5. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：

而一旦植完，则不会被沙化.

问：(1)每年沙化的亩数为多少？

　 (2)到那一年可绿化完全部荒沙地？

4.　 设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为

(A) 2002　　　　　 (B) 2004　　　　　　 (C) 2006　　　　　　　　 (D) 2008

3.　2003年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M在杀死＂禽流感＂病毒N的同时能够自身复制．已知1个细菌M可以杀死1个病毒N，并且生成2个细菌M，那么1个细菌M和2048个＂禽流感＂病毒N最多可生成细菌M的数值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

(A)1024　　　　　 (B)2048　　　 (C) 2049　　　 (D)无法确定

2.　 若等比数列的各项均为正数，前项之和为，前项之积为，前项倒数之和为，则　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

(A)=　　　 (B)＞　　　 　(C)　 (D)＞

10. (1)假设有两个不同的点(，)，(，)对应同一函数，即与相同，

即 对一切实数x均成立。

特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与(a，b)，(c，d)是两个不同点矛盾，假设不成立.

故不存在两个不同点对应同函数。

(2)当时，可得常数a₀，b₀，使

。

由于为常数，设是常数.

从而。

(3)设，由此得

(，)

在映射F下，的原象是(m，n)，则M₁的原象是

消去t得，即在映射F下，M₁的原象是以原点为圆心，为半径的圆．

第二讲　　　　　 数列

陕西特级教师 　　　安振平

l　　　　 高考风向标

数列的概念．等差数列及其通项公式、前n项和公式；等比数列及其通项公式、前n项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场．

l　　　　 典型题选讲

例1　若数列{a_n}满足若，则的值为　　　　 (　 )

A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

　　　 讲解　逐步计算，可得

,

这说明数列{a_n}是周期数列，而, 所以．应选B．

　　　 点评　分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．

例2　在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列，则a_m, a_m+2, a_m+1成等差数列.

　 (1)写出这个命题的逆命题；

(2)判断逆命题是否为真，并给出证明.

讲解　(1)逆命题：在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若a_m, a_m+2, a_m+1成等差数列，则 S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列.

　 (2)设{a_n}的首项为a₁，公比为q

　　　　 由已知得2a_m+2= a_m + a_m+1　　　 ∴2a₁q^m+1=a₁+a₁q^m

　　　　 ∵a₁≠0　 q≠0 ,

∴2q²－q－1=0 ,

　 ∴q=1或q=－.

当q=1时，

∵S_m=ma₁， S_m+2= (m+2)a₁，S_m+1= (m+1)a₁，

∴S_m+S_m+1≠2 S_m+2,

　 ∴S_m，S_m+2，S_m+1不成等差数列.

当q=－时,

2 S_m+2=,

∴S_m+S_m+1=2 S_m+2 ,　　　　　　

∴S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列．

综上得：当公比q=1时，逆命题为假；

　　　　 当公比q≠1时，逆命题为真．

点评 对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题．

例3　设数列{a_n}前n的项和为 S_n，且其中m为常数，

　 (1)求证：{a_n}是等比数列；

　 (2)若数列{a_n}的公比满足q=f(m)且，为等差数列，并求．

讲解(1)由，得

两式相减，得

是等比数列．

点评　为了求数列的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．

例4　设数列的前n项和为S_n，若是首项为S₁各项均为正数且公比为q的等比数列.

　　 (1)求数列的通项公式(用S₁和q表示)；

　　 (2)试比较的大小，并证明你的结论.

