5．已知、是两个不共线的向量，若它们起点相同，、、t(+)三向量的终点在一直线上，则实数t=_________.

[解析]如图, ∵、、t(+)三向量的终点在一直线上,

∴存在实数使:t(+)-=(-)

得(t-)=(--t)

又∵、不共线，∴t-=0且--t=0

解得t=

2、这是一个重要结论，要牢记。

题型2: 用向量法解决几何问题

　[例6] 已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，

求证：+++=4

[解题思路]：由平行四边形的对角线互相平分和相等向量的定义可得。

解析：证明：∵E是对角线AC和BD的交点

　　　　 ∴==- ,==-

　在△OAE中，+=

同理　 += ， += ，+=

以上各式相加，得　 +++=4

[名师指引]用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译

[新题导练]

1、逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识．

4．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，求，．

解析： =+ = －3a+2b，

因D、E为的两个三等分点，

故==－a+b 　=，

　=+=3a－a+b =2a+b，

=+=2a+b－a+b=a+b．

考点三: 向量数乘运算及其几何意义

题型1: 三点共线问题

[例4] 设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值

[解题思路]：证明存在实数，使得

解析：,　 使

得

[例5] 已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使=m+n，且m+n=1．

[解题思路]： A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在 实数λ，使得=λ．很显然，题设条件中向量表达式并未涉及、，对此，我们不妨利用 =+ 来转化，以便进一步分析求证．

解析：证明　 充分性，由=m+n， m+n=1，　 得

　 +=m+n(+)

　 =(m+n)+n=+n，

　　 ∴=n．

∴A、B、C三点共线．

必要性:由A、B、C 三点共线知，存在常数λ，使得=λ，　　

即　 +=λ(+)．

=(λ－1)+λ=(1－λ)+λ，

m=1－λ，n=λ，m+n=1，

　=m+n．

[名师指引]

3．若3m+2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.

解析：记3m+2n＝a①　　　 m－3n＝b②

3×②得3m－9n＝3b③

①－③得11n＝a－3b.　　 ∴n＝a－b④

将④代入②有：m＝b+3n＝a+b

2．下列命题正确的是(　　 )　

A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线　

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点　

C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量　

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.

考点二: 向量的加、减法

题型1: 考查加加、减法运算及相关运算律

[例2] 化简

[解题思路]：考查向量的加、减法，及相关运算律。

解法一(统一成加法)

=

=

解法二(利用)

=

　　　　　　　　　　　　　　 =

　　　　　　　　　　　　　　 =

解法三(利用)

设O是平面内任意一点，则=

=

=

[名师指引]掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律．

题型2: 结合图型考查向量加、减法

[例3] (2008·广州市一模)在所在的平面上有一点，满足

，则与的面积之比是(　 )

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

[解题思路]： 本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解．

[解析]由,得,

即,所以点是边上的第二个三等分点,如图所示.

故．

[名师指引]三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．

[新题导练]

1． 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.　

①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；　

②单位向量都相等；　

③任一向量与它的相反向量不相等；　

④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝

⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；　

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.

④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.

评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.

3.重难点：.

问题1: 　相等向量与平行向量的区别

答案：向量平行是向量相等的必要条件。

问题2:向量平行(共线)与直线平行(共线)有区别

答案：直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括共线(重合)的情况。

问题3：对于两个向量平行的充要条件：

a∥ba=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.

问题4；向量与有向线段的区别：

(1)向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一： 向量及与向量相关的基本概念

题型1. 概念判析

[例1]判断下列各命题是否正确

(1)零向量没有方向　　　　　　　　　　　　　　 (2)若

(3)单位向量都相等　　　　　　　　　　　　　　 (4) 向量就是有向线段

(5)两相等向量若共起点,则终点也相同　　　　　　 (6)若，，则；

(7)若，，则　　　　　　　　　 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则

(9) 的充要条件是且；

[解题思路]：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。

解析：解：(1) 不正确，零向量方向任意,　 (2) 不正确，说明模相等,还有方向　　 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多　　 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式　　 　(5)正确，　 (6)正确，向量相等有传递性　　 (7)不正确，因若，则不共线的向量也有，。(8) 不正确, 如图　　 (9)不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到；

[名师指引]对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。

[新题导练]

2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．

1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．