2．若f[g(x)] = 9x+3，且g(x) = 3x+1，则f(x)的解析式为　　　　　　　　　 (　 )

　 A．3x　　 B．3　　 C．9(3x+1) +1　　 D．3(9x+3) +1

1．函数的定义域为　　　　　　　　　　　　　　　 　　(　 )

A．[0， ]　　 B．[0，3]　　 C．[-3，0]　　 D．(0，3)

2．求函数的定义域，主要涉及以下几个方面：

　　　 ①分式的分母不为零；②对数函数的真数都必须大于零，底数必须大于零且不为1；③偶次方根的被开方数非负；④零次幂的底数不为零，等．

　　　 对于实际问题，还应注意变量的实际意义或物理意义．

　　　 复合函数的定义域是使各部分都有意义的自变量取值范围的交集．

[训练反馈]

1．求函数的解析式的方法通常有待定系数法、配方法、换元法，有时还要用到方程的思想．

0.1x-125=75，

　　　 解得　 x=2000．

　　　 答：该职员的该月工资、薪金收入为2000元．

　　　 点评　 (1)函数的表示法有：解析法、列表法、图象法；而解析式中包含一类重要的函数--分段函数：对应于自变量x的不同取值范围，对应关系也不同．分段函数不管x被分成了几段，它仍是一个函数，而不是几个函数，它由几个部分构成了一个函数；

(2)写函数解析式时，不要忘了写上函数的定义域；对于实际问题，还不要忘了问题的实际意义．

变题　 在原题的条件下，若设某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( D )

　　　 A．500~600元　　 B．900~1200元　 C．1200~1500元　 D．1500~1800元

例4　 (1)设f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+3，求f(x)．

　　　 (2)设，求f(x+1)．

　　　 (3)若f(x)满足f(x)+2f()=x，求f(x)．

　　　 分析　 (1)已知了函数f(x)的类型，可采用待定系数法；

(2)视()为整体，采用换元法或配方法可求得f(x)的解析式，再用(x+1)整体代换f(x)中的x，即可求出f(x+1)的解析式；

(3)注意到x 与互为倒数，可通过倒数代换联立方程组解出f(x)．

　　　 解　 (1)设f(x)=ax+b(a≠0)，则f[f(x)]=af(x)+b=a (ax+b)+b=a²x+ab+b，

　　　 ∴ 或，∴ f(x)=2x+1或f(x)= -2x-3．

　　　 (2)解法一　 ∵ ，∴ f(x)=x²-1 (x≥1)，

∴ f(x+1)= (x+1)²-1 = x²+2x (x≥0)．

解法二　 令t=，则= t-1，∴f(t)= (t-1)²+2(t-1)= t²-1．

又t=≥1，∴ f(x)=x²-1 (x≥1)，从而f(x+1)= x²+2x (x≥0)．

(3)在f(x)+2f()=x ①中，用代换x得 f()+2 f(x)= 　②，

联立①、②解得　．

点评　 (1)正确理解函数的概念，是求抽象函数解析式的关键；

(2)求抽象函数的解析式常用配凑法(如题(2)的解法一)、换元法(如题(2)的解法二)、待定系数法(如题(1)的解答)以及取倒相消法(如题(3)的解答)等；

(3)在用换元法或配凑法求解析式时，应注意中间变量的取值范围，以确定函数f(x)的定义域．在题(2)中，由f(x)的定义域是{x∣x≥1}，则在f(x+1)中必须x+1≥1，即x≥0，从而f(x+1)的定义域是{x∣x≥0}．

　　　 变题　 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立：

　　　 (1)f(x+5)≥f(x)+5；

(2)f(x+1)≤f(x)+1．

若g(x)=f(x)+1-x，求g(6)的值．

提示：反复利用条件(2)，有

f(x+5) ≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5，(★)

结合条件(1)得　 f(x+5)=f(x)+5．

于是，由(★)，可得　 f(x+1) = f(x)+1．

　　　 故　 g(6)=f(6)+1-6= [f(1)+5 ]-5=1．

　　　 注意：数列{f(n)}(n∈N*)构成公差是1的等差数列．

[知能集成]

