12．(黑龙江一模)如上图，甲船在港口P的北偏西600方向，距港口80海里的A处，沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P出发，沿北偏东450方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．(精确到0.1海里/时，参考数据，)

答案：依题意，设乙船速度为海里/时，2小时后甲船在点处，乙船在点处，作于，则海里，海里．

在中，，

．

在中，，

．

　，．

．

答：乙船的航行速度约为19.7海里/时．

11.(2010广东省中考拟)．如图，在△ABC中，∠C=900,AC=8,BC=6,分别取各边的中点A1，B1，C1，得到△A1B1C1，再取△A1B1C1各边中点A2，B2，C2，得到△A2B2C2，按此作法进行下去，得到△A3B3C3，………，△AnBnCn.

求A1B1的长；

求△A1B1C1和△A2B2C2的周长；

写出△A8B8C8和△AnBnCn.的周长；

　解：(1)在Rt△　ABC中

由勾股定理得AB=10

A1B1=5．

(2)△A1B1C1和△A2B2C2的周长分别为：12和6

(3)△A8B8C8和△AnBnCn.的周长分别为：和

10.(2010年武汉市中考拟)图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起(C与C′重合)。

(1)操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F(图2)；

探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论。

(2)操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR(图3)；

请问：经过多少时间，△PQR与△ABC重叠部分的面积恰好等于­？

(3)操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α(30°＜α＜90，图4)；

探究：在图4中，线段CN·EM的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出CN·EM的值，如果有变化，请你说明理由。

答案：解：(1)BE=AD

证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形

∴∠ACB=∠DCE=60° CA=CB，CE=CD

∴∠BCE=∠ACD　 ∴△BCE≌△ACD 　

∴ BE=AD(也可用旋转方法证明BE=AD)

(2)设经过x秒重叠部分的面积是，如图在△CQT中

∵∠TCQ=30° ∠RQP=60°

∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ　 ∴QT=QC=x∴ RT=3－x

∵∠RTS+∠R=90°　　 ∴∠RST=90°

由已知得×32 －(3－x)2=

x＝1，x＝5，因为0≤x≤3，所以x=1

答：经过1秒重叠部分的面积是

(3)C′N·E′M的值不变

证明：∵∠ACB=60°∴∠MCE′+∠NCC′=120°

∵∠CNC′+∠NCC′=120° ∴∠MCE′=∠CNC′

∵∠E′=∠C′　 ∴△E′MC∽△C′CN

∴　 ∴C′N·E′M=C′C·E′C=×=

9.(2010 河南模拟)如图，、分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间(小时)的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样。(1)根据图象分别求出、的函数关系式；

(2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？

(3)小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽

灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法

(直接给出答案，不必写出解答过程)。

解：(1)直线L1　 yl=O.03x+2(0≤x≤2000)

　　 设直线L2的解析式为y2=0.012x+20(0≤x≤2000)

　　 (2)当yl=y2时，两种灯的费用相等 0．03X+2=0．012X+20

　　 解得：x=1000

　　 ∴　 当照明时间为1000小时时，两种灯的费用相等

(3)节能灯使用2000小时，白炽灯使用500小时

8.(2010 河南模拟)如图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分：⑴用直线分割；⑵每个部分内各有一个景点；⑶各部分的面积相等。(可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法)

解：答案不唯一，如

7.(2010年铁岭市加速度辅导学校)已知：如图所示的一张矩形纸片()，将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若，的面积为，求的周长；

(3)在线段上是否存在一点，使得？若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

解：(1)连结交于，

当顶点与重合时，折痕垂直平分，

，

在平行四边形中，，

，

．

分

四边形是菱形．

(2)四边形是菱形，．

设，，，

　　　 ①

又，则．　　 ②

由①、②得：

，(不合题意舍去)

的周长为．

(3)过作交于，则就是所求的点．

证明：由作法，，

由(1)得：，又，

，

，则

四边形是菱形，，．

6.(2010年河南中考模拟题3) 在一次数学探究性学习活动中, 某学习小组要制作一个圆锥体模型, 操作规则是: 在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面。他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二。(两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切。方案一中扇形的弧与正方形的两边相切)

(1)请说明方案一不可行的理由。

(2)判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由。

答案：解：(1)理由如下：

∵扇形的弧长=16×π/2=8π，圆锥底面周长=2πr

∴圆的半径是4 cm

由于所给正方形对角线的长为16cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16+4+4=20+4，20+4>16

∴方案1不可行

(2)方案2可行

求解过程如下：

设圆锥的底面半径为r cm，圆锥的母线长为Rcm，则

(1+)r+R=16

2πr=

由①②可得R=cm，r=cm

故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm

5.(2010年江西省统一考试样卷)图①是一张长与宽不相等的矩形纸片, 同学们都知道按图②所示的折叠方法可以裁剪出一个正方形纸片和一个矩形纸片(如图③),

　　　　　 ①　　　　　　②　　　　　　　③

(1)实验：

将这两张纸片分别按图④、⑤所示的折叠方法进行：

　　　　　　　　　④

　　　　　　　　　⑤

请你分别在图④、⑤的最右边的图形中用虚线画出折痕，并顺次连接每条折痕的端点，所围成的四边形分别是什么四边形？

(2)当原矩形纸片的AB=4，BC=6时，分别求出(1)中连接折痕各端点所得四边形的面积，并求出它们的面积比；

(3)当纸片ABCD的长和宽满足怎样的数量关系时先后得到的两个四边形的面积比等于(2)所得到的两个四边形的面积比？

(4)用(2)中所得到的两张纸片，分别裁剪出那两个四边形，用剩下的8张纸片拼出两个周长不相等的等腰梯形，用图表示并标明主要数据，分别求出两梯形的面积.

解：　 (1) 图④所示的是正方形,图⑤所示的菱形.

　 (2)

.

　 (3)设AB=a,BC=b,则

要使.

需　　 ∴

由∵不等于0,　　　 ∴3=2b.

　 (4)如图所示。两等腰梯形周长分别为.

4.( 2010年山东菏泽全真模拟1)如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ADC,由这个结论解答下列问题：(1)图2中，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，则

S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为　　　　　　 ；图3中，E，F分别为平行四边形ABCD的边AD,BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为 　　　　　　；

(2)图4中，E，F分别为四边形ABCD的边AD,BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为　　　　　　 .

(3)解决问题：如图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD，AB,BC,CD的中点，并且图中四个小三角形的面积的和为1，即S1+S2+S3+S4＝1，求S阴的值。(写出过程)

答案：(1)S阴=S矩形ABCD　 ，S阴=S平行四边形ABCD。

(2)S阴=S四边形ABCD (3)连接AC,BD

由上面的结论得

∵G是四边形ABCD的边AB的中点，

∴，

∵H是四边形ABCD的边CD的中点

∴　 ，

∴

同样的方法得到

∴

∴

∴S阴= S1+S2+S3+S4 =1

3．(2010年山东宁阳一模)(1)观察与发现

小明将三角形纸片ABC(AB>AC)，沿过点A的直线折叠，便得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片(如图①)，再次折叠该三角形纸片，使点A与点D重合，折痕为EF，展开纸片后得到△AEF(如图②)，小明认为△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

(2)实践与运用

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)，再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)，再展开纸片(如图⑤)求图中∠α的大小．

答案：1)∵AD垂直于EF，且AD平分∠EAF，∴△AEF为等腰三角形

(2)由题可得有正方形ABFE　　 ∴∠AEB=45°　　　 ∠DEB=135°

又∵EG平分∠BED　　　　 ∴∠BEG=67.5°　　　 则∠α=∠FEG=22.5°