题目列表(包括答案和解析)

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15. (2011湖北襄阳,23,7分)

如图7,在⊙O中,弦BC垂直于半径OA,垂足为ED是优弧上一点,连接BDADOC,∠ ADB=30°.

(1)求∠AOC的度数;

(2)若弦BC=6cm,求图中阴影部分的面积.

[答案](1)∵弦BC垂直于半径OA

BECE, =·············································································· 1分

又∵∠ADB=30°,∴∠AOC=60°.············································· 2分

(2)∵BC=6,∴.

RtOCE中,.·················································· 3分

··················································· 4分

连接OB.  ∵ =  

∴∠BOC=2∠AOC=120°··································································· 5分

S阴影S扇形OBCSOBC

            =   6分

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14. (2011贵州贵阳,22,10分)

在平行四边形ABCD中,AB=10,∠ABC=60°,以AB为直径作⊙O,边CD切⊙O于点E

(1)圆心OCD的距离是______;(4分)

(2)求由弧AE、线段ADDE所围成的阴影部分的面积.(结果保留π和根号)(6分)

(第22题图)

[答案]解:(1)连接OE

CD切⊙O于点E                                                 

OECD

OE的长度就是圆心OCD的距离.

AB是⊙O的直径,OE是⊙O的半径,

OE=AB=5.

即圆心⊙到CD的距离是5.

(2)过点AAFCD,垂足为F

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠B=∠D=60°,ABCD

ABCDOECDAFCD

OA=OE=AF=EF=5.

在Rt△ADF中,∠D=60°,AF=5,

DF=,

DE=5+.

在直角梯形AOED中,OE=5,OA=5,DE=5+,

S梯形AOED=×(5+5+)×5=25+.

∵∠AOE=90°,

S扇形OAE=×π×52=π.

S阴影= S梯形AOED- S扇形OAE=25+-π.

即由弧AE、线段ADDE所围成的阴影部分的面积为25+-π.

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13. (2011山东临沂,23,9分)如图,以O为圆心的圆与△AOB的边AB相切于点C,与OB相交于点D,且OD=BD.已知sinA=,AC=

(1)求⊙O的半径;

(2)求图中阴影部分的面积.

 

[解](1)连接OC,设OC=r,

∵AC与⊙O相切,

∴OC⊥AC.………………………………………………………………………(1分)

∵sinA=

∴OA=r,………………………………………………………………………(2分)

∴AC2=OA2-OC2

r2-r2=21,……………………………………………………………………( 3分)

∴r=2,即⊙O的半径为2.………………………………………………………( 4分)

(2)连接CD,

∵OD=BD,OC⊥BC,

∴CD=OD=OC,………………………………………………………………( 5分)

∴∠COD=60°,………………………………………………………………(6分)

∴BC=OC=2,………………………………………………………(7分)

∴S阴影=SOCB-S扇形OCD

×2×2π·22

=2π.………………………………………………………………(9分)

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11. (2011广东省,14,6分)如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-4,0),⊙P的半径为2,将⊙P沿着x轴向右平稳4个长度单位得⊙P1.

(1)画出⊙P1,并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系;

(2)设⊙P1x轴正半轴,y轴正半轴的交点为AB,求劣弧与弦AB围成的图形的面积(结果保留)

[答案](1)如图所示,两圆外切;

(2)劣弧的长度

劣弧和弦围成的图形的面积为

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10.(2011湖南怀化,23,10分) 如图,已知AB为⊙O的直径,CD是弦,AB⊥CD于E,OF⊥AC于F,BE=OF.

(1)   求证:OF∥BC;

(2)   求证:△AFO≌△CEB;

(3)   若EB=5cm,CD=cm,设OE=x,求x值及阴影部分的面积.