5．已知函数f(x) = lg的定义域为A，函数g(x)=lg(1+x) – lg(1-x)的定义域为B，则下述关于A、B关系不正确的为　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　　 A．AÊB　　 B．A∪B=B　　 C．A∩B=B　　 D．B(≠A

[讲练平台]

例1　 求函数的定义域．

分析　 根据有关条件列出不等式组，再求出不等式组的解集即为所求函数的定义域．

解　 由函数解析式有意义，得

　　　 Þ0＜x＜1或1＜x≤2，或x≥3．

故函数的定义域是．

　　　 点评　 (1)求以解析式给出的函数定义域时，应遵循以下几条原则：①分式的分母不为零；②偶次根号下被开方数非负；③在a°中底数a≠0；④若f(x)是由几个部分构成的，则应采用交集法；⑤实际问题结合变量的实际意义来确定，等等；

(2)求不等式组的解集，通常借助数轴的直观性；

(3)函数的定义域一般应用集合或区间形式表示，在用区间表示时，要弄清区间端点的归属，正确使用开区间和闭区间符号，需特别注意的是，“∞”不是一个确定的数，而是一个变化趋势，只能用开区间；

(4)必须把所有的限制条件都列出来，特别是在中，x-1≠0，不能遗漏．

　　　 例2　 若函数　y=lg(x²+ax+1)的定义域为R，求实数a的取值范围．

分析　 由函数　y=lg(x²+ax+1)的定义域为R知：x²+ax+1＞0对x∈R恒成立，而f(x)= x²+ax+1为二次函数，函数值恒正，故可利用“△”法求解．

解　 因函数　y=lg(x²+ax+1)的定义域为R，故x²+ax+1＞0对x∈R恒成立，而f(x)= x²+ax+1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a²-4＜0，解得 -2＜a＜2，它便是所求的a的取值范围．

点评　　　 (1)“△”法可判断一元二次函数值恒正、恒负或非正、非负；

(2)必须注意所用△的值是大于零、小于零、还是不大于零、不小于零．如下面的问题：关于x的不等式x²+ax+1＜0的解集为，试求实数a的取值范围．问题便等价于x²+ax+1≥0的解集为R，从而有△≤0，解得 –2≤a≤2．

变题1　 已知函数　y=lg(x²+ax+1)的值域为R，求a的取值范围．

提示：利用△≥0Þ a≥2或a≤-2．

变题2　 已知函数　y=lg(ax²+ax+1)的定义域为R，求a的取值范围．

提示：分a＞0与a=0的两种情况求解，其答案为0≤a＜4．

思考：变题1、变题2及原题，它们的区别何在？

例3　 《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表：

个人所得税税率表一(工资、薪金所得适用)

表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去1000元后的余额．例如某人月工资、薪金收入1220元，减除1000元，应纳税所得额就是220元，应缴纳个人所得税11元．

(1)请写出月工资、薪金的个人所得y关于收入额x(0＜x≤3000)的函数表达式；

(2)一公司职员某月缴纳个人所得税75元，问他该月工资、薪金的收入多少？

　　　 分析　 先读懂题意，正确理解“全月应纳税所得额”等的意义，然后利用分段函数法列出个人所得y关于收入额x的函数关系式，利用该关系式继续求解其它的问题．

解　 (1)当0＜x≤1000时，y=x；

当1000＜x≤1500时，扣税： (x-1000) ·5%，从而所得为

y=x- (x-1000) ·5% = 0.95x+50；

当1500＜x≤3000时，扣税： (x-1500)·10%+500 ·5% = 0.1x-125，从而所得为

y= x-(0.1x-125) =0.9x+125．

　　　 故 y =

　　　 (2)显然，该职员的工资、薪金x满足1500＜x≤3000，故由

4．若f(x-1)=2x+5，则f(x²) =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　 A．2x²+3 　　B．2x²+7　　 C．+3　　 D．+7

3．已知函数f(x) = 当f(x) = 33时，x = 　　　　．

2．下列函数：①y=2x+5；②y= ；③y= ；④y =

其中定义域为R的函数共有m个，则m的值为　　　　　　　　　　　 (　 )

　　 　　 A．1　 B．2　 　C．3　　 D．4

1．已知，则f{f[f(-1)]}= 　　　　　．