　　　 讲解　(1)∵是各项均为正数的等比数列，

∴．

当n=1时，a₁=S₁；　

当．

∴

(2)当n=1时，

∴．

∵

①当q=1时，

②当

③当

综上以上，我们可知：当n=1时，．当

若　 若

点评　数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到与之间的关系式：

例5　已知数列满足>0，且对一切n∈N*，有，

(1) 求证：对一切n∈N*，有；

(2) 求数列的通项公式；

(3) 求证：．

讲解 　(1)　由　　　　　　 ①

得　　　　　　　　　 ②

②-①得　　=(S_n+1+S_n)(S_n+1-S_n)=(2 S_n+a_n+1) a_n+1

∵ a_n+1 >0，　

　∴ ．　

(2)　　　 由，得

　(n≥2)，

两式相减，得

(a_n+1+ a_n)( a_n+1 - a_n)= a_n+1+ a_n，

∵a_n+1+ a_n >0，

∴a_n+1 - a_n =1．(n≥2)

当n=1，2时易得，a₁=1，a₂=2，∴a_n+1 - a_n =1(n≥1) ．

从而{ a_n}是等差数列，其首项为a₁=1，公差d=1，故a_n=n ．

(3)　

　点评　关于数列不等式的证明，常用的技巧是放缩法，而放缩应特别注意其适度性，不可过大，也不可过小．

例6　 如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．

(1)设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通相公式；

(2)求粒子从原点运动到点时所需的时间；

(3)粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标．

讲解　(1) 由图形可设，当粒子从原点到达时，明显有

…　　　　　　　…　　　　　　　

　 ∴＝,

　　 .

,

．

,

,

即.　　　　　　　　　　　　　　　

(2)有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间 再加(44－16)＝28秒，所以秒．

(3)由2004，解得，取最大得n=44,

经计算，得＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点，再向左运行24秒所到达的点的坐标为(20，44)．

点评　从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．

例7　已知数列的前项和满足.

(1)写出数列的前三项；

(2)求数列的通项公式；

(3)证明：对任意的整数，有 .

讲解　(1)为了计算前三项的值，只要在递推式中，对取特殊值，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．

　由

由

由

(2)为了求出通项公式，应先消除条件式中的．事实上

当时，有

即有　

从而　

　 ……　

接下来，逐步迭代就有

经验证a₁也满足上式，故知

其实，将关系式和课本习题作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对的两边同除以，便得

　　　　　．

令就有

，

于是　　　　 ，

这说明数列是等比数列，公比　首项，从而，得

　　　，

即　　，

　　　 故有

(3)由通项公式得

当且n为奇数时，　

当为偶数时，

当为奇数时，为偶数，可以转化为上面的情景

故任意整数m>4，有

点评　本小题2004年全国(旧教材版)高考理科压轴试题．主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题有着相同的本质．而第3小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能．

l　　　　 针对性演练

1　某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意度为，则此人应选(　　 )

(A)　 1楼　　　　　　 (B) 2楼　　　　 (C)　 3楼　　　　　　 (D)　 4楼

9．(I)令，

依条件(3)可得f(0+0) ≥f(0)+f(0)，即f(0) ≤0.

又由条件(1)得f(0) ≥0，则f(0)=0.

(Ⅱ)任取，可知,

则,

即，故

于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1

因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，

(Ⅲ)证明：

研究①当时，f(x) ≤1<2x

②当时，

首先，f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴.

显然，当时，

成立.

假设当时，有成立，其中k＝1，2，…

那么当时，

可知对于，总有，其中n=1，2，…

而对于任意，存在正整数n，使得，

此时,

③当x=0时，f(0)=0≤2x..

综上可知，满足条件的函数f(x)，对x∈[0，1]，总有f(x) ≤2x成立.

7．450．8．略．

1．D．2．D．3．C．4．A．5．D．6．，，　()．

10. 设、为常数，：把平面上任意一点

　(，)映射为函数

　 (1)证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；

　 (2)证明：当时，，这里t为常数；

　 (3)对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M₁作为象，求其原象，并说明它是什么图象？

答案：

9．已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：

(1)对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；

(2)f(1)=1

(3)若，，，则有

(Ⅰ)试求f(0)的值；

(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值；

(Ⅲ)试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有f(x)≤2x..