12．如图，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且

(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；

(2)如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数λ使？请给出证明．

解：(1)以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0)，椭圆方程可设为+＝1(0<b<2)．

而O为椭圆中心，由对称性知|OC|＝|OB|.

又，所以AC⊥BC.

又，所以|OC|＝|AC|，

所以△AOC为等腰直角三角形，所以点C的坐标为(1,1)．

将(1,1)代入椭圆方程得b²＝，

则椭圆方程为+＝1.

(2)由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，直线CP的方程为y－1＝k(x－1)，直线CQ的方程为y－1＝－k(x－1)．由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得

(1+3k²)x²－6k(k－1)x+3k²－6k－1＝0.①

因为C(1,1)在椭圆上，所以x＝1是方程①的一个根，于是

x_P＝，同理x_Q＝.

这样，k_PQ＝＝.

又B(－1，－1)，所以k_AB＝，

即k_AB＝k_PQ.所以PQ∥AB，即存在实数λ使.

评析：利用斜率互为相反数关系，采用整体替换，简化了解题过程．

11．已知椭圆C：+＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意

∴b＝1.∴所求椭圆方程为+y²＝1.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

①当AB⊥x轴时，|AB|＝，

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m.由已知＝，得m²＝(k²+1)，把y＝kx+m代入椭圆方程，整理得

(3k²+1)x²+6kmx+3m²－3＝0

∴x₁+x₂＝，x₁x₂＝.

∴|AB|²＝(1+k²)(x₂－x₁)²

＝(1+k²)

＝＝

＝3+＝3+(k≠0)

≤3+＝4.

当且仅当9k²＝，即k＝±时等号成立|AB|＝2.

当k＝0时，|AB|＝，

综上所述，|AB|_max＝2.

∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值，

S＝×|AB|_max×＝.

点评：一般地，在涉及直线与曲线交点的问题时，先设出交点的坐标，再由方程组转化的一元二次方程中，利用根与系数的关系转化为待求的系数方程，像这种设交点坐标但不具体求出的方法称为“设而不求”．

10．(2010·皖南八校)已知A、B为椭圆C：+＝1的长轴的两个端点，P是椭圆C上的动点，且∠APB的最大值是，则实数m的值是________．

解析：由椭圆知识知，当点P位于短轴的端点时∠APB取得最大值，根据题意则有tan＝⇒m＝.

答案：

9．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径忽略不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是________．

解析：设靠近A的长轴端点为M，另一长轴的端点为N.若小球沿AM方向运动，则路程应为2(a－c)；若小球沿AN方向运动，则路程为2(a+c)；若小球不沿AM与AN方向运动，则路程应为4a.

答案：4a或2(a－c)或2(a+c)

8．已知椭圆+＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁(－c,0)、F₂(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．

解析：e＝＝＝＝＝－1.

∵|PF₂|<a+c，

∴e＝－1>－1，

即e>－1，∴e²+2e－1>0.

又∵0<e<1，∴－1<e<1.

答案：(－1,1)

7．F₁、F₂是椭圆+＝1的左、右两焦点，P为椭圆的一个顶点，若△PF₁F₂是等边三角形，则a²＝________.

解析：由题意，因为△PF₁F₂是等边三角形，故2c＝a，又b＝3，所以a²＝12.

答案：12

6．设椭圆+＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax²+bx－c＝0的两个实根分别为x₁和x₂，则点P(x₁，x₂)(　)

A．必在圆x²+y²＝2内

B．必在圆x²+y²＝2上

C．必在圆x²+y²＝2外

D．以上三种情形都有可能

解析：∵x₁+x₂＝－，x₁·x₂＝－，

∴x+x＝(x₁+x₂)²－2x₁·x₂＝+＝，

∵e＝＝，∴c＝a，

∴b²＝a²－c²＝a²－²＝a²，

∴x+x＝＝<2.

∴P(x₁，x₂)在圆x²+y²＝2内．故应选A.

答案：A

5．椭圆M：+＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆M上任一点，且最大值的取值范围是，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是(　)

A.　 　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　 D.

解析：设与的夹角为θ，由于

　cosθ≤，的夹角为0°时取“＝”．

所以的最大值为(a+c)(a－c)，

因此c²≤a²－c²≤3c²，所以e²≤1－e²≤3e².又e∈(0,1)，

所以e∈.故选B.

答案：B

4．B₁、B₂是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F₁作长轴的垂线交椭圆于P，若|F₁B₂|是|OF₁|和|B₁B₂|的等比中项，则的值是(　)

A.　 　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　 D.

解析：设椭圆方程为+＝1(a>b>0)，

令x＝－c得y²＝，∴|PF₁|＝，

∴＝＝，

又由|F₁B₂|²＝|OF₁|·|B₁B₂|得a²＝2bc，

∴a⁴＝4b²(a²－b²)，

∴(a²－2b²)²＝0，∴a²＝2b²，∴＝.

答案：B

3．(2010·长沙模拟)已知F₁、F₂分别为椭圆C：+＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若△ABF₂为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为(　)

A．(0，－1)　　　　 B．(0，－1)

C．(－1,1)　 　　　　　　　　　　　　 D．(－1,1)

解析：由△ABF₂为钝角三角形，得AF₁>F₁F₂，∴>2c，化简得c²+2ac－a²<0，∴e²+2e－1<0，又0<e<1，解得0<e<－1，选A.

答案：A