25．(1)90⁰+α　　 … 2’　　　 α　　 … 2’

(2)分类 i)∠BAC=90⁰，推出△ABC为等腰直角三角形　 … 1’　 ∴AC=AB=1　 … 1’

　　　　 ii)∠ABC=90⁰，推出Rt△ABC中，∠BAC=60⁰，∠ACB=30⁰ … 1’　 AC=2AB=2 … 1’

　　　　　　 iii)∠ACB=90⁰，推出Rt△ABC中，∠BAC=60⁰，∠ABC=30⁰，… 1’ AC= AB=… 1’

(3)写出：△EIF　　 … 1’，　　 △ECB　　 … 1’，　　 △ACF　　 … 1’

　　 证明其中一个三角形与△AIB相似　　　 … 1’　

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24．(1)解得a₁=1，a₂=3，… 1’　 OE=1，OF=3 … 1’　 得M(1，6)，N(3，2)… 1’

　　　　 得直线MN解析式　　　　 … 1’　

　 (2)说明DNFH、DMEG、DMKH为平行四边形 … 1’　 S_DMEG=ME·OE==6 … 1’　

S_DNFH= NF·OF==6　　 … 1’　　 ∴S_MNFK=S_HKEG … 1’　

　 (3)①几何法：OE=m，OF=n，EF=n-m， ME=，NF=， … 1’　

设FC=a，∵△CNF∽△CME　 ∴ 　，即，得a=m … 2’　　

再证△EGO≌△CNF，EG=MD，得MD =CN … 1’　

或②代数法：设直线MN为y=kx+b，　　 得 … 1’　

得D(0，)　 C(m+n，0)… 1’　

DM=　 ，CN=　 … 1’　 ∴DM=CN　 … 1’　

23．解：作PD⊥AM于D　　　 … 1’　 延长DP交AN于E　 … 1’

∵BP=CP，BC=6，得BD=CD=3　　 … 1’　

∵BP=5，由勾股定理得PD=4　　　 … 1’

由AM坡度1∶1得∠A=45⁰　　　　 … 1’　

∵∠ADE=90⁰，∴△ADE为等腰直角三角形　　　　　　 … 1’　

∵AD=AB+BD=6，由勾股或三角比得AE=6　　　　　　　　　 　　… 1’

∵DE= AD=6， PD=4， ∴PE=2　 … 1’　

∵△QPE中∠PQE=90⁰，∠E=45⁰， 可知△PQE为等腰直角三角形　　 … 1’　

由勾股或三角比得PQ=QE=　　 … 1’　　 ∴AQ=AE－QE=5　 　… 1’　

　　 ∴AQ=5m，PQ=m　　　　 … 1’

22．(1)证明△ACO≌△DFO时A、A、S：1’×3=3’,　

△ACO≌△DFO　　　　　　　 … 1’　　 OF=OC　 … 1’

　 (2)①作OG⊥AB，OH⊥DE，G、H分别为垂足　　　　 … 1’，

∵△ACO≌△DFO　 ∴OG=OH … 2’ ∴AB=DE　 … 2’

或②连结OB、OE　　　　　　　 …　 1’

证△OAB≌△ODE　　　　　 …　 2’ ∴AB=DE　 …　 2’

21．(1)设y=ax²+bx+c … 1’，代入A、B、C坐标得

解得　 得 … 1’

(2)BB₁=　 … 1’　　　 cos∠BB₁A₁=　 … 3’

20．(1)24　　　 … 1’，　　 0.32　　　 … 1’　　　　　　　　 (2)频率 … 3’　

(3)画0.32矩形　 … 3’(按(1)中错误答案画对给1’)　 (4)110 … 2’

19．(2x+ y)( 2x- y)=0　 …　 2’　 　　

解第一个方程组1’，解得 　

解第二个方程组1’，解得 　

7．2、3、5、7(对一个给1’，错一个倒扣1’，4’扣完为止)　　 8．2.3×10⁹ 9．　 10．5010　　 11．4　　 12．(3x-b)(2x-a)　　 13．x≥0，且x≠1　　 14．1(或x=1)　　 15．50　 16．100(1+x)²=200　　　 17．18　　　 18．

1．A　 2．D　 3．B　 4．D　 5．C　 6．B

25．如图1，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC。CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI。

(1)△ABC变化时，设∠BAC=2α。若用α表示∠BIC和∠E，那么∠BIC=_______，∠E =_______；

(2)若AB=1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长；

(3)如图2，延长AI交EC延长线于F。当△ABC形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与△ABI相似？写出这些三角形，并选其中之一证明。

上海市长宁区2009年初三中考数学模拟卷

答案与评分标准