[答案]

解:(1)∵AB为⊙O的直径

∴∠ACB=90°

又∵OF⊥AC于F,∴∠AFO=90°,

∴∠ACB=∠AFO

∴OF∥BC

(2)由(1)知,∠CAB+∠ABC=90°

由已知AB⊥CD于E可得 ∠BEC=90°,∠CBE+∠ABC=90°

∴∠CBE=∠CAB

又∠AFO=∠BEC,BE=OF

∴△AFO≌△CEB

 (3)∵AB为⊙O的直径,CD是弦,AB⊥CD于E

  ∴∠OEC=90°,CE=CD=

在Rt△OCE中,设OE=x,OB=5+x=OC

由勾股定理得:OC2=OE2+EC2

∴(5+x)2 解得x=5.

在Rt△OCE中

tan∠COE=

∵∠COE为锐角

∴∠OEC=60°

由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为:

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9. (2011福建福州,15,4分)以数轴上的原点为圆心,为半径的扇形中,圆心角,另一个扇形是以点为圆心,为半径,圆心角,点在数轴上表示实数,如图5.如果两个扇形的圆弧部分()相交,那么实数的取值范围是        

[答案].  

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8. (2011福建福州,20,12分)如图9,在中,,边上一点,以为圆心的半圆分别与边相切于两点,连接.已知,.

求:(1)

  (2)图中两部分阴影面积的和.

[答案]解:(1)连接

分别切两点

又∵

∴四边形是矩形

∴四边形是正方形

,

∴在中,

(2)如图,设⊙O与交于两点.由(1)得,四边形是正方形

   

∵在中,,

    ∴

∴图中两部分阴影面积的和为

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7. (2011江苏连云港,26,12分)

已知∠AOB=60º,半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动,与边OA相切的切点记为点C.

(1)⊙P移动到与边OB相切时(如图),切点为D,求劣弧的长;

(2)⊙P移动到与边OB相交于点E,F,若EF=cm,求OC的长.

       第26题

[答案]如图连结PD,PC,且PD⊥OB,PC⊥OA,∵∠AOB=60º,∴∠DPC=120º,由弧长公式可知.

(2)

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6. (2011湖南邵阳,23,8分)数学课堂上,徐老师出示了一道试题:

如图(十)所示,在正三角形ABC中,M是BC边(不含端点B,C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠ACP的平分线上一点,若∠AMN=60°,求证:AM=MN。

(1)经过思考,小明展示了一种正确的证明过程,请你将证明过程补充完整。

证明:在AB上截取EA=MC,连结EM,得△AEM。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN,∠2=180°-∠AMB -∠B,∠AMN=∠B=60°,

∴∠1=∠2.

又∵CN、平分∠ACP,∴∠4=∠ACP=60°。

∴∠MCN=∠3+∠4=120°。………………①

又∵BA=BC,EA=MC,∴BA-EA=BC-MC,即BE=BM。

∴△BEM为等边三角形,∴∠6=60°。

∴∠5=10°-∠6=120°。………………②

由①②得∠MCN=∠5.

在△AEM和△MCN中,

∵__________,____________,___________,

∴△AEM≌△MCN(ASA)。

∴AM=MN.

(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图),N1是∠D1C1P1的平分线上一点,则当∠A1M1N1=90°时,结论A1M1=M1N1是否还成立?(直接给出答案,不需要证明)

(3)若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”,请你猜想:当∠AnMnNn=______°时,结论AnMn=MnNn仍然成立?(直接写出答案,不需要证明)

[答案]解:(1)∠5=∠MCN,AE=MC,∠2=∠1;

(2)结论成立;

(3)

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5. (2011福建泉州,23,9分)如图,在中,,上一点,以为圆心的半圆分别与边相切于两点,连接.已知,.求:

(1)

(2)图中两部分阴影面积的和.

[答案]解:(1)连接

分别切两点

又∵

∴四边形是矩形

∴四边形是正方形. .................................(2分)

,

∴在中,

. .................................(5分)

 (2)如图,设交于两点.由(1)得,四边形是正方形

    ∴

∵在中,,

. .................................(7分)

    ∴

∴图中两部分阴影面积的和为............  9分

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