9．已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA、PB是圆x²+y²－2x－2y+1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为________．

解析：设P点坐标为(x，y)，则|PC|＝

.由勾股定理及|AC|＝1，得|PA|＝＝，

从而S_{四边形PACB}＝2S_△PAC＝2·|PA|·|AC|

＝|PA|＝.

故欲求S_{四边形PACB}的最小值，只需求|PA|的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)的距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x+4y+8＝0的距离的平方．即这个最小值d²＝²＝9，

∴S_{四边形PACB最小值}＝＝2.

答案：2

8．与直线x+y－2＝0和曲线x²+y²－12x－12y+54＝0都相切的、半径最小的圆的标准方程是________．

解析：∵圆A：(x－6)²+(y－6)²＝18，

∴A(6,6)，半径r₁＝3，

∵当圆心A、B和切点在一条直线时，半径最小，　　　

∴A到l的距离为5，

∴所求圆B的直径2r₂＝5－r₁＝2，

即r₂＝.

又|OB|＝|OA|－r₂－r₁＝2，

由与x轴正半轴成角45°，∴B(2,2)．

∴所求方程为(x－2)²+(y－2)²＝2.

答案：(x－2)²+(y－2)²＝2

7．(2009·长沙模拟)已知两圆x²+y²＝10和(x－1)²+(y－3)²＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．

解析：圆的方程(x－1)²+(y－3)²＝20可化为x²+y²－2x－6y＝10，　　　　　 ①

又x²+y²＝10，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①－②得2x+6y＝0，即x+3y＝0.

答案：x+3y＝0

6．已知集合A＝，集合B＝{(x，y)|x²+(y－a)²≤1}，若A∩B＝B，则a的取值范围是(　)

A．[2，+∞)

B．(－∞，－2]

C．[－2,2]

D．(－∞，－2]∪[2，+∞)

解析：只有当圆心(0，a)到直线y＝x的距离d≥r＝1且在y＝x右下方，方能使A∩B＝B，即≥1，即a≥2或a≤－2，又点(0，a)需在y＝x右下方，所以a≤－2.

答案：B

5．(2010·潍坊模拟)对于a∈R，直线(a－1)x－y+a+1＝0恒过定点C，则以C为圆心，以为半径的圆的方程为(　)

A．x²+y²－2x+4y＝0　　　　　　　 B．x²+y²+2x+4y＝0

C．x²+y²+2x－4y＝0　 　　　　　　　　　 D．x²+y²－2x－4y＝0

解析：直线方程可化为(x+1)a－x－y+1＝0，易得直线恒过定点(－1,2)．故所求圆的方程为(x+1)²+(y－2)²＝5，即为x²+y²+2x－4y＝0.

答案：C

4．两个圆C₁：x²+y²+2x+2y－2＝0，C₂：x²+y²－4x－2y+1＝0的公切线的条数为(　)

A．1条　 　　　　　　　　　　 B．2条

C．3条　 　　　　　　　　　　 D．4条

解析：C₁：(x+1)²+(y+1)²＝4，

C₂：(x－2)²+(y－1)²＝4.

圆心距d＝|C₁C₁|

＝＝.

|r₁－r₂|<d<r₁+r₂，

∴两圆C₁与C₂相交，有两条公切线，故选B.

答案：B

3．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x+y＝0上，则圆C的方程为(　)

A．(x+1)²+(y－1)²＝2

B．(x－1)²+(y+1)²＝2

C．(x－1)²+(y－1)²＝2

D．(x+1)²+(y+1)²＝2

解析：本题考查了直线与圆的位置关系和求解圆的方程问题．因为两条直线x－y＝0与x－y－4＝0平行，故它们之间的距离为圆的直径，即2r＝，所以r＝.

设圆心坐标为P(a，－a)，则满足点P到两条切线的距离都等于半径，所以＝＝，解得a＝1，故圆心为(1，－1)，所以圆的标准方程为(x－1)²+(y+1)²＝2，故选B.

答案：B

2．已知圆C₁：(x+1)²+(y－1)²＝1，圆C₂与圆C₁关于直线x－y－1＝0对称，则圆C₂的方程为(　)

A．(x+2)²+(y－2)²＝1

B．(x－2)²+(y+2)²＝1

C．(x+2)²+(y+2)²＝1

D．(x－2)²+(y－2)²＝1

解析：∵圆C₁：(x+1)²+(y－1)²＝1，

∴圆C₁是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆．

又∵点(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点为(2，－2)，

∴圆C₂的方程为(x－2)²+(y+2)²＝1，故选B.

答案：B

1．经过圆x²+2x+y²＝0的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是(　)

A．x－y+1＝0　　　　 B．x－y－1＝0

C．x+y－1＝0　 　　　　　　　　　　　 D．x+y+1＝0

解析：本题考查圆的基础知识、两直线的位置关系及直线方程的求法．由于圆x²+2x+y²＝0的圆心为C(－1,0)，而与直线x+y＝0垂直的直线的斜率为1，故所求直线方程为y＝x+1，即x－y+1＝0，故选A.

答案：A

13．设F₁、F₂分别为椭圆C：+＝1(a>b>0)的左、右两个焦点．

(1)若椭圆C上的点A(1，)到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程；

(3)若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时．

求证：k_PM·k_PN是与点P位置无关的定值．

解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.

又点A在椭圆上，

因此+＝1得b²＝3，

于是c²＝1.

所以椭圆C的方程为+＝1，

焦点F₁(－1,0)，F₂(1,0)．

(2)设椭圆C上的动点为K(x₁，y₁)，线段F₁K的中点Q(x，y)满足：

x＝，y＝，

即x₁＝2x+1，y₁＝2y.因此+＝1.

即²+＝1为所求的轨迹方程．

(3)设点M(m，n)是椭圆+＝1①

上的任一点，N(－m，－n)是M关于原点的中心对称点，则+＝1②

又设P(x，y)是椭圆上任一点，且k_PM·k_PN存在．

则k_PM＝，k_PN＝，

∴k_PM·k_PN＝·＝.

①－②得+＝0，＝－，

∴k_PM·k_PN＝－.

故k_PM·k_PN与P的取值无关．

、