题目列表(包括答案和解析)
20、如图,在中,是的中点,以为直径的交的三边,交点分别是点.的交点为,且,.
(1)求证:.
(2)求的直径的长.
(3)若,以为坐标原点,所在的直线分别为轴和轴,建立平面直角坐标系,求直线的函数表达式.
答案:(1)连接DF
∵CD是圆直径 ∴∠CFD=90°即DF⊥BC
∵∠ACB=90°∴DF ∥AC
∴∠BDF=∠A
∵在⊙O中∠BDF=∠GEF ∴∠GEF=∠A
(2) ∵D是Rt△ABC斜边AB的中点,
∴DC=DA
∴∠DCA=∠A
又由(1)知∠GEF=∠A ∴∠DCA=∠GEF
又∵∠OME=∠EMC ∴△OME与△EMC相似
∴ ∴
又∵= ∴==96
∵MD:CO=2:5 ∴OM:MD=3:2 ∴ OM:MC=3:8
设OM=3 MC=8 ∴ ∴=2
直径CD=10x=20
(3) ∵Rt△ABC斜边AB的中线CD=20 ∴AB=40
∵在Rt△ABC中,cos∠B=0.6= ∴BC=24 ∴ AC=32
设直线AB的函数表达式为 根据题意得 A (32,0) B(0,24)
解得
∴
∴直线AB的函数解析式为
19.(本题满分12分)
如图,直角梯形中,∥,为坐标原点,点在轴正半轴上,点在轴正半轴上,点坐标为(2,2),∠= 60°,于点.动点从点出发,沿线段向点运动,动点从点出发,沿线段向点运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.
(1) 求的长;
(2) 若的面积为(平方单位). 求与之间的函数关系式.并求为何值时,的面积最大,最大值是多少?
(3) 设与交于点.①当△为等腰三角形时,求(2)中的值.
②探究线段长度的最大值是多少,直接写出结论.
答案:
解:(1)∵∥
∴
在中, ,
∴,
∴ 而
∴为等边三角形
∴…(3分)
(2)∵
∴
∴
= ()…………………………(6分)
即
∴当时,………………………………………(7分)
(3)①若为等腰三角形,则:
(i)若,
∴∥
∴ 即
解得:
此时………………………………(8分)
(ii)若,
∴
过点作,垂足为,则有:
即
解得:
此时……………………………………(9分)
(iii)若,
∴∥
此时在上,不满足题意.……………………………………………(10分)
②线段长的最大值为……………………………………………………(12分)
18、(2008上海)已知,,(如图).是射线上的动点(点与点不重合),是线段的中点.
(1)设,的面积为,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,求线段的长;
(3)联结,交线段于点,如果以为顶点的三角形与相似,求线段的长.
答案:解:(1)取中点,联结,
为的中点,,.
又,.
,得;
(2)由已知得.
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,
,即.
解得,即线段的长为;
(3)由已知,以为顶点的三角形与相似,
又易证得.
由此可知,另一对对应角相等有两种情况:①;②.
①当时,,..
,易得.得;
②当时,,.
.又,.
,即,得.
解得,(舍去).即线段的长为2.
综上所述,所求线段的长为8或2.
17、(2008湖北荆州)如图,等腰直角三角形纸片ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90º,直角边AC在x轴上,B点在第二象限,A(1,0),AB交y轴于E,将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合,得到折痕EF(F在x轴上),再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE,然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移,至B点到达A点停止.设平移时间为t(s),移动速度为每秒1个单位长度,平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S.
(1)求折痕EF的长;
(2)是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线的顶点?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由;
(3)直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.
答案:
∥BA 交Y轴于P,
|
16、(2008浙江金华) 如图1,在平面直角坐标系中,己知ΔAOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连结AP,并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当点P运动到点(,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;
(3)是否存在点P,使ΔOPD的面积等于,若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由。
答案:解:(1)作BE⊥OA,
∴ΔAOB是等边三角形
∴BE=OB·sin60o=,
∴B(,2)
∵A(0,4),设AB的解析式为,所以,解得,的以直线AB的解析式为
(2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60o,
∴ΔAPD是等边三角形,PD=PA=
如图,作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°
∴GD=BD=,DH=GH+GD=+=,
∴GB=BD=,OH=OE+HE=OE+BG=
∴D(,)
(3)设OP=x,则由(2)可得D()
若ΔOPD的面积为:
解得:
所以P(,0)
15、(2008江苏镇江)探索研究
如图,在直角坐标系中,点为函数在第一象限内的图象上的任一点,点的坐标为,直线过且与轴平行,过作轴的平行线分别交轴,于,连结交轴于,直线交轴于.
