题目列表(包括答案和解析)
26. (2011山东临沂,25,11分)如图1,奖三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.
(1)求证:EF=EG;
(2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变.(1)中的结论是否仍然成立?若成立,情给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若AB=a,BC=b,求的值.
图1 图2 图3
(1)证明:∵∠GEB+∠BEF=90°,∠DEF+∠BEF=90°,
∴∠DEF=GEB,………………………………………………( 1分)
又∵ED=BE,
∴Rt△FED≌Rt△GEB,…………………………………………( 2分)
∴EF=EG.……………………………………………………( 3分)
(2)成立.……………………………………………………………………( 4分)
证明:如图,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为H、I,
则EH=EI,∠HEI=90°,…………………………………( 5分)
∵∠GEH+∠HEF=90°,∠IEF+∠HEF=90°,
∴∠IEF=∠GEH,……………………………………………( 6分)
∴Rt△FEI≌Rt△GEH,
∴EF=EG.………………………………………………………(7分)
(3)解:如图,过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为M、N ,
则∠MEN=90°,EM∥AB,EN∥AD,………………………( 8分)
∴==,
∴==, …………………………………………(9分)
∵∠GEM+∠MEF=90°,∠FEN+∠MEF=90°,
∴∠FEN=∠GEM,
∴Rt△FEN∽Rt△GEM, …………………………………………(10分)
∴==.…………………………………………(11分)
25. (2011山东临沂,22,7分)如图,△ABC中,AB=AC,AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的中点分别为点E,F
(1)求证:AC=AD;
(2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形;
[解](1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠BCA,
∴∠EAC=∠B+∠BCA=2∠B,
∵AD平分∠FAC,
∴∠FAD=∠B,
∴AD∥BC,……………………………………………………………………(2分)
∴∠D=∠DCE,
∵CD平分∠ACE,
∴∠ACD=∠DCE,
∴∠D=∠ACD,………………………………………………………………(3分)
∴AC=AD;……………………………………………………………………(4分)
(2)证明:∵∠B=60°,
∴∠ACB=60°,∠FAC=∠ACE=120°,
∴∠DCE=∠B=60°,………………………………………………………(5分)
∴DC∥AB,
∵AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形,……………………………………………(6分)
又由(1)知AC=AD,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.……………………………………………………(7分)
24. (2011江苏南通,26,10分)(本体满分10分)
已知:如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA到点F,OD到点E,使OF=2OA,OE=2OD,连结EF,将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△(如图2).
(1) 探究AE′与BF'的数量关系,并给予证明;
(2) 当α=30°时,求证:△AOE′为直角三角形.
[答案](1)AE′=BF
证明:如图2,
∵在正方形ABCD中, AC⊥BD
∴∠=∠AOD=∠AOB=90°
即∠AOE′+∠AOF′=∠BOF′+∠AOF′
∴∠AOE′=∠BOF′
又∵OA=OB=OD,OE′=2OD,OF′=2OA
∴OE′=OF′
∴△OAE′≌△OBF′
∴AE′=BF
(2)作△AOE′的中线AM,如图3.
则OE′=2OM=2OD=2OA
∴OA=OM
∵α=30°
∴∠AOM=60°
∴△AOM为等边三角形
∴ MA=MO=ME′,∠=∠
又∵∠+∠=∠AMO
即2∠=60°
∴∠=30°
∴∠+∠AOE′=30°+60°=90°
∴△AOE′为直角三角形.
23. (2011江苏南京,21,7分)如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.
⑴求证:△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:四边形ABEC是矩形.
[答案]证明:⑴∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF.
∵EC=DC, ∴AB=EC.
在△ABF和△ECF中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,
∴⊿ABF≌⊿ECF.
(2)解法一:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∴AF=EF, BF=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D,又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC.
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB.
∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC.∴口ABEC是矩形.
解法二:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE.
又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠BCE,
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,∴∠ FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD.
又∵CE=DC,∴AC⊥DE.即∠ACE=90°.
∴口ABEC是矩形.
