10．(本小题满分12分)(2005年高考·湖北卷·理20)

　　　 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.　 (Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值；

(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.

本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.

解法1：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0，0，0)、

B(，0，0)、C(，1，0)、D(0，1，0)、

P(0，0，2)、E(0，，1)，

从而

设的夹角为θ，则

∴AC与PB所成角的余弦值为.

　 (Ⅱ)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，O，z)，则

，由NE⊥面PAC可得，

　 ∴

即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.

解法2：(Ⅰ)设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.

在△AOE中，AO=1，OE=

∴

即AC与PB所成角的余弦值为.

　(Ⅱ)在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.

连PF，则在Rt△ADF中

设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，

∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.

∴N点到AB的距离，N点到AP的距离

9．(本小题满分14分)(2005年高考·广东卷16)

如图3所示，在四面体P-ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.

　 (Ⅰ)证明：PB⊥平面CEF；

　 (Ⅱ)求二面角B-CE-F的大小.

(I)证明：∵，

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形．

同理可证：△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，

△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．

所以，PA⊥平面ABC．

又∵，

而，

故CF⊥PB,又已知EF⊥PB，

∴PB⊥平面CEF．

(II)由(I)知PB⊥CE,　 PA⊥平面ABC，

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE．

在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，

EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC，

故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角．

，

二面角B-CE-F的大小为．

8．(本小题满分12分)(2005年高考·福建卷·理20文21)

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE；

(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小；

(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.

本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想

象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分12分.

解法一：(Ⅰ)平面ACE.　 　

∵二面角D-AB-E为直二面角，且， 平面ABE.

(Ⅱ)连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.

是二面角B-AC-E的平面角.

由(Ⅰ)AE⊥平面BCE， 又，

∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.

又直角

，

∴二面角B-AC-E等于

(Ⅲ)过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D-AB-E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，　

∴点D到平面ACE的距离为

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O，OE所在直

线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行

于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系

O-xyz，如图.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中点，

　设平面AEC的一个法向量为，

则

　　　 解得

　　　 令得是平面AEC的一个法向量.

　　　 又平面BAC的一个法向量为，

　　　 ∴二面角B-AC-E的大小为

(III)∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

7．(本题满分12分)(2005年高考·上海卷·文17)

已知长方体中，M、N分别是和BC的中点，AB=4，AD=2，与平面ABCD所成角的大小为，求异面直线与MN所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

[解]联结B₁C，由M、N分别是BB₁和BC的中点，得B₁C//MN

∴∠DB₁C就是异面直线B₁D与MN所成的角.

联结BD，在Rt△ABD中，可得，

又BB₁⊥平面ABCD.

∠B₁DB是B₁D与平面ABCD的所成的角，

∴∠B₁DB=60°.

在Rt△B₁BD中，BB₁=BDtan60°=，

又DC⊥平面BB₁C₁C， ∴DC⊥B₁C，

在Rt△CB₁C中，

∴∠DB₁C=

即异面直线B₁D与MN所成角的大小为.

6．(本题满分12分)(2005年高考·上海卷·理17)

已知直四棱柱中，，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线与DC所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

[解法一]由题意AB//CD，是异面直线BC₁与DC所成的角.

连结AC₁与AC，在Rt△ADC中，可得，

又在Rt△ACC₁中，可得AC₁=3.

在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，

得

又在中，可得，

在

∴异而直线BC₁与DC所成角的大小为

[解法二]如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴建立直

角坐标系.

则C₁(0，1，2)，B(2，4，0)

所成的角为，

则

∴异面直线BC₁与DC所成角的大小为

5．(本小题共14分)(2005年高考·北京卷·文16)

　　　 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点.

　 (Ⅰ)求证AC⊥BC₁；

(Ⅱ)求证AC₁//平面CDB₁；

(Ⅲ)求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值.

解法一：

　 (Ⅰ)∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

　　　 ∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，

∴AC⊥BC­₁.

(Ⅱ)设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，

　∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，

　 ∴DE//AC₁，

　 ∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

　 ∴AC₁//平面CDB₁.

(Ⅲ)∵DE//AC₁，∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角，

　 在△CED中，ED=

　 ∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为

　 解法二：

　 ∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

　 ∴AC，BC，C₁C两两垂直.

　 如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，

　 y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

　 则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C₁(0，0，4)，B(0，4，0)，

　 B₁(0，4，4)，D(，2，0).

(Ⅰ)

(Ⅱ)设CB₁与C₁B的交点为E，则E(0，2，2).

(Ⅲ)

　　　 ∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为

4．(本小题共14分)(2005年高考·北京卷·理16)

　 如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，DC=，

AC⊥BD，垂足为E.

　 (Ⅰ)求证BD⊥A₁C；

　 (Ⅱ)求二面角A₁-BD-C_­1的大小；

(Ⅲ)求异面直线AD与BC₁所成角的大小.

解法一：

　 (Ⅰ)在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

∵A₁A⊥底面ABCD，

∴AC是A₁C在平面ABCD上的射影，

∵BD⊥AC， ∴BD⊥A₁C.

　 (Ⅱ)连结A₁E，C₁E，A₁C₁.

与(Ⅰ)同理可证BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，

∴∠A₁EC₁二面角A₁-BD-C₁的平面角.

∵AD⊥DC， ∴∠A₁D₁C₁=∠ADC=90°，

又A₁D₁=AD=2，D₁C₁=DC=2， AA₁=，且AC⊥BD，

∴A₁C₁=4，AE=1，EC=3，　 ∴A₁E=2，C₁E=2，

在△A₁EC₁中，A₁C₁²=A₁E²+C₁E²，　 ∴∠A₁EC₁=90°，

即二面角A₁-BD-C₁的大小为90°.

　 (Ⅲ)过B作BF//AD交AC于F，连结FC₁，

　　 则∠C₁BF就是AD与BC₁所成的角.

∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1，　 ∴BF=2，EF=1，FC=2，BC=DC，

∴FC₁=.　 在△BFC₁中，

∴

即异面直线AD与BC₁所成角的大小为.

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.

连结A₁E，C₁F，A₁C₁.

与(Ⅰ)同理可证，BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，

∴∠A₁EC₁为二面角A₁-BD-C₁的平面角.

(Ⅲ)如图，由D(0，0，0)，A(2，0，0)，C₁(0，，，)，B(3，，0)

∴异面直线AD与BC₁所成角的大小为arccos.

解法三：

(I)同解法一.

(II)如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E.

　　 连结A₁E，C₁E，A₁C₁.

　　 与(I)同理可证，BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，

　　 ∴∠A₁EC₁为二面角A₁-BD-C₁的平面角.

　　 由E(0，0，0)，A₁(0，－1，

.

　 　(Ⅲ)如图，由A(0，－1，0)，D(，0，0)，B(，0，0)，C₁(0，3，).

得.

∵

∴

∴异面直线AD与BC₁所成角的大小为arccos.

3. (本题满分14分) (2005年春考·上海卷19)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

　　 已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为.(1)证明：；

　　 (2)求底面中心到侧面的距离.

　 [证明](1)取边的中点，连接、，

　　　　　 则，，故平面.　　　　　　　　 …… 4分

　　　　　 ∴ .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 6分

　　 [解](2)如图， 由(1)可知平面平面，则是侧面与底面所成二面角的平面角.

　　 过点作为垂足，则就是点到侧面的距离.　　　　　　 …… 9分

设为，由题意可知点在上，

∴ ，.

, …… 11分

　　　　 ∴ ，

　　　　 ∵ ，∴ .

　　　 　即底面中心到侧面的距离为3.　　　　　　　　　　　　　　　 …… 14分

2．(本小题满分14分)(2005年春考·北京卷·文16)

如图，正三棱锥S-ABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点.求：

(Ⅰ)的值；

(Ⅱ)二面角S-BC-A的大小；

(Ⅲ)正三棱锥S-ABC的体积.

本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力．满分14分．

解：(Ⅰ)∵SB=SC，AB=AC，M为BC中点，

∴SM⊥BC，AM⊥BC.

由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即

(Ⅱ)作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，

∵SM⊥BC，AM⊥BC，

∴∠SMA是二面角S-BC-A的平面角.

在Rt△SGM中，

∵

∴∠SMA=∠SMG=60°，

即二面角S-BC-A的大小为60°。

(Ⅲ)∵△ABC的边长是3，

∴

∴

1．(本小题满分14分)(2005年春考·北京卷·理16)

如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、．将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M．求：

(1)二面角的大小；

(2)异面直线与所成角的大小(用反三角函数表示)．

本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力．满分14分．

解(Ⅰ)连接AM，A₁G

∵G是正三角形ABC的中心，

且M为BC的中点，

∴A，G，M三点共线，AM⊥BC．

∵B₁C₁∥BC，

∴B₁C₁⊥AM于G，

即GM⊥B₁C₁，GA₁⊥B₁C₁，

∴∠A₁GM是二面角A₁-B₁C₁-M的平面角．

∵点A₁在平面BB₁C₁C上的射影为M，

∴A₁M⊥MG，∠A₁MG=90°

在Rt△A₁GM中，由A₁G=AG=2GM得∠A₁GM=90°

即二面角A₁-B₁C₁-M的大小是60°

(Ⅱ)过B₁作C₁C的平行线交BC于P，则∠A₁B₁P等于异面直线A₁B₁与CC₁所成的角．

由PB₁C₁C是平行四边形得B₁P=C₁C=1=BP，

PM=BM-BP=A₁B₁=AB₁=2．

∵A₁M⊥面BB₁C₁C于M，

∴A₁M⊥BC，∠A₁MP=90°．

在Rt△A₁GM中，A₁M=A₁G·

在Rt△A₁MP中，

在△A₁B₁P中，由余弦定理得

，

∴异面直线A₁B₁与CC₁所成角的大小为arccos