题目列表(包括答案和解析)

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12. ( 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

解:设容器的高为x,容器的体积为V,1分

则V=(90-2x)(48-2x)x,(0<V<24)5分

  =4x3-276x2+4320x

∵V′=12 x2-552x+4320……7分

由V′=12 x2-552x+4320=0得x1=10,x2=36

∵x<10 时,V′>0,

10<x<36时,V′<0,

x>36时,V′>0,

所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960……………………………………………………10分

又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………………………………11分

所以当x=10,V有最大值V(10)=1960………………………………………………………12分

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11. (全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ,函数f(x) = (  -2ax )

(1)  当X为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论;

(2)设 f(x)在[ -1,1]上是单调函数,求a的取值范围.

解:(I)对函数求导数得

得[+2(1-)-2=0从而+2(1-)-2=0

 解得

变化时,的变化如下表


 
  
 
  
 
 
  +
   0
   -
   0
  +

递增
极大值
递减
  极小值
  递增

=处取得极大值,在=处取得极小值。

≥0时,<-1,上为减函数,在上为增函数

而当=,当x=0时,

所以当时,取得最小值

(II)当≥0时,上为单调函数的充要条件是

  即,解得

于是在[-1,1]上为单调函数的充要条件是

的取值范围是

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10.(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数        

(Ⅰ)求的极值.

(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.

解:(I)=3-2-1

=0,则==-=1

变化时,变化情况如下表:


(-∞,-)

(-,1)
1
(1,+∞)

+
0

0
+


极大值

极小值

的极大值是,极小值是

(II)函数

由此可知,取足够大的正数时,有>0,取足够小的负数时有<0,所以曲线=轴至少有一个交点

结合的单调性可知:

的极大值<0,即时,它的极小值也小于0,因此曲线=轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上。

的极小值-1>0即(1,+∞)时,它的极大值也大于0,因此曲线=轴仅有一个交点,它在(-∞,-)上。

∴当∪(1,+∞)时,曲线=轴仅有一个交点。

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9. (北京卷)过原点作曲线yex的切线,则切点的坐标为 (1, e);   ,切线的斜率为e  

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8. ( 全国卷III)曲线在点(1,1)处的切线方程为x+y-2=0

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7.(江苏卷)(14)曲线在点(1,3)处的切线方程是

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6. (重庆卷)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为______8/3____。

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5.(浙江)函数yax2+1的图象与直线yx相切,则a=( B  )

(A)   (B)   (C)    (D)1

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4.(江西)已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是(C )

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3. (湖北卷)在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是                       (  D  )

    A.3             B.2             C.1             D.0

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