(1)求证:点为线段的中点;
(2)求证:①四边形为平行四边形;
②平行四边形为菱形;
(3)除点外,直线与抛物线有无其它公共点?并说明理由.
答案:
(1)法一:由题可知.
,,
.
,即为的中点.
法二:,,.
又轴,.
(2)①由(1)可知,,
,,
.
,
又,四边形为平行四边形.
②设,轴,则,则.
过作轴,垂足为,在中,
.
平行四边形为菱形.
(3)设直线为,由,得,代入得:
直线为.
设直线与抛物线的公共点为,代入直线关系式得:
,,解得.得公共点为.
所以直线与抛物线只有一个公共点.
13、 (2008新疆建设兵团)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房.如图,板房一面
的形状是由矩形和抛物线的一部分组成,矩形长为12m,抛物线拱高为5.6m.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,求抛物线的表达式.
(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户,窗户的底边在AB上,每扇窗户宽1.5m,高1.6m,相邻窗户之间的间距均为0.8m,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m.请计算最多可安装几扇这样的窗户?
答案:解:(1)设抛物线的表达式为
点在抛物线的图象上.
∴
∴抛物线的表达式为
(2)设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点,D点坐标为(k,t)
已知窗户高1.6m,∴
(舍去)
∴(m)
又设最多可安装n扇窗户
∴
.
答:最多可安装4扇窗户.
(本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形)
12、(2008山东东营、菏泽)在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
答案:解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴ △AMN ∽ △ABC.
∴ ,即.
∴ AN=x.
∴ =.(0<<4)
(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO =OD =MN.
在Rt△ABC中,BC ==5.
由(1)知 △AMN ∽ △ABC.
∴ ,即.
∴ ,
∴ .
过M点作MQ⊥BC 于Q,则.
在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,
∴ △BMQ∽△BCA.
∴ .
∴ ,.
∴ x=.
∴ 当x=时,⊙O与直线BC相切.
(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点.
∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC.
∴ △AMO ∽ △ABP.
∴ . AM=MB=2.
故以下分两种情况讨论:
① 当0<≤2时,.
∴ 当=2时,
② 当2<<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.
∵ 四边形AMPN是矩形,
∴ PN∥AM,PN=AM=x.
又∵ MN∥BC,
∴ 四边形MBFN是平行四边形.
∴ FN=BM=4-x.
∴ .
又△PEF ∽ △ACB.
∴ .
∴ .
=.
当2<<4时,.
∴ 当时,满足2<<4,.
综上所述,当时,值最大,最大值是2.
11、(2008广东中山)将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边
AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD.
(1)填空:如图1,AC= ,BD= ;四边形ABCD是 梯形.
(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).
(3)如图2若以AB所在直线为轴,过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系,保持ΔABD不动,将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,ΔFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围.
答案:解:(1),,等腰;
(2)共有9对相似三角形.
①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似,分别是:△DCE∽△ABE,△DCE∽△ACD,△DCE∽△BDC,△ABE∽△ACD,△ABE∽△BDC;(有5对)
②△ABD∽△EAD,△ABD∽△EBC;(有2对)
③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC;(有2对)
所以,一共有9对相似三角形.
(3)由题意知,FP∥AE,
∴ ∠1=∠PFB,
又∵ ∠1=∠2=30°,
∴ ∠PFB=∠2=30°,
∴ FP=BP.
过点P作PK⊥FB于点K,则.
∵ AF=t,AB=8,
∴ FB=8-t,.
在Rt△BPK中,.
∴ △FBP的面积,
∴ S与t之间的函数关系式为:
,或.
t的取值范围为:.
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