10．(2011江西，21，8分)如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B，C两点除外)。

⑴求∠BAC的度数；

⑵求△ABC面积的最大值.

(参考数据：sin60°=，cos30°=，tan30°=.)

[答案](1)过点O作OD⊥BC于点D, 连接OA.

因为BC=，所以CD==.

又OC=2，所以=，即=，

所以∠DOC=60°.

又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.

(2)因为△ABC中的边BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,即点A是的中点时，△ABC面积的最大值.

因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形，

在Rt△ADC中，AC=，DC=,

所以AD===3.

所以△ABC面积的最大值为×3×=3.

9. (2011浙江丽水，24，12分)如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.

(1)当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；

(2)当DE＝8时，求线段EF的长；

(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

[解](1)连结BC，

∵A(10，0)，∴OA=10，CA=5，

　　　　　 ∵∠AOB=30°，

　　　　　 ∴∠ACB=2∠AOB=60°，

　　　　　 ∴的长==；

(2)连结OD，

∵OA是⊙C的直径，∴∠OBA=90°，

　　　　　 又∵AB= BD，

　　　　　 ∴OB是AD的垂直平分线，

　　　　　 ∴OD= OA=10，

　　　　　 在Rt△ODE中，

　　　　　 OE===6，

　　　　　 ∴AE= AO－OE =10－6=4，

　　　　　 由∠AOB=∠ADE= 90°－∠OAB，

　　　　　 ∠OEF=∠DEA，

　　　　　 得△OEF∽△DEA，

　　　　　 ∴=，即=，∴EF=3；

(3)设OE=x，

　　　　　 ①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，

　　　　　 有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，

点E为OC的中点，即OE=，

　∴E₁(，0)；

　　　　　 当∠ECF=∠OAB时，有CE=5－x，AE=10－x，

∴CF//AB，有CF=AB，

　　　　　 ∵△ECF∽△EAD，

　　　　　 ∴=，即=，解得x=，

∴E₂(，0)；

②当交点E在C的右侧时，

∵∠ECF>∠BOA

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，

连结BE，

∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，

∴BE=AB=BD，

∴∠BEA=∠BAO，

∴∠BEA=∠ECF，

∵CF//BE，∴=，

∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，

　　　　　 ∴△CEF∽△AED，∴=，

　　　　　 而AD=2BE，∴=，

即=，

解得x₁=，x₂=<0(舍去)，

∴E₃(，0)；

③当交点E在O的左侧时，

∵∠BOA=∠EOF>∠ECF

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，

连结BE，得BE=AD=AB，

　　　　　 ∠BEA=∠BAO，

∴∠ECF=∠BEA，

∴CF//BE，

∴=，

又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，

　　　　　 ∴△CEF∽△AED，∴=，

　　　　　 而AD=2BE，∴=，

∴=，解得x₁=，x₂=<0(舍去)，

∵点E在x轴负半轴上，∴E₄(，0)，

综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为：

∴E₁(，0)、E₂(，0)、E₃(，0)、E₄(，0).

8. (2011广东广州市，25，14分)

　 如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中　　　 ∠DCE是直角，点D在线段AC上．

　(1)证明：B、C、E三点共线；

　 (2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；

　 (3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D₁CE₁(图8)，若M₁是线段BE₁的中点，N₁是线段AD₁的中点，M₁N₁=OM₁是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

[答案](1)∵AB为⊙O直径

∴∠ACB=90°

∵△DCE为等腰直角三角形

∴∠ACE=90°

∴∠BCE=90°+90°=180°

∴B、C、E三点共线．

(2)连接BD，AE，ON．

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°

∴AB=AC

∵DC=DE

∠ACB=∠ACE=90°

∴△BCD≌△ACE

∴AE=BD，∠DBE=∠EAC

∴∠DBE+∠BEA=90°

∴BD⊥AE

∵O，N为中点

∴ON∥BD，ON=BD

同理OM∥AE，OM=AE

∴OM⊥ON，OM=ON

∴MN=OM

(3)成立

证明：同(2)旋转后∠BCD₁=∠BCE₁=90°－∠ACD₁

所以仍有△BCD₁≌△ACE₁，

所以△ACE₁是由△BCD₁绕点C顺时针旋转90°而得到的，故BD₁⊥AE₁

其余证明过程与(2)完全相同．

7. (2011浙江丽水，21，8分)如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE.

(1)求证：AP＝AO；

(2)若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；

(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为 　　　　　　　 ，能构成等腰梯形的四个点为　　 　　 或　　 　　　 或　　　 　　 .

[解](1)∵PG平分∠EPF，

　　　　　 ∴∠DPO=∠BPO，

　　　　　 ∵OA//PE，

　　　　　 ∴∠DPO=∠POA，

　　　　　 ∴∠BPO=∠POA，

　　　　　 ∴PA=OA；

(2)过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB，

　　 ∵AB=12，

　　 ∴AH=6，

　　 由(1)可知PA=OA=10，

　　　　 ∴PH=PA+AH=16，

　　　　　 OH==8，

　　　　 ∴tan∠OPB==；

(3)P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.

5. (2011山东烟台，25,12分)已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合)，直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.

(1)如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r²

(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，(1)中的结论是否成立？请说明理由.

[答案](1)证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.

∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°.

∴∠QFD+∠Q＝90°.

∵CD⊥AB，∴∠P+∠C＝90°.

∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.

∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.

∴.∴OE·OP＝OF²＝r².

(2)解：(1)中的结论成立.

理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.

∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M+∠CFM＝90°.

∵CD⊥AB，∴∠E+∠D＝90°.

∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.

∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.

∴，∴OE·OP＝OF²＝r².

4. (2011山东济宁，19，6分)如图，为外接圆的直径，，垂足为点，的平分线交于点，连接，.

(1) 求证：；

　(2) 请判断，，三点是否在以为圆心，以为半径的圆上？并说明理由.

[答案](1)证明：∵为直径，，

∴.∴. ································································· 3分

(2)答：，，三点在以为圆心，以为半径的圆上. ···························· 4分

理由：由(1)知：，∴.

∵，，，

∴.∴.··································································· 6分

由(1)知：.∴.

∴，，三点在以为圆心，以为半径的圆上. 　 …………………7分

3. (2011山东德州22,10分)●观察计算

当，时， 与的大小关系是_________________．

当，时， 与的大小关系是_________________．

●探究证明

如图所示，为圆O的内接三角形，为直径，过C作于D，设，BD=b．

(1)分别用表示线段OC，CD­；

(2)探求OC与CD表达式之间存在的关系

(用含a，b的式子表示)．

●归纳结论

根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：_________________________．

●实践应用

要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．

[答案]●观察计算:>， =.　 …………………2分

●探究证明：

(1)，

∴…………………3分

AB为⊙O直径,

∴.

，，

　∴∠A=∠BCD.

∴△∽△. 　　…………………4分

∴.

即,

∴.　　　　　 …………………5分

(2)当时,, =；

时,, >．…………………6分

●结论归纳: ．　　 ………………7分

●实践应用

设长方形一边长为米,则另一边长为米,设镜框周长为l米，则

　≥ ．　　　　　　　　　 ……………9分

当,即(米)时,镜框周长最小．

此时四边形为正方形时,周长最小为4 米.　　　　　　　 ………………10分

2.(2011浙江金华，24，12分)如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.

(1)当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；

(2)当DE＝8时，求线段EF的长；

(3)在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)连结BC,

∵A(10，0), ∴OA=10 ,CA=5,

∵∠AOB=30°,

∴∠ACB=2∠AOB=60°,

∴弧AB的长=;　　 ……4分

(2)连结OD,

∵OA是⊙C直径,　 ∴∠OBA=90°,

又∵AB=BD,

∴OB是AD的垂直平分线,

∴OD=OA=10,

在Rt△ODE中，

OE=,

∴AE=AO－OE=10-6=4,

由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA,

∴,即，∴EF=3；……4分

(3)设OE=x，

①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，

∴E₁(，0)；

当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x, AE=10-x，

∴CF∥AB,有CF=,

∵△ECF∽△EAD,

∴,即,解得：,

∴E₂(，0);

②当交点E在点C的右侧时，

∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，

连结BE，

∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，

∴BE=AB=BD,

∴∠BEA=∠BAO,

∴∠BEA=∠ECF,

∴CF∥BE,　 ∴,

∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED,　 ∴,

而AD=2BE,　　 ∴,

即,　 解得, ＜0(舍去)，

∴E₃(，0);

③当交点E在点O的左侧时，

∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF .

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO

连结BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA,

∴CF∥BE,

∴,

又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED,　 ∴，

而AD=2BE,　　 ∴,

∴,　　 解得, ＜0(舍去),

∵点E在x轴负半轴上,　 ∴E₄(，0),

综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为：

(，0)、(，0)、(，0)、(，0)．……4分

1. (2011浙江金华，21，8分)如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE.

(1)求证：AP＝AO；

(2)若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；

(3)若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为 　　　　　 ，能构成等腰梯形的四个点为　　 　　　 或　　 　　　 或　　　 　　 .

证明：(1)∵PG平分∠EPF，

∴∠DPO=∠BPO ，　

∵OA//PE，

∴∠DPO=∠POA ，　

∴∠BPO=∠POA，

∴PA=OA；　　　　　 ……2分

解：(2)过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB=AB，……1分

∵ tan∠OPB=，∴PH=2OH，　 ……1分

设OH=，则PH=2，

由(1)可知PA=OA= 10 ，∴AH=PH－PA=2－10，

∵， ∴，　 ……1分

解得(不合题意，舍去)，，

　　　 ∴AH=6，　 ∴AB=2AH=12；　 ……1分

(3)P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B.……2分(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分)