题目列表(包括答案和解析)
8.(2010江苏泰州,8,3分)已知(m为任意实数),则P、Q的大小关系为( )
A. B. C. D.不能确定
[分析]可用特殊值法或差值法.特殊值法:取m=15,分别代入得P=6,Q=217,故P<Q;差值法:P-Q===<0,故P<Q.
[答案]C
[涉及知识点]代数式的大小比较
[点评]代数式的大小比交,最常用的方法就是特殊值法、差值法及商值法,在填空题及选择题中,用特殊值法是最简捷的,要注意字母所取值必满足条件.
[推荐指数]★★★
7.(2010江苏泰州,7,3分)一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm,要做一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为27cm、45cm的两根铝材,要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边.截法有( )
A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种
[分析]⑴假设以27cm为一边,把45cm截成两段,设这两段分别为xcm、ycm(x<y).则可得:①或②(注:27cm不可能是最小边),由①解得x=18,y=22.5,符合题意;由②解得x=,y=,x+ y=+==54>45,不合题意,舍去.
⑵假设以45cm为一边,把27cm截成两段,设这两段分别为xcm、ycm(x<y).则可得:(注:只能是45是最大边),解得x=30,y=,x+ y=30+37.5=67.5>27,不合题意,舍去.
综合以上可知,截法只有一种.
[答案]B
[涉及知识点]相似三角形的判定
[点评]在判定三角形相似,未明确对应关系时,特别注意不要忘了分类,再根据不同的对应关系分别计算要求的线段.
[推荐指数]★★★★
6.(2010江苏泰州,6,3分)下列命题:①正多边形都是轴对称图形;②通过对足球迷健康状况的调查可以了解我国公民的健康状况;③方程的解是;④如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等.其中真命题的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[分析]正多边形都是轴对称图形,对于正偶数边形,即是轴对称图形又是中心对称图形,①正确;对足球迷健康状况调查样本不具有代表性,②不正确;通过解答,③也是正确的;如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,④不正确.
[答案]B
[涉及知识点]轴对称与中心对称 随机抽样 分式方程的解法 简单的推理
[点评]选择题中的判断正误题,往往是多个数学知识点组合在一起,在判断时,一是注意其表达的语言方式,二是注意漏解的情况.
[推荐指数]★★★
5.(2010江苏泰州,5,3分)下列函数中,y随x增大而增大的是( )
A. B. C. D.
[分析]选项A反比例函数,其增减性要有前提条件,即在“各个象限内”,不能笼统地进行描述,应舍去;B是一次函数,系数小于零,所以y随x增大而减小,舍去,选项D中的二次函数开口向上,在对称轴的左侧,y随x增大而减小,舍去.故选C.
[答案]C
[涉及知识点]一次函数、反比例函数、二次函数的增减性
[点评]关于函数的增减性,对于一次函数而言,由系数k即可确定,二次函数要由开口方向与对称轴来确定,而反比例函数,特别要注意“在每一个象限”这一限制条件.
[推荐指数]★★★★
4.(2010江苏泰州,4,3分)下面四个几何体中,主视图与其它几何体的主视图不同的是( )
A. B. C. D.
[分析]选项A、B、D的主视图都是矩形,只有选项C的主视图是三角形与其它三个几何体的主视图不同.
[答案]C
[涉及知识点]三视图
[点评]由立体图形到视图的过程,通常称为读图.要注意两点:一是长、宽、高的关系;二是上下、左右、前后的关系.当然,平时学习中知识的积累也很重要.
[推荐指数]★★★★
3.(2010江苏泰州,3,3分)据新华社2010年2月9日报道:受特大干旱天气影响,我国西南地区林地受灾面积达到43050000亩.用科学计数法可表示为( )
A.亩 B. 亩 C. 亩 D. 亩
[分析]43050000可表示为4.305×10000000,100000=107,因此43050000=4.305×107.
[答案]D
[涉及知识点]科学记数法
[点评]把一个数写成a×10的形式(其中1≤<10,n为整数,这种计数法称为科学记数法.科学记数法是每年中考试卷中的必考问题,应掌握:⑴表达形式为:n表示小数点移动的位数).科学记数法可以表示绝对值大于10的数,也可以表示绝对值小于1的数.⑵当表示绝对值大于10的数时应注意:小数点向左移到第一位数字后,看小数点移动了几位,n的值就是几,表达式中的n是应为正整数.⑶当表示绝对值小于1的数时应注意:小数点向右移到第一位不为零的数后,看小数点移动了几位,n的值就是几,表达式中的n应为负整数.
