3、(04河北)如图15-1和15-2，在20×20的等距网格(每格的宽和高均是1个单位长)中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.

(1)如图15-1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A₁B₁C₁的位置时，请你在网格中画出Rt△A₁B₁C₁关于直线QN成轴对称的图形；

(2)如图15-2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？

(3)在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？(说明：在(3)中，将视你解答方法的创新程度，给予1~4分的加分)

2、(北京08)已知等边三角形纸片的边长为，为边上的点，过点作交于点．于点，过点作于点，把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠，点分别落在点，，处．若点，，在矩形内或其边上，且互不重合，此时我们称(即图中阴影部分)为“重叠三角形”．

(1)若把三角形纸片放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形)，点恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积；

(2)实验探究：设的长为，若重叠三角形存在．试用含的代数式表示重叠三角形的面积，并写出的取值范围(直接写出结果，备用图供实验，探究使用)．

解：(1)重叠三角形的面积为　　　　 ；

(2)用含的代数式表示重叠三角形的面积为　　　 ；的取值范围为　　 ．

1、(08泉州)如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点F、A出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运动.

(1)请你在答题卡所附的的方格纸①中，画出1秒时的线段；

(2)如图②，在动点、运动的过程中，当为何值时，？

(3) 在动点、运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间；若不能，请说明理由.

解:过P作内公切线交AB于E,由切线长定理知EB=EP,EP=EA,即EB=EP=EA,根据定理(在一个三角形中,一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是直角三角形)知为直角三角形.

此题中AB为外公切线与两圆的切点,P为两圆切点.

我们习惯上把称为切点三角形.

在关于两圆外切关系的几何证明题中,运用切点三角形来分析问题,解决问题,可以收到事半功倍的效果,它的应用在两圆外切中尤为重要.

性质(4) 切点三角形是直角三角形.

例4(重庆市中考题)如图4, ⊙⊙外切于点P,内公切线PC与外公切线AB(A、B分别是⊙⊙上的切点)相交于点C,已知⊙⊙的半径分别为3、4,则PC的长等于________.

分析:由于AB为外公切线,由性质(2)知

又由性质(4)知为直角在三角形且CP=CB=AC,故CP为斜边AB上的中线,因此

例5.如图5, ⊙⊙外切于点P,AB为两圆的外公切线,切点为A、B,连心线

⊙于C,交⊙于D,CA与DB的延长线相交于Q,求证:.

简析：连AP、BP,由上题知∠APB=Rt∠,又∠CAP=∠PBD=Rt∠,故由四边形内角和定理知∠Q=Rt∠,即

两圆外切关系的这些性质,在解题时要灵活的应用.在例4、例5中的切点三角形并不是现成有的,而是添线构造出来的,难度稍大些,因此脑子中对切点三角形这些性质必须有深刻的印象,才能举一反三,触类旁通.

如图1，半径为r、R的⊙⊙外切，外公切线AB分别切⊙⊙于A、B，那么AB就是外公切线长。连，由切线性质知

可证得四边形ABCD为矩形，得

，

因此，，

而在RtΔ

性质(2)　 外公切线长等于

7　　　　 两圆外切,经常添的辅助线是内公切线,因为内公切线可以产生两圆相等的弦切角,可将两圆的元素联系起来.

性质(3)　 添内公切线是解决两圆外切问题的金钥匙.

例2　 已知如图2, ⊙⊙外切于点C,PA切⊙于点A,交⊙于点P、D，直接PC交⊙于点B。

求证：AC平分∠BCD。

解：过C作⊙⊙的内公切线`MN交AP于M，所以∠MCD=∠P.

又PA切⊙于点A,

所以∠MAC=∠ACM,

所以∠ACB=∠P+∠MAC=∠MCD+∠MCA=∠DCA.

即AC平分∠BCD.

24]正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：

仿上面图示的方法，及韦达下列问题：

　操作设计：

　(1)如图(2)，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。

(2)如图(3)对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积的矩形。

答案：(1)　　　　

(2)略。

[25]如图，⊙O表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去.

(1)请你在⊙O中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹，不写作法).

(2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表.

(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？

答案：(1)由图知六边形各内角相等.

(2) 七边形是正七边形.

(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，…时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形.

[26]如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A₁B₁C₁D₁.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的，请说明理由(写出证明及计算过程).

答案：剪法是：当AA₁=BB₁=CC₁=DD₁=或时，

四边形A₁B₁C₁D₁为正方形，且S=.

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=DA=1，

∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

∵AA₁=BB₁=CC₁=DD₁，

∴A₁B=B₁C=C₁D=D₁A.

∴△D₁AA₁≌△A₁BB₁≌△B₁CC₁≌△C₁DD₁.

∴D₁A₁=A₁B₁=B₁C₁=C₁D₁，

∴∠AD₁A₁=∠BA₁B₁=∠CB₁C₁=∠DC₁D₁.

∴∠AA₁D+∠BA₁B₁=90°，即∠D₁A₁B₁=90°.

∴四边形A₁B₁C₁D₁为正方形.设AA₁=x，

则AD₁=1－x.

∵正方形A₁B₁C₁D₁的面积=，

∴S_△AA1D1=

即x(1－x)=，

整理得9x²－9x+2=0.

解得x₁=，x₂=.

当AA₁=时，AD₁=，

当AA₁=时，AD₁=.

∴当AA₁=BB₁=CC₁=DD₁=或时，

四边形A₁B₁C₁D₁仍为正方形且面积是原面积的.

22]电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。(不计切割损耗)

答案：可以切割出66个小正方形。　　　　　　　　　　　　　　　　　

方法一：

(1)我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 的圆内，如图中矩形ABCD。

∵AB＝1　　 BC＝10

∴对角线＝100+1＝101＜　　　　　　　　　　　　　　　 　

(2)我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形。

∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的长为9，高为3，对角线＜。但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为：

＞　　　　　　　　　　　　　　 　

(3)同理：＜

　　　　　 ＞

　　 ∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

(4)再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个。

∵＜

＞　　　　　　　　　　　　　　 　

(5)在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个。

∵＜

＞

现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm 的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。

∴10+2×9+2×8+2×7+2×4＝66(个)　　　　　　　　　　　　 　

方法二：

学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。

可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后：

(1)上下再加一层，每层8个，现在共有6层。

(2)在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层。

(3)最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层。

这样共有：4×9+2×8+2×6+2×1＝66(个)

[23]在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一)，张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二)，请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？

答案：(方案一)

　　　 (方案二)

设BE=x，则CE=12-x　

由AECF是菱形，则AE²=CE²

比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大.

21]用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.

　(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.

(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.

答案：(1)如图

(2)由题可知AB＝CD＝AE，又BC＝BE＝AB+AE

∴BC＝2AB，　即

由题意知　是方程的两根

∴　

消去a，得　　　

解得　或

经检验：由于当，，知不符合题意，舍去.

符合题意.

∴　　　　　

答：原矩形纸片的面积为8cm².　

19]将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G(如图).

(1)如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；

(2)如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.

答案：(1)先求出DE=，，后证之.

(2)注意到△DEM∽△CMG，求出△CMG的周长等于4a，从而它与点M在CD边上的位置无关.