4. (2011湖北鄂州，18，7分)如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

[答案]连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=5

3. (2011山东日照，23，10分)如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

(1)求证：DE平分∠BDC；

(2)若点M在DE上，且DC=DM，

求证： ME=BD．

　[答案](1)在等腰直角△ABC中，

∵∠CAD=∠CBD=15^o，

∴∠BAD=∠ABD=45^o-15^o=30^o，

∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，

∴∠DCA=∠DCB=45^o．

由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30^o+30^o=60^o，

∠EDC=∠DAC+∠DCA=15^o+45^o=60^o，

∴∠BDM=∠EDC，

∴DE平分∠BDC；　

(2)如图，连接MC，

∵DC=DM，且∠MDC=60°，

∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．

又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，

∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，

∴∠EMC=∠ADC．　　　　　　　　　　

又∵CE=CA，

∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．　　　　　　　　

2. (2011山东德州19,8分)如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．

(1)求证AD=AE；(2) 连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

[答案](1)证明：在△ACD与△ABE中，

∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，

∴ △ACD≌△ABE．…………………… 3分

∴ AD=AE．　 　　　……………………4分

(2) 互相垂直　　 　　……………………5分

在Rt△ADO与△AEO中，

∵OA=OA，AD=AE，

∴ △ADO≌△AEO．　　　　　　　 ……………………………………6分

∴ ∠DAO=∠EAO．

即OA是∠BAC的平分线．　　　　 　………………………………………7分　

又∵AB=AC，

∴ OA⊥BC．　　　 　　　　　　　　………………………………………8分

1. (2011广东东莞，21，9分)如图(1)，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图(2).

(1)问：始终与△AGC相似的三角形有　　　　 及　　　　 ；

(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据2的情况说明理由)；

(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

[解](1)△HGA及△HAB；

　 (2)由(1)可知△AGC∽△HAB

∴，即，

所以，

(3)当CG＜时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH

∵AG＜AC，∴AG＜GH

又AH＞AG，AH＞GH

此时，△AGH不可能是等腰三角形；

当CG=时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；

此时，GC=，即x=

当CG＞时，由(1)可知△AGC∽△HGA

所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH

若AG=AH，则AC=CG，此时x=9

综上，当x=9或时，△AGH是等腰三角形．

12. (2011广东茂名，14，3分)如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝　　　　　　 度．

[答案]15

11. (2011贵州贵阳，15，4分)如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．

(第15题图)

　　 [答案]

10．(2011湖南邵阳，11，3分)如图(四)所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。

[答案]80°。

9. (2011四川乐山16，3分)如图，已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA=OB，连结AB，在BA、BB上分别取点A、B，使B B= B A，连结A B…按此规律上去，记∠A B B=，∠，…，∠

则⑴=　　　　　　 ；　 ⑵ =　　　　　　　　 。

[答案]⑴　 ⑵

8. (2011湖南怀化，13，3分)如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=__________________.

[答案]4

7. (2011山东济宁，15，3分)如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则　　 　　　　．

[答案]