题目列表(包括答案和解析)
12. ( 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
解:设容器的高为x,容器的体积为V,1分
则V=(90-2x)(48-2x)x,(0<V<24)5分
=4x3-276x2+4320x
∵V′=12 x2-552x+4320……7分
由V′=12 x2-552x+4320=0得x1=10,x2=36
∵x<10 时,V′>0,
10<x<36时,V′<0,
x>36时,V′>0,
所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960……………………………………………………10分
又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………………………………11分
所以当x=10,V有最大值V(10)=1960………………………………………………………12分
11. (全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ,函数f(x) = ( -2ax )
(1) 当X为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论;
(2)设 f(x)在[ -1,1]上是单调函数,求a的取值范围.
解:(I)对函数求导数得
令得[+2(1-)-2]=0从而+2(1-)-2=0
解得
当 变化时,、的变化如下表
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
递增 |
极大值 |
递减 |
极小值 |
递增 |
∴在=处取得极大值,在=处取得极小值。
当≥0时,<-1,在上为减函数,在上为增函数
而当时=,当x=0时,
所以当时,取得最小值
(II)当≥0时,在上为单调函数的充要条件是
即,解得
于是在[-1,1]上为单调函数的充要条件是
即的取值范围是
10.(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数
(Ⅰ)求的极值.
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.
解:(I)=3-2-1
若=0,则==-,=1
当变化时,,变化情况如下表:
|
(-∞,-) |
- |
(-,1) |
1 |
(1,+∞) |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
极大值 |
|
极小值 |
|
∴的极大值是,极小值是
(II)函数
由此可知,取足够大的正数时,有>0,取足够小的负数时有<0,所以曲线=与轴至少有一个交点
结合的单调性可知:
当的极大值<0,即时,它的极小值也小于0,因此曲线=与轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上。
当的极小值-1>0即(1,+∞)时,它的极大值也大于0,因此曲线=与轴仅有一个交点,它在(-∞,-)上。
∴当∪(1,+∞)时,曲线=与轴仅有一个交点。
9. (北京卷)过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为 (1, e); ,切线的斜率为e .
8. ( 全国卷III)曲线在点(1,1)处的切线方程为x+y-2=0
7.(江苏卷)(14)曲线在点(1,3)处的切线方程是
6. (重庆卷)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为______8/3____。
5.(浙江)函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=( B )
(A) (B) (C) (D)1
4.(江西)已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是(C )
3. (湖北卷)在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是 ( D )
A.3 B.2 C.1 D.0
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