题目列表(包括答案和解析)
3.如图,P是四边形ABCD的DC边上的一个动点,当四边形
ABCD满足条件: 时,△PBA的面积始终保持不变。(注:
只需填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)。
2.(乌鲁木齐中考题)已知:AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交于E,若使CB=BD,则还需要添加什么条件___________(填出一个即可)。
1.条件开放与探索
给出问题的结论,让解题者分析探索使结论成立应具备的条件,而满足结论的条件往往不惟一,这样的问题是条件开放性问题。它要求解题者善于从问题的结论出发,逆向追索,多途寻因。
[例1] 已知△ABC内接于⊙O,
⑴当点O与AB有怎样的位置关系时,∠ACB是直角?
⑵在满足⑴的条件下,过点C作直线交AB于D,当CD与AB有什么样的关系时,△ABC∽△CBD∽△ACD?
⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形,使图形的CD=2cm。
[解析]:⑴要使∠ACB=90°,弦AB必须是直径,即O应是AB的中点;⑵当CD⊥AB时,结论成立;⑶由⑵知,即,可作直径AB为5的⊙O,在AB上取一点D,使AD=1,BD=4,过D作CD⊥AB交⊙O于C点,连结AC、BC,即得所求。
⑴当点O在AB上(即O为AB的中点)时,∠ACB是直角;
⑵∵∠ACB是直角,∴当CD⊥AB时,△ABC∽△CBD∽△ACD;
⑶作直径AB为5的⊙O,在AB上取一点D,使AD=1,BD=4,过D点作CD⊥AB交⊙O于C点,连结AC、BC,即为所求(如下图所示)。
[评注]:本题是一个简单的几何条件探索题,它突破了过去“假设--求证”的封闭式论证,而是给出问题的结论,逆求结论成立的条件,强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求。看似平常,实际上非常精彩。
[例2] (鄂州市中考题)如图,E、D是△ABC中BC边上的两点,AD=AE,要证明
△ABE≌△ACD,还应补充什么条件?
[解析]:这是一道条件开放题,解题关键是由AD=AE,可
以得出∠1=∠2,这样要证明三角形全等就已经具备了两个条
件。在△ABE和△ACD中只需要再有一个条件,即可证明
△ABE≌△ACD。于是可补充以下条件之一:
⑴BE=CD(SAS)
⑵BD=CE(此时BE=CD)
⑶∠BAE=∠CAD(ASA)
⑷∠BAD=∠CAE(此时∠BAE=∠CAD)
⑸∠B=∠C(AAS)
⑹AB=AC(此时∠B=∠C),……
[评注]:本题应充分利用已掌握的知识,从多个角度去思考、分析,并大胆猜想,寻求尽可能多的方法。
[例3] (北京市东城区)在△ABC与△A/B/C/中,∠A=∠A/,CD和C/D/分别为AB边和A/B/边上的中线,再从以下三个条件:①AB=A/B/; ②AC=A/C/; ③CD=C/D/中任取两个为题设,另一个为结论,则最多可以构成_____个正确的命题。
[解析]:根据题意,需分情况构造命题,再判断命题的真假性。
⑴若∠A=∠A/,AB=A/B/,AC=A/C/,则得△ABC≌△A/B/C/(SAS),∴CD=C/D/(全等三角形对应线段相等),可以构成真命题。
⑵当∠A=∠A/,AB=A/B/,CD=C/D/时,不能推得△ABC与△A/B/C/,或△ADC与△A/D/C/全等,∴AC与A/C/不一定相等。
⑶同理,当∠A=∠A/,AC=A/C/,CD=C/D/时,也不能证明AB=A/B/成立。
∴真命题只有1个。
[评注]:本题是探索性问题颇具新意的一例,本题需在分类构造命题的基础上,对命题的真假性给出判断,以一种新的方式突出了对考生推理、思维能力的考查,题目新颖,问题开放,贴近基础。
[例4] 在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,那么
还不能判定四边形ABCD为平行四边形,给出以下6个说法:
①如果再加上条件“AD∥BC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
②如果再加上条件“AB=CD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
③如果再加上条件“∠DAB=∠DCB”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
④如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
⑤如果再加上条件“AO=CO”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
⑥如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
其中正确的说法有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
[解析]:本题主要考查平行四边形的判定,但命题者别出心裁设计了一道给出结论和部分条件,让考生探索附加条件的各种可能性的开放型试题,解答这类选择题,一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理,认真考查给出的6种说法。
说法①符合平行四边形的定义;说法②符合平行四边形的判定定理4;说法③由AB∥CD和∠DAB=∠DCB,可判断出AB=CD或AD∥BC,也正确;说法④可举出等腰梯形反例;说法⑤能证出BO=CO,符合平行四边形的判定定理;说法⑥不符合平行四边形的判定定理。
应选B。
[评注]:这是一道确定以附加条件为目的的开放型试题,命题者编拟此题,旨在让考生殊途同归,起到归纳总结之作用。
[题型设计与能力训练]
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6.已知一元二次方程的两个根满足,且a,b,c分别是的∠A,∠B,∠C的对边.若,求∠B的度数.小敏解得此题的正确答案“”后,思考以下问题,请你帮助解答.
(1)若在原题中,将方程改为,要得到,而条件“”不变,那么对应条件中的的值作怎样的改变?并说明理由.
(2)若在原题中,将方程改为(n为正整数,),要得到,而条件“”不变,那么条件中的的值应改为多少(不必说明理由)?
5.青青商场经销甲、乙两种商品,甲种商品每件进价15元,售价20元;乙种商品每件进价35元,售价45元.
(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2 700元,求能购进甲、乙两种商品各多少件?
(2)该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润(利润=售价-进价)不少于750元,且不超过760元,请你帮助该商场设计相应的进货方案;
(3)在“五·一”黄金周期间,该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动:
打折前一次性购物总金额 |
优惠措施 |
不超过300元 |
不优惠 |
超过300元且不超过400元 |
售价打九折 |
超过400元 |
售价打八折 |
按上述优惠条件,若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元,第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元,那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件?(通过计算求出所有符合要求的结果)
4.如图19,设抛物线交x轴于两点,顶点为.以为直径作半圆,圆心为,半圆交y轴负半轴于.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)将绕圆心顺时针旋转,得到,如图20.求点的坐标;
(3)有一动点在线段上运动,的周长在不断变化时是否存在最小值?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.
3.如图18,将边长为1的正方形沿x轴正方向连续翻转2 008次,点依次落在点的位置,则的横坐标________.
2.将图17(1)所示的正六边形进行分割得到图17(2),再将图17(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图17(3),再将图17(3)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…,则第n个图形中,共有________个正六边形.
1.观察算式:
;
;
;
;
;……
用代数式表示这个规律(n为正整数): ________.
25. (本小题8分)(2009黄石)如图9,山顶建有一座铁塔,塔高CD=30m,某人在点A处测得塔底C的仰角为20°,塔顶D的仰角为23°,求此人距CD的水平距离AB。(参考数据:sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,tan20°≈0.364,
Sin23°≈0.391,cos23°≈0.921,tan23°≈0.424)
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