10．(2011四川重庆，22，10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y＝ (m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为(6，n)，线段OA＝5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE＝．

(1)求该反比例函数和一次函数；

(2)求△AOC的面积．

[答案](1)过A点作AD⊥x轴于点D，∵sin∠AOE＝ ，OA＝5，

∴在Rt△ADO中，∵sin∠AOE＝ ＝＝ ，

∴AD＝4，DO＝=3，又点A在第二象限∴点A的坐标为(－3，4)，

将A的坐标为(－3，4)代入y＝ ，得4=∴m＝－12，∴该反比例函数的解析式为y＝－，

∵点B在反比例函数y＝－的图象上，∴n＝－＝－2，点B的坐标为(6，－2)，∵一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象过A、B两点，

∴，∴

∴该一次函数解析式为y＝－x+2．

(2)在y＝－x+2中，令y＝0，即－x+2=0，∴x=3，

∴点C的坐标是(3，0)，∴OC＝3， 又DA=4，

∴S△AOC＝×OC×AD＝×3×4＝6，所以△AOC的面积为6．

9. (2011浙江义乌，22，10分)如图，在直角坐标系中，O为坐标原点. 已知反比例函数

y=　 (k>0)的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为　 .

(1)求k和m的值；

(2)点C(x，y)在反比例函数y=　 的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；

(3)过原点O的直线l与反比例函数y=　 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值.

[答案](1)∵A(2，m)　　　 ∴OB=2　 AB=m

　　　　　　　 ∴S_△AOB=•OB•AB=×2×m=　　 ∴m=

∴点A的坐标为(2，)　 把A(2，)代入y=，得=

∴k=1

　　　　　 (2)∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=

　　　　　　 又 ∵反比例函数y=在x>0时，y随x的增大而减小，

∴当1≤x≤3时，y的取值范围为≤y≤1。

(3) 由图象可得，线段PQ长度的最小值为2。

8. (2011浙江省，18，8分)若反比例函数与一次函数的图象都经过点A(a,2)

(1)求反比例函数的解析式；

(2) 当反比例函数的值大于一次函数的值时，求自变量x的取值范围．

_{[答案](1)∵ 的图象过点A(a,2)　 ∴ a=3}

_{∵ 过点A(3,2)　　　　　　 ∴ k=6　　 ∴}

_{(2) 求反比例函数与一次函数的图象的交点坐标，得到方程：}

_{解得：x1= 3　 ,　 x2= -1}

_{∴ 另外一个交点是(-1，-6)}

_{∴ 当x<-1或0<x<3时，}

7. (2011山东烟台，22,8分)如图，已知反比例函数(k₁＞0)与一次函数相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C.若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 .

(1)求出反比例函数与一次函数的解析式；

(2)请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y₁的值大于一次函数y₂的值？

[答案]解(1)在Rt△OAC中，设OC＝m.

∵tan∠AOC＝＝2，

∴AC＝2×OC＝2m.

∵S_△OAC＝×OC×AC＝×m×2m＝1，

∴m²＝1

∴m＝1(负值舍去).

∴A点的坐标为(1，2).

把A点的坐标代入中，得

k₁＝2.

∴反比例函数的表达式为.

把A点的坐标代入中，得

k₂+1＝2，

∴k₂＝1.

∴一次函数的表达式.

(2)B点的坐标为(－2，－1).

当0＜x＜1和x＜－2时，y₁＞y₂.

6. (2011山东泰安，26 ，10分)如图，一次函数y=k₁x+b的图象经过A(0，-2)，B(1，0)两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2。

(1)求一次函数和反比全例函数的表达式。

(2)在x轴上存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。

[答案](1)∵直线y=k₁x+b过A(0，-2)，B(1，0)

∴　 ∴

∴一次函数的表达式为y=2x-2

设M(m,n)，作MD⊥x轴于点D

∵S_△OBM=2

∴OB·MD=2　 ∴n=2

∴n=4

将M(m，4)代入y=2x-2得：4=2m-2　 ∴m=3

∵4=　 ∴k₂=12

所以反比例函数的表达式为y=

(2)过点M(3，4)作MP⊥AM交x轴于点P

∵MD⊥BP　 ∴∠PMD=∠MBD=∠ABO

∴tan∠PMD= tan∠MBD= tan∠ABO===2

∴在Rt_△PDM中，=2　 ∴PD=2MD=8

∴PO=OD+PD=11

∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为(11，0)

5. (2011山东济宁，20，7分)如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)如果为反比例函数在第一象限图象上的点(点与点不重合)，且点的横坐标为1，在轴上求一点，使最小.

[答案](1) 设点的坐标为(，)，则.∴.

∵,∴.∴.

∴反比例函数的解析式为.··············· 3分

(2) 由　 得 ∴为(，). ·········· 4分

设点关于轴的对称点为，则点的坐标为(，).

令直线的解析式为.

∵为(，)∴∴

∴的解析式为.················· 6分

当时，.∴点为(，).…………………………7分

4. (2011山东菏泽，17(1)，7分)已知一次函数与反比例函数，其中一次函数的图象经过点P(，5)．

①试确定反比例函数的表达式；

②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标　

[答案]解：因一次函数y=x+2的图象经过点P(k，5)，

　　　 　所以得5=k+2，解得k=3

　　　 　所以反比例函数的表达式为

　　　 (2)联立得方程组

　　　　　 解得　 或

　　　　　 故第三象限的交点Q的坐标为(－3，－1)　

3. (2011广东广州市，23，12分)

已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C(1，3)在反比例函数y = 的图象上，且sin∠BAC= ．

(1)求k的值和边AC的长；

(2)求点B的坐标．

[答案](1)把C(1，3)代入y = 得k=3

设斜边AB上的高为CD，则

sin∠BAC==

∵C(1，3)

∴CD=3，∴AC=5

(2)分两种情况，当点B在点A右侧时，如图1有：

AD==4，AO=4－1=3

∵△ACD∽ABC

∴AC²=AD·AB

∴AB==

∴OB=AB－AO=－3=

此时B点坐标为(，0)

　　　　 图1　　　　　　　　　　　　　 图2

当点B在点A左侧时，如图2

此时AO=4+1=5

OB= AB－AO=－5=

此时B点坐标为(－，0)

所以点B的坐标为(，0)或(－，0)．

2. (2011安徽，21，12分)如图，函数的图象与函数()的图象交于A、B两点，与轴交于C点，已知A点坐标为(2，1)，C点坐标为(0，3)．

(1)求函数的表达式和B点的坐标；

(2)观察图象，比较当时，与的大小.

[答案](1)由题意，得　 解得　　 ∴ ;

　 　　　　　又A点在函数上，所以 ，解得, 所以;

解方程组　 得 ,　 ．

所以点B的坐标为(1, 2)．

(2)当x=1或x=2时，y₁=y₂；

当1＜x＜2时，y₁＞y₂；

当0＜x＜1或x＞2时，y₁＜y₂．

1. (2011浙江省舟山，19，6分)如图，已知直线经过点P(，)，点P关于轴的对称点P′在反比例函数()的图象上．

(1)求的值；

(2)直接写出点P′的坐标；

(3)求反比例函数的解析式．

[答案](1)将P(-2，a)代入得a=-2×(-2)=4;

　　　　 (2) P′(2，4)

　　　 (3)将P′(2，4)代入得4=，解得k=8，∴反比例函数的解析式为．