOD,

　tg(2∠COA)＝,tg(π-∠BOD)＝-tg∠BOD

　又因　 tg∠COA＝,tg∠BOD＝ (1+a)。

　故　 　(1+a)。

　整理得　 (1-a)x²-2ax+(1+a)y²＝0　 (0≤x＜a)。

　(Ⅱ)当｜BD｜＝0时，∠BOA＝π，则点C的坐标为(0，0)，满足上式。

　综合(Ⅰ)，(Ⅱ)，得点C的轨迹方程为

　(1-a)x²-2ax+(1+a)y²＝0(0≤x＜a＝。

　例31　 已知点P在直线x=2上移动，直线l通过原点且OP垂直 ，过点A(1，0)和点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程，并指出该轨迹的名称和它 的焦点坐标.

　解：设点P的坐标为(2，y₁)，则直线OP的斜率

　k_OP=.

　∵l⊥直线OP.

　∴直线l的斜率k₁满足k_OP·k₁=-1，即·k₁=-1，得k ₁=-.

　又直线l过原点，所以l的方程为y=-x.

　∵直线m过点A(1，0)，P(2，y₁).

　∴m的方程为y₁x-y-y₁=0

　由l的方程得y₁=-代入m的方程得--y+=0，即2x²+y²-2x=0.

　显然点Q与点A(1，0)不重合，故x≠1.

　又2x²+y²-2x=0可化为

　　　 =1　 (x≠1)，

　∴Q点的轨迹是挖去点(1，0)的椭圆，该椭圆的焦点坐标是(，)和(，-).

[同步达纲练习]

(七)坐标轴的平移，利用坐标的平移化简圆锥曲线方程

　说明坐标轴的平移变换是化简曲线方程的一种重要方法.掌握平移坐标轴的关键在于正确理解新旧坐标系之间的关系.同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标，同一 条曲线在不同的坐标中有不同的方程.

　例7　 方程x²+4y²+6x-8y+1=0的对称中心是(　　 )

　A.(-3，-1)　　　　　　　　　　　　 B.(-3，1)

　C.(3，-1)　　　　　 　　　　　　　　D.(3，1)

　解：　 将原方程配方后化为=1，∴ 对称中心是(-3，1).故选B.

　例8　 求椭圆9x²+4y²-36x+8y+4=0的焦点坐标、长轴与短轴的长、离心率 及准线方程.

　解：　 将原方程配方后化成

　=1.

　令.得到新方程为＝1.

　∴a=3,b=2,c==.

　即长轴长2a=6，短轴长2b=4，离心率e＝＝.在新坐标系中，焦点为(0，)，(0，-)，

　准线为y′＝±＝±

　由平移公式，得在原坐标系中

　焦点为：(2，-3)、(2，--3)，

　准线为：y=±-3.

(六)抛物线及其标准方程，焦点、准线、抛物线的几何性质：范围、对称 性、顶点、离心率，抛物线的画法

　说明　 这部分内容要注意与初中讲的抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的关系，以 及抛物线与双曲线一支的区别，y=ax²+bx+c的对称轴平行于y轴(或就是y轴)，双曲线有渐 近线，抛物线无渐近线.

　例6　 如图，过抛物线y²=4x的顶点O作任意两条互 相垂直的弦OM、ON，求(1)MN与x轴交点的坐标；(2)求MN中点的轨迹方程。

　解　 (1)设点M的坐标为(m,2),点N的坐标为(n,-2)，

　由已知，OM²+ON²＝MN²，则　 m²+4m+n²+4n=(m-n)²+(2+2)²，mn＝16。

　直线MN:

　当y=0时，x=＝4

　所以　 MN与x轴交点的坐标为(4，0)。

　(2)又因设弦MN的中点为P(x,y),

　

　y²＝m+n-2=2x-8

　故　 弦MN的中点轨迹为y²=2x-8

(五)双曲线及其标准方程，焦点、焦距，双曲线的几何性质：范围、对称 性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线，双曲线的画法，等边双曲线

　说明　 根据已知条件会求双曲线的标准方程，以及双曲线的有关元素.这里与椭圆不同的是实轴、虚轴和渐近线.

　例5　 已知双曲线＝1(＜θ＜π)过点

　A(4，4).

　(1)求实轴、虚轴的长；

　(2)求离心率；

　(3)求顶点坐标；

　(4)求点A的焦半径.

　解：　 因为双曲线过点A(4，4)，所以

　＝1，tg²θ+tgθ-2＝0 ，tgθ＝-2，(tgθ=1舍去，因为＜θ＜π)

　∴双曲线方程为-＝1.

　从而a=2,b=4,c=2.

　(1)实轴长2a=4，虚轴长2b＝8.

　(2)离心率e＝＝.

　(3)顶点为(0，2)，(0，-2).

　(4)焦点F₁(0，-2)，F₂(0，2).

　｜AF₁｜＝

　　　　 　＝2(+1)，

　｜AF₂｜＝

　　　　 　＝2(-1).

(四)椭圆及其标准方程，焦点、焦距，椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长袖、短轴、离心率、准线，椭圆的画法

　说明　 天体的运行轨道基本都是椭圆，所以掌握椭圆的基本概念是很有必要的.考试说明中明确要求，要会求椭圆的标准方程和椭圆的有关元素.

　例4　 椭圆的中点在原点，焦点在x轴上，椭圆的离心率e=,椭圆各点到直线x-y++=0的最短距离为1，求此椭圆的方程 。

　解　 因为e==，所以a=2b.

　设　 M(2bcosθ，bsinθ)为椭圆上任一点，则M到直线x-y++＝0的 距离为

　d=.

　而d的最小值为1。＝1，则b＝1，故所求椭圆方程为+y²＝1.

(三)圆的标准方程和一般方程

　说明　 求圆的方程主要是求出其圆心与半径.还要掌握一般方程与标准方程 的互化，以及圆与其他曲线之间的关系，特别是圆与直线之间的关系.

　例3　 圆A：(x+1)²+(y+1)²=1，

　圆B：(x-1)²+(y-1)²=4，则有两圆的公切线有(　　 )

　A.1条　　　 B.2条　　　 C.3条　　　 D.4条

　解：　 要判断两圆公切线的条数，只需要判断出此两圆的位置关系，而不必求出其切线方程 .∵A圆圆心是C₁(-1,-1)，B圆圆心是C₂(1，1)，∴｜C₁C₂｜＝2，r₁＝1，r₂＝2.

　r₁+r₂＞｜C₁C₂｜即圆A与圆B相离，则此两圆有4条公切线.故选D.

(二)充要条件

　说明　 充分条件、必要条件、充要条件是高考考查的重要内容.要掌握好这几种条件，关键在于要对命题之间的关系很清楚.

　例2　 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的(　　 )

　A.一条直线不相交　　　　　　　 B.两条直线不相交

　C.任意一条直线都不相交　　　　 D.无数条直线不相交

　解：把“直线与平面平行”作为甲命题，在四个选项中选出一个是甲命题的充要条件的命题 。因为直线与平面平行的定义是直线与平面无交点，而A、B、D三个选项都 不能保证此条件，只有C能保证，故选C

(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点

　说明　 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.

　例1　 如果实数x、y满足等式(x-2)²+y²＝3，求y/x的最大值.

　解：　 此题有多种解法，但用待定参数，转化为求曲线的交点问题可使解题过程更为简捷.

　设＝k，则y=kx.要使k的值最大，只须直线y＝kx在第一象限与圆相切 ，而圆心(2，0)到直线y=kx的距离为.

　，解得k＝(-舍去).