22. (2011四川广安,23,8分)如图5所示,在菱形ABCD中,∠ABC= 60°,DE∥AC交BC的延长线于点E.求证:DE=BE
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[答案]证明:∵ABCD是菱形,∠ABC= 60°
∴BC=AC=AD
又∵DE∥AC ∴ACED为平行四边形
∴CE=AD=BC DE=AC
∴DE=CE=BC
∴DE=BE
21. (2011山东潍坊,18,8分)已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC、BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F.
(1)如图1,当P点在线段AB上时,求PE+PF的值;
(2)如图2,当P点在线段AB的延长线上时,求PE-PF的值.
[解](1)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理PE//BD.
∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.
又∵∠PBF=45°,∴PF=BF.
∴PE+PF=OF+FB=OB=.
(2)∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD,∴PF//AC,同理PE//BD.
∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.
又∵∠PBF=45°,∴PF=BF.
∴PE-PF=OF-BF= OB=.
20.(2011山东聊城,25,12分)如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm,点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当点F追上点G(即点F与点G重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时,△EFG的面积为S(cm2).
(1)当t=1秒时,S的值是多少?
(2)写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围.
(3)若点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似?请说明理由.
[答案](1)如图甲,当t=1秒时,AE=2,EB=10,BF=4,FC=4,CG=2,由S=S梯形EGCG-SEBF-SFCG=(10+2)×8-×10×4-×4×2=24
(2)如图(甲),当0≤t≤2时,点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动,此时AE=2t,EB=12-2t,BF=4t,FC=8-4t,S=8t2-32t+48(0≤t≤2)
(3)如图乙,当点F追上点G时,4t=2t=8,解得t=4,当2<t≤4时,CF=4t-8,CG=2t,FG=CG-CF=8-2t,即S=-8t+32(2<t≤4),
(3)如图(甲),当点F在矩形的边BC上移动时,0≤t≤2,在EFF和FCG中,B=C=90,,①若,即,解得t=,又t=满足0≤t≤2,所以当t=时△EBF∽△GCF②若,即,解得t=,又t=满足0≤t≤2,所以当t=时△EBF∽△GCF,综上知,当t=或时,以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似
19. (2011山东济宁,17, 5分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,分别交AD、BC于点E和点F,求证:四边形BEDF是菱形.
[答案]证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,OB=OD,…………………………………………1分
∴∠EDO=∠FBO,∠OED=∠OFB,…………………………2分
∴△OED≌△OFB,
∴DE=BF,………………………………………………………3分
又∵DE∥BF,
∴四边形BEDF是平行四边形,………………………………4分
∵EF⊥BD,
∴四边形BEDF是菱形.………………………………………5分
18. (2011江苏泰州,28,12分)在平面直角坐标系xoy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限.
(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标;
(2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;
(3)设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围,并说明理由.
[答案]解:(1)当∠BAO=45°时,∠PAO=90°,在Rt⊿AOB中,OA=AB=,在Rt⊿APB中,PA=AB=。∴点P的坐标为(,)
(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N,则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°,∴∠MPA=∠NPB,又PA=PB,∴△PAM≌△PBN,∴PM=PN,于是,点P都在∠AOB的平分线上;
(3)<h≤。当点B与点O重合时,点P到AB的距离为,然后顶点A在x轴正半轴上向左运动,顶点B在y轴正半轴上向上运动时,点P到AB的距离逐渐增大,当∠BAO=45°时,PA⊥x轴,这时点P到AB的距离最大为,然后又逐渐减小到,∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ,∴点P到x轴的距离的取值范围是<h≤。
17. (2011江苏泰州,24,10分)如图,四边形ABCD是矩形,直线L垂直平分线段AC,垂足为O,直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F.
(1)△ABC与△FOA相似吗?为什么?
(2)试判定四边形AFCE的形状,并说明理由.
[答案](1)相似.由直线L垂直平分线段AC,所以AF=FC,∴∠FAC=∠ACF,又∵∠ABC=∠AOF=90°,∴△ABC∽FOA.
(2)四边形AFCE是菱形。理由:∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO,又∵AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF,又AE∥CF,∴四边形AFCE为平行四边形,又AF=FC,所以平行四边形AFCE为菱形.
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