[推荐指数]★★★★★
2.(2010江苏泰州,2,3分)下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
[分析]根据幂的运算性质,“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”,选项A不正确;“积的乘方,等于积中各因式乘方的积”,选项C不正确;“同底数幂相除,底数不变,指数相减”,选项D也不正确.
[答案]B
[涉及知识点]幂的运算性质
[点评]用幂的运算性质解答问题,只要熟练掌握根据幂的运算性质即可.
[推荐指数]★★★
1.(2010江苏泰州,1,3分)的倒数为( )
A. B. C. D.
[分析]如果两个数的积为1,那么这两个数互为倒数.所以的倒数为.
[答案]D
[涉及知识点]有理数的有关概念
[点评]涉及与有理数有关的概念题型,关键是对概念的理解,“回到定义中去”直接运用概念解题.
[推荐指数]★★★★
28.(本题满分12分)如图,已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A,
且与x轴交于点B.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l∥y轴.
动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O-C-A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不
存在,请说明理由.
[答案](1)根据题意,得,解得 ,∴A(3,4) .
令y=-x+7=0,得x=7.∴B(7,0).
(2)①当P在OC上运动时,0≤t<4.
由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8,得
(3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8
整理,得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6(舍)
当P在CA上运动,4≤t<7.
由S△APR= ×(7-t) ×4=8,得t=3(舍)
∴当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
②当P在OC上运动时,0≤t<4. 此时直线l交AB于Q。
∴AP=,AQ=t,PQ=7-t
当AP =AQ时, (4-t)2+32=2(4-t)2, 整理得,t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍)
当AP=PQ时,(4-t)2+32=(7-t)2,整理得,6t=24. ∴t=4(舍去)
当AQ=PQ时,2(4-t)2=(7-t)2整理得,t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍)
当P在CA上运动时,4≤t<7. 此时直线l交AO于Q。过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.
设直线l交AC于E,则QE⊥AC,AE=RD=t-4,AP=7-t.
由cos∠OAC= = ,得AQ = (t-4).
当AP=AQ时,7-t = (t-4),解得t = .
当AQ=PQ时,AE=PE,即AE= AP
得t-4= (7-t),解得t =5.
当AP=PQ时,过P作PF⊥AQ于F
AF= AQ = ×(t-4).
在Rt△APF中,由cos∠PAF= = ,得AF= AP
即 ×(t-4)= ×(7-t),解得t= .
∴综上所述,t=1或 或5或 时,△APQ是等腰三角形.
[考点]一次函数,二元一次方程组,勾股定理,三角函数,一元二次方程,等腰三角形。
[分析](1)联立方程y = - x +7和y = x即可求出点A的坐标,今y=-x+7=0即可得点B的坐标。
(2)①只要把三角形的面积用t表示,求出即可。应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况了。
②只要把有关线段用t表示,找出AP=AQ,AP=PQ,AQ=PQ的条件时t的值即可。应注意分别讨论P在OC上运动(此时直线l与AB相交)和P在CA上运动(此时直线l与AO相交)时AP=AQ,AP=PQ,AQ=PQ的条件。
27.(本题满分12分)情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示.观察图2可知:与BC相等的线段是 ▲ ,∠CAC′= ▲ °.问题探究如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.
拓展延伸如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H. 若AB= k AE,AC= k AF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由. [答案]解:情境观察
AD(或A′D),90
问题探究
结论:EP=FQ.
证明:∵△ABE是等腰三角形,∴AB=AE,∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG,∴∠AGB=∠EPA=90°,∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.
同理AG=FQ. ∴EP=FQ.
拓展延伸
结论: HE=HF.
理由:过点E作EP⊥GA,FQ⊥GA,垂足分别为P、Q.
∵四边形ABME是矩形,∴∠BAE=90°,
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90°,
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°,∴△ABG∽△EAP,∴ = .
同理△ACG∽△FAQ,∴ = .
∵AB= k AE,AC= k AF,∴ = = k,∴ = . ∴EP=FQ.
∵∠EHP=∠FHQ,∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF
[考点]拼图,旋转,矩形性质,直角三角形两锐角关系,等量代换,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。
[分析]情境观察:易见与BC相等的线段是AD,它们是矩形的对边。
∠C′AC=1800-∠C′AD-∠C′AB=1800-900=900。
问题探究:找一个可能与EP和FQ都相等的线段AG。考虑Rt△ABG≌Rt△EAP,这用ASA易证,得出EP=AG。同样考虑Rt△ACG≌Rt△FAQ,得出FQ=AG。从而得证。
拓展延伸:与问题探究相仿,只不过将全等改为相似,证出FQ=AG。再证
Rt△EPH≌Rt△FQH,从而得证。
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