32、给定一个圆锥和两个平面α、β，其中α∥β，且它们与圆锥底面平行，若平面α把圆锥侧面分成面积相等的两部分，平面β把圆锥分成体积相等的两部分，求夹在α、β间的几何体的体积与圆锥体积之比。

分析：本题涉及到截锥性质：截面积与底面积的比为对应元素的平方比，截得的圆锥的体积与原圆锥的体积之比是对应元素的立方比。

解：设给定圆锥的底面半径为R，高为H，则V_圆锥=πR²H；

设平面α、β与圆锥侧面相交所得两圆半径分别为r₁和r₂，

由截锥性质得：

显然r₂>r₁，即平面β比平面α离圆锥底面近些，又设截得的两圆锥的高分别是h₁和h₂，则夹在α、β间的圆台的高h，有：

h= h₂-h₁=；

V_圆台=π××()

=×πR²H

∴V_圆台：V_圆锥=

31、多面体表面积为S，外切于表面积为36π(平方单位)的球，求这个多面体的体积；

分析：可仿照平面几何类似问题，连结三角形的内切圆圆心和各个顶点的线段，将三角形面积分为三个部分，且有S=r(a+b+c)；

解：球的半径R=3，连结球心和多面体各个顶点 ，得到的锥体体积之和就是多面体的体积，这些锥体的高都是半径R，故V==S(立方单位)。

30、如图，四棱锥P-ABCD的侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∠DAB=∠CBA=90°，又AD=AB=BC，∠APB=arcsin，试求侧面APB与侧面CPD所成的角。

解：设AD=AB=BC=3a，由Rt△PAB≌Rt△PAD，∠APB=arcsin，得PD=PB=5a，PA=4a，延长CD、BA交于E，连PE，作BF⊥PE于F，连CF，可证BC⊥平面PBE，则CF⊥PE( 三垂线定理)，从而∠BFC是二面角B-PE-C的平面角，设其为θ； 显然AD是△EBC的中位线，∴EA=AB=3a，即EB=6a，可得PE=PB=5a 在△PBE中，用面积关系得：PE×BF=BE×PA

∴BF= 由Rt△BCF，，∴；

本题还可以用射影面积法。

29、三棱锥P-ABC中，三侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，三侧面面积分别为S₁、S₂、S₃，底面积为S，三侧面与底面分别成角α、β、γ，(1)求S(用S₁、S₂、S₃表示)；(2)求证：cos²α+cos²β+cos²γ=1；

解：设PA=a，PB=b，PC=c，则S₁=ab ，S₂=bc，S₃=ca， 作PD⊥BC于D，连AD，易证BC⊥平面PAD，

于是BC⊥AD；S_△ABC=BC×AD，在Rt△APD中，AD²=a²+PD²， 在Rt△BPC中，PD²=， ∴AD²=a²+ ∴S_△ABC²=(BC×AD)²=(a²b²+b²c²+c²a²)= ∴

证明：由(1)知，PD⊥BC，AD⊥BC，∴∠PDA是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角，不妨设∠PDA=α， PD²=，AD²= ∴cos²α=；同理cos²β=； cos²γ= ；∴cos²α+cos²β+cos²γ=1

28、过点S引三条长度相等不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，

∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC。

证明：作AO⊥平面SBC，O为垂足，

∵SA=SB，∠ASB=60°，∴AB=AS，同理AS=AC，∴AB=AS=AC，∴O为△BSC的外心，又∠BSC=90°，故O为BC中点，即AO在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BSC。

27、如图，四棱锥V-ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，

又∠BCV=∠BAV=90°，求证：VD⊥AC；

证明：∠BCD=∠BAD=90°BC⊥CD，BA⊥AD

∠BCV=∠BAV=90°BC⊥CV，BA⊥AV，

∴BC⊥平面VCD，BA⊥平面VAD　 　∴BC⊥VD，BA⊥VD

∴VD⊥平面ABC，∴VD⊥AC

26、如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为8cm，M、N、P分别是AB、A₁D₁、BB₁的中点；(1)画出过M、N、P三点的平面与平面A₁B₁C₁D₁的交线以及与平面BB₁C₁C的交线；(2)设过M、N、P三点的平面与B₁C₁交于点Q，求PQ的长；

解：(1)设M、N、P三点确定的平面为α，则α与平面AA₁B₁B的交线为直线MP，设，则RN是α与平面A₁B₁C₁D₁的交线，设，则直线PQ就是所要画的平面α与平面BB₁C₁C的交线；

(2)正方体的棱长为8cm，B₁R=BM=4cm，，

故B₁Q=4=(cm)，在Rt△PB₁Q中，B₁P=4cm，B₁Q=cm，

(cm)

25、如图：已知平面四边形ABCD,AC、BD相交于O,AB=AD,CB=CD,

∠ABC=120°,且PA⊥平面ABCD.

(1)若AB=PA=,求P到直线BC的距离;

(2)求证平面PBD⊥平面PAC.

证明(1)延长CB,过A在平面内作AE⊥CB,垂足为E.

∵∠ABC=120°,∴∠ABE=60°,在Rt△ABE中：AE=AB·sin60°=·=

∵PA⊥平面,AE⊥EB,∴AE是PE在平面内的射影,

∴PE⊥EB,∴PE为点P到BC的距离.在Rt△PAE中：

PE=.

(2)在四边形ABCD中,取BD中点O,连AO、CO,

∵AB=AD,CD=CB,BO=OD,

∴AO⊥BD,CO⊥BD,　 ∴A、O、C共线,∴AC⊥BD.

又PA⊥,∴PA⊥BD,

∴BD⊥平面PAC,∵BD平面PBD,　 ∴平面PBD⊥平面PAC.

23、在三棱锥A－BCD中,E、F分别是线段AD、BC上的点,满足,AB=CD=3,且AB与CD所成的角为60^o,求EF的长.

解：如图，过E 分别作EG∥AB

交BD于G，EH∥DC交AC于H，

连接GH、FH，由条件，易知

EGFH为平行四边形。

∴∠GEH为异面直线AB与CD

所成的角或其补角。∴∠GEH＝60°或120°

又EG＝AB＝2，EH＝AB＝1,

由余弦定理得：EF＝＝或

翰林汇24、如图,△ABC和△DBC所在平面互相垂直 ,AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120^o,求

(1)　 AD与平面BCD的成角;

(2)　 AD与BC的成角;

(3)　 二面角A-BD-C的正切值.

解：(1)如图，过A作AE⊥CB与CB的延长线交与E，连接DE，

∵平面ABC⊥平面DBC∴AE⊥平面DBC，

∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角。

∵AB＝BD，∠CBA=∠DBC，EB＝EB

∴∠ABE＝∠DBE，∴△DBE≌△ABE

∴DE⊥CB且DE＝AE

∴∠ADB＝45°∴AD与平面CBD

所成的角为45°

(2)由(1)知CB⊥平面ADE

∴AD⊥BC即AD与BC所成的角为90°.

(3)过E作EM⊥BD于M

由(2)及三垂线定理知，AM⊥BD，

∴∠AME为二面角A－BD－C的平面角的补角.

∵AE＝BE＝2ME，∴tg∠AME＝2，故二面角A-BD-C的正切值为－2.

22、矩形ABCD(AB≤BC)中,AC=2,沿对角线AC把它折成直二面角B－AC－D后,BD=,求AB、BC的长.

翰林汇

翰林汇解：如图，

分别过B、D作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，

设∠BAC＝θ，则AB＝ACcosθ＝2cosθ，

BE＝DE＝ABsinθ＝sin2θ,

AE＝ABcosθ＝2cos²θ∴EF＝AC－2AE

＝2＝－2cos2θ

折叠后，在平面ACD内过E作EG∥FD,且EG=FD,连接DG、BG、BD，则∠BEG为二面角B－AC－D的平面角，∴∠BEG＝90°

于是BG＝BE＝sin2θ＝2sin2θ

∴BG²+DG²＝BD²，即：(2sin2θ)²+(－2cos2θ)²＝5

∴4(cos2θ)²＝1,∴cos2θ＝±，

∵AB≤BC，∴cos2θ＝－∴cosθ＝，故AB＝，BC＝