3．要证：a²+b²－1－a²b²≤0，只要证明(　)

A．2ab－1－a²b²≤0

B．a²+b²－1－≤0

C.－1－a²b²≤0

D．(a²－1)(b²－1)≥0

解析：因为a²+b²－1－a²b²≤0⇔(a²－1)(b²－1)≥0，故选D.

答案：D

2．已知x₁>0，x₁≠1且x_n+1＝(n＝1,2，…)，试证：“数列{x_n}对任意的正整数n，都满足x_n>x_n+1，”当此题用反证法否定结论时应为(　)

A．对任意的正整数n，有x_n＝x_n+1

B．存在正整数n，使x_n≤x_n+1

C．存在正整数n，使x_n≥x_n－1，且x_n≥x_n+1

D．存在正整数n，使(x_n－x_n－1)(x_n－x_n+1)≥0

解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{x_n}对任意的正整数n，都满足x_n>x_n+1”的否定为“存在正整数n，使x_n≤x_n+1”，故选B.

答案：B

1．命题“对于任意角θ，cos⁴θ－sin⁴θ＝cos2θ”的证明：“cos⁴θ－sin⁴θ＝(cos²θ－sin²θ)(cos²θ+sin²θ)＝cos²θ－sin²θ＝cos2θ”过程应用了(　)

A．分析法

B．综合法

C．综合法、分析法综合使用

D．间接证明法

解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．

故选B.

答案：B

13．已知三条直线，直线l₁：2x－y+a＝0(a>0)，直线l₂：－4x+2y+1＝0和直线l₃：x+y－1＝0，且l₁与l₂的距离是．

(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l₁的距离是P点到l₂的距离的；③P点到l₁的距离与P点到l₃的距离之比是．若能，求P点坐标；若不能，说明理由．

分析：利用两平行直线间的距离公式、点到直线的距离公式以及解方程组等基础知识．

解：(1)l₂的方程即2x－y－＝0，

∴l₁与l₂的距离d＝，

∴

∵a>0，∴a＝3；

(2)设点P(x₀，y₀)，若P点满足条件②，则P点在与l₁、l₂平行的直线l′：2x－y+C＝0上，

且，即

∴2x₀－y₀+＝0或2x₀－y₀+＝0；

若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，

有

即|2x₀－y₀+3|＝|x₀+y₀－1|，

∴x₀－2y₀+4＝0或3x₀+2＝0；

由P在第一象限，∴3x₀+2＝0不可能；

联立方程?

由?

∴即为同时满足三个条件的点．

12．(1)是否存在直线l₁：(m²+4m－5)x+(4m²－4m)y＝8m与直线l₂：x－y＝1平行？若存在，求出直线l₁的方程，若不存在，说明理由．

(2)若直线l₃：(a+2)x+(2－a)y＝1与直线l₄：(a－2)x+(3a－4)y＝2互相垂直，求出两直线l₃与l₄的方程．

分析：先求参数，有解则写出方程，并注意分类讨论．

解：(1)假设存在直线l₁与l₂平行．

∵l₂的斜率为1，l₁∥l₂，∴l₁的斜率必为1.

由4m²－4m≠0且－＝1可解得m＝－1.

但m＝－1时，l₁：x－y＝1与l₂重合．

故不存在直线l₁与l₂平行．

(2)当a＝2时，l₃：x＝，l₄：y＝1.∴l₃⊥l₄.

当a＝时，l₃：y＝－5x+，l₄：x＝－3.

∴l₃不垂直于l₄.

当a≠2且a≠时，k₃＝，k₄＝．

由k₃·k₄＝－1可得＝－1.解得a＝3.

因此，当a＝2或a＝3时，l₃⊥l₄.

当a＝2时，l₃：x＝，l₄：y＝1；

当a＝3时，l₃：5x－y－1＝0，l₄：x+5y－2＝0.

评析：(1)两直线的斜率相等，两直线并不一定平行，只有当它们的纵截距不相等时，两直线才平行．(2)若两直线斜率的乘积为－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，两直线也垂直．

11．已知两直线l₁：mx+8y+n＝0和l₂：2x+my－1＝0.试确定m、n的值，分别使

(1)l₁与l₂相交于点P(m，－1)；

(2)l₁∥l₂；

(3)l₁⊥l₂且l₁在y轴上的截距为－1.

解：(1)∵m²－8+n＝0且2m－m－1＝0，

∴m＝1，n＝7.

(2)由m·m－8×2＝0得m＝±4.

由8×(－1)－n·m≠0得

即m＝4，n≠－2时或m＝－4，n≠2时，l₁∥l₂.

(3)当且仅当m·2+8·m＝0，即m＝0时，

l₁⊥l₂，又－＝－1，

∴n＝8.故当m＝0且n＝8时满足条件．

10．(2010·广州)点P(x，y)在直线x+y－4＝0上，则x²+y²的最小值是________．

解析：x²+y²可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短： d²＝8.

答案：8

9．(2010·江苏南通第二次调研)过点P(1,2)的直线l与两点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等，则直线l的方程为________．

解析：(1)当距离为0时，即A、B在直线l上，则有直线l过(1,2)，(2,3)，(4，－5)，经验证可知三点不在一条直线．

(2)当l与过AB的直线平行时，可知l的斜率k＝＝－4，

∴l：y－2＝－4(x－1)，即l：4x+y－6＝0.

(3)当l与过AB的直线相交时，可知l过(1,2)及AB的中点(3，－1)，

∴l：y－2＝，即3x+2y－7＝0.

答案：3x+2y－7＝0或4x+y－6＝0

8．若直线a₁x+b₁y+1＝0和a₂x+b₂y+1＝0的交点为P(2,3)，则过点Q₁(a₁，b₁)、Q₂(a₂，b₂)的直线方程为________．

解析：由点P在两直线上可得：2a₁+3b₁+1＝0,2a₂+3b₂+1＝0，这表明点(a₁，b₁)、(a₂，b₂)均在直线2x+3y+1＝0上，而过这两点的直线只有一条．

∴过点Q₁(a₁，b₁)、Q₂(a₂，b₂)的直线方程为2x+3y+1＝0.

答案：2x+3y+1＝0

7．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x+ay+c＝0之间的距离为，则的值为________．

解析：由题意得，

∴a＝－4，c≠－2，

则6x+ay+c＝0可化为3x－2y+＝0，

由两平行线间的距离公式，得

解得c＝2或－6，所以\f(c+2,a)＝±1.

答案：±1