20．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于，连结，已知动点运动了秒．

(1)点的坐标为(　　　　　　 ，　　　　　　　 )(用含的代数式表示)；

(2)试求面积的表达式，并求出面积的最大值及相应的值；

(3)当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由．

解：(1)由题意可知，，，

点坐标为．

(2)设的面积为，在中，，边上的高为，其中．

．

的最大值为，此时．

(3)延长交于，则有．

①若，

．

，

．

②若，则，

．　

③若，则．

，

在中，．

，．　

综上所述，，或，或．

19．如图，在中，，点，在直线上运动，设，．

(1)如果，，试确定与之间的函数关系式；

(2)如果的度数为，的度数为，当满足怎样的关系式时，(1)中与之间的函数关系式还成立，试说明理由．

　解：(1)在中，，

　，

　　 ．

　又，

　．

　又，

　．

　．

　．

　即，所以．

　(2)当满足关系式时，函数关系式仍然成立．

　此时，．

　又，

　．

　又仍然成立．

　从而(1)中函数关系式成立．

18．如图，边长为1的等边三角形OAB的顶点O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，动点D在线段OA上移动(不与O，A重合)，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥OB，垂足为F。点M，N，P，Q分别是线段BE，ED，DF，FB的中点。连接MN，NP，PQ，QM。记OD的长为t .

(1) 当时，分别求出点D和点E的坐标；

(2) 当时，求直线DE的函数表达式；

(3)如果记四边形MNPQ的面积为S，那么请写出面积S与变量t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，是否存在s的最大值？若存在，求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由。

17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B(5，0)，M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60°．

(1)求直线CB的解析式：

(2)求点M的坐标；

(3)∠DMC绕点M顺时针旋转α(30°<α<60°)后，得到∠D₁MC₁(点D₁，C₁依次与点D，C对应)，射线MD₁交直线DC于点E，射线MC₁交直线CB于点F，设DE=m，BF=n．

求m与n的函数关系式．

解：(1)过点C作CA⊥OB，垂足为A．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠CBO=60°，

0D=BC=2，∴CA=BC·sin∠CBO=, BA=BC·cos∠CBO=1．

∴点C的坐标为(4，)．

设直线CB的解析式为y=kx+b，由B(5，0)，C(4，)，

得　　　 解得

∴直线CB的解析式为y=-x+5．

(2)∵∠CBM+∠2+∠3=180°，∠DMC+∠1+∠2=180°，∠CBM=∠DMC=∠DOB=60°

∴∠2+∠3=∠1+∠2,∴∠1=∠3．

∴△ODM∽△BMC．

∴OD·BC=BM·OM．

∵B点为(5，0)，∴OB=5．

设OM=x，则BM=5-x．

∵OD=BC=2，∴2×2=x(5-x)．

解得x₁=1，x₂=4．

∴M点坐标为(1，0)或(4，0)．

(3)(I)当M点坐标为(1，0)时，

如图①，OM=1，BM=4．

∵DC∥OB，∴∠MDE=∠DMO．

又∠DMO=∠MCB,∴∠MDE=∠MCB．

∵∠DME=∠CMF=a,∴△DME∽△CMF.

∴CF=2DE．

∵CF=2+n，DE=m，

∴2+n=2m，即m=1+(0<n<4)．

(Ⅱ)当M点坐标为(4，0)时，如图②．

OM=4,BM=1.

同理可得△DME∽△CMF，

∴DE=2CF.

∵CF=2-n，DE=m，∴m=2(2-n)，即m=4-2n(<n<1)．

16．已知抛物线y=ax²+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．

(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；

(2)画出抛物线y=ax²+bx+c当x<0时的图象；

(3)利用抛物线y=ax²+bx+c,写出x为何值时，y>0．

解：(1)由图象，可知A(0,2)，B(4,0)，C(5,-3)，

得方程组　　 解得

∴抛物线的解析式为

顶点坐标为

(2)所画图如图．

(3)由图象可知，当-1<x<4时，y>0．

15.直线分别与轴、轴交于B、A两点．

⑴求B、A两点的坐标；

⑵把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平

面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD

求D点的坐标．

解：如图(1)令x=0，由 得　 y=1

令y=0，由 得　　　

∴B点的坐标为(，0)，A点的坐标为(0，1)

(2)由(1)知OB=，OA=1

∴tan∠OBA==　　　　 ∴∠OBA=30°

∵△ABC和△ABO关于AB成轴对称

∴BC=BO=，∠CBA=∠OBA=30°　 ∴　 ∠CBO=60°

过点C作CM⊥x轴于M，则在Rt△BCM中

CM=BC×sin∠CBO=×sin60°=

BM=BC×cos∠CBO=×cos60°=∴OM=OB－BM=－=

∴C点坐标为(，)

连结OC

∵OB=CB，∠CBO=60°

∴△BOC为等边三角形　

过点C作CE∥x轴，并截取CE=BC则∠BCE=60°

连结BE则△BCE为等边三角形．

作EF⊥x轴于F，则EF= CM=，BF=BM=

OF=OB+BF=+=

∴点E坐标为(，)　

∴D点的坐标为(0，0)或(，)

14.已知抛物线y=x²-4x+1.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线.

⑴求平移后的抛物线解析式;

⑵若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m的取值范围;

⑶若将已知的抛物线解析式改为y=ax²+bx+c(a＞0，b＜0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移 -个单位长度，试探索问题⑵．

(1)解：

配方，得，

向左平移4个单位，得　

∴平移后得抛物线的解析式为　

(2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(－2，－3)　

解，得　　　

∴两抛物线的交点为(0，1)　　　　　　

由图象知，若直线y＝m与两条抛物线有且只有四个交点时，

m＞－3且m≠1　　　　　　　　　　　　

(3)由配方得，　

向左平移个单位长度得到抛物线的解析式为

∴两抛物线的顶点坐标分别为，　

解　得，　

∴两抛物线的交点为(0，c)　　　　　　　　

由图象知满足(2)中条件的m的取值范围是：

m＞且m≠c　　　　　　　　　

13．如图，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.

(1)当A′E//轴时，求点A′和E的坐标；

(2)当A′E//轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与轴的交点的坐标；

(3)当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.

解：(1)由已知可得∠A^，OE=60^o　 , A^，E=AE

由A′E//轴,得△OA^，E是直角三角形，

设A^，的坐标为(0，b)

AE=A^，E=,OE=2b

所以b=1，A^，、E的坐标分别是(0，1)与(，1)

(2)因为A^，、E在抛物线上，所以

所以，函数关系式为

由得

与x轴的两个交点坐标分别是(，0)与(，0)

(3)不可能使△A′EF成为直角三角形.

∵∠FA^，E=∠FAE=60^o,若△A′EF成为直角三角形,只能是∠A^，EF=90^o或∠A^，FE=90^o

若∠A^，EF=90^o,利用对称性,则∠AEF=90^o, A^，、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾；

同理若∠A^，FE=90^o也不可能

所以不能使△A′EF成为直角三角形.

12．抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是(　 A　 )

A．(1，1)　　　　 B．(-1，1)　　　　 C．(-1，-1)　　　　 D．(1，-1)

11．已知：抛物线(m>0)与y轴交于点C，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点.

(1)求C点、C′点的坐标(可用含m的代数式表示)

(2)如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P点的坐标(可用含m的代数式表示)

(3)在(2)的条件下，求出平行四边形的周长.