题目列表(包括答案和解析)
21.(12分)(理)现有5个工人独立地工作,假定每个工人在1小时内平均有12分钟需要电力.
(1)求在同一时刻有3个工人需要电力的概率;
(2)如果最多只能供应3个人需要的电力,求超过负荷的概率.
解:(1)依题意,每名工人在1小时内需要电力的概率是P==.
因此,在同一时刻有3个工人需要电力的概率为P1=C()3()2=0.0512.
(2)超负荷的概率为P2=C()4()+C()5=+=0.00672.
(文)甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别是0.7和0.8,每人投篮两次.
(1)求甲进2球,乙进1球的概率;
(2)若投进1球得2分,未投进得0分,求甲、乙二人得分相等的概率.
解:(1)依题意,所求概率为P1=C0.72·C0.8×0.2=0.1568.
(2)甲、乙二人得分相等的概率为
P2=C0.72·C0.82+C0.7×0.3×C0.8×0.2+0.32×0.22
=0.3136+0.1344+0.0036
=0.4516.
20.(12分)某学生骑自行车上学,从家到学校的途中有2个交通岗.假设他在这两个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是0.6,计算:
(1)2次都遇到红灯的概率;
(2)至少遇到1次红灯的概率.
(1)解:记“他第一次遇到红灯”为事件A,记“他第二次遇到红灯”为事件B.由题知,A与B是相互独立的,因此,“他两次都遇到红灯”就是事件A·B发生.根据相互独立事件的概率乘法公式,得P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36.
答:他两次都遇到红灯的概率是0.36.
(2)解法一:=“他第一次没有遇到红灯”,=“他第二次没有遇到红灯”.
∴·B=“他第一次没有遇到红灯,第二次遇到红灯”,A·=“他第一次遇到红灯,第二次没有遇到红灯”,并有·B与A·是互斥的,因此,他恰有一次遇到红灯的概率是P(·B+A·)=P(·B)+P(A·)=(1-0.6)×0.6+0.6×(1-0.6)=0.48.
∴他至少遇到1次红灯的概率是P(A·B)+P(·B+A·)=0.36+0.48=0.84.
答:至少遇到1次红灯的概率是0.84.
解法二:=“他第一次没有遇到红灯”,=“他第二次没有遇到红灯”.
∴·=“他两次都没有遇到红灯”,
P(·)=P()·P()=(1-0.6)×(1-0.6)=0.16.
∴他至少遇到1次红灯的概率是P=1-P(·)=1-0.16=0.84.
答:至少遇到1次红灯的概率是0.84.
19.(12分)如图,电路中4个方框处均为保险匣,方框内数字为通电后在一天内保险丝不被烧断的概率,假定通电后保险丝是否烧断是互相独立的.
求:(1)通电后电路在一天内A、B恰有一个被烧断的概率;
(2)通电后电路在一天内不断路的概率.
解:以A、B、C、D分别记为各处保险丝不被烧断的事件,则它们的对立事件为、、、,依题意各事件是相互独立的.
(1)通电后电路在一天内A、B恰有一个被烧断包括两种情况:
A被烧断但B不被烧断,即·B事件发生;
A不被烧断但B被烧断,即A·事件发生.
由题意事件·B与A·互斥,
故所求概率为
P(·B+A·)=P(·B)+P(A·)=P()P(B)+P(A)P()=(1-)×+×(1-)=.
(2)左电路系统不断路的概率为1-P(··)=1-P()P()P()=1-(1-)(1-)(1-)=.
一天内电路不断路的概率为×=.
18.(12分)某商店采用“购物摸球中奖”促销活动,摸奖处袋中装有10个号码为n(1≤n≤10,n∈N*),重量为f(n)=n2-9n+21(g)的球.摸奖方案见下表:
方 案 |
摸奖办法 |
奖 金 |
① |
凡一次购物在[50,100]元者,摸球1个,若球的重量小于该球的号码数,则中奖 |
10元 |
② |
凡一次购物在100元以上者,同时摸出两球,若两球的重量相等,则中奖 |
40元 |
说明:凭购物发票到摸奖处,按规定方案摸奖;这些球以等可能性从袋中摸出;假定符合条件的顾客均参加摸奖.
试比较方案①与②的中奖概率的大小.
解:当球的重量小于号码数时,有
n2-9n+21<n,解得3<n<7.
∵n∈N*,∴n的取值为4,5,6.
∴所求的概率为P1=.
设第n号与第m号的两个球的重量相等,不妨设n<m,则有n2-9n+21=m2-9m+21,
即(n-m)(m+n-9)=0.
∵n≠m,∴m+n=9.
∴(n,m)的取值满足(1,8),(2,7),(3,6),(4,5).
∴所求的概率为P2==.
∴P1>P2,即方案①的中奖概率大.
17.(12分)已知集合A={-8,-6,-4,-2,0,1,3,5,7},在平面直角坐标系中,点(x,y)的坐标x∈A,y∈A,且x≠y,计算:
(1)点(x,y)正好在第二象限的概率;
(2)点(x,y)不在x轴上的概率.
解:(1)P1==.
(2)P2==(或P2=1-=.
∴点(x,y)正好在第二象限的概率是,
点(x,y)不在x轴上的概率是.
16.六位身高全不相同的同学拍照留念,摄影师要求前后两排各三人,则后排每人均比前排同学高的概率是________.
解析:6位同学共有A种排法,其中后排每人均比前排同学高,共有AA种排法,故其概率为=.
答案:
15.某厂有三个顾问,假定每个顾问发表的意见是正确的概率为0.8.现就某事可行与否征求各顾问的意见,并按顾问中多数人的意见作出决策,作出正确决策的概率是________.
解析:至少有两个顾问作出正确决定即可.
P=C·0.82·0.2+0.83=0.896.
答案:0.896
14.(2005年春季上海,6)某班共有40名学生,其中只有一对双胞胎,若从中一次随机抽查三位学生的作业,则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是________.(结果用最简分数表示)
解析:∵抽查三位学生双胞胎在内的方法为C种,
∴P==.
答案:
13.(2004年广东,13)某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是________.(用分数作答)
解析:2名女生当选的取法为C,1名女生当选的取法为CC.
∴概率为=.
答案:
12.如果一个人的生日在星期几是等可能的,那么6个人的生日都集中在一个星期中的两天,但不是都在同一天的概率是
A. B.
C. D.
解析:(1)每个人生日都有7种可能,故共有76种;
(2)集中在两天中,故为C(26-2)(每人生日有两种可能,集中在同一天也为2种).所以P=,故选A.
答